基于數學優化法繪制梯級 水庫水力剖面圖的研究

張高峰，康傳雄

(1.南京南瑞繼保電氣有限公司，江蘇南京211102；2. 華中科技大學水電與數字化工程學院，湖北武漢430074)

0 引 言

水庫調度是管理和控制水庫安全可靠運行、合理利用水資源、發揮水庫綜合效益的重要措施。水庫和水電站優化調度是利用一定的優化理論、方法和技術，尋求水能、水資源的最優利用和控制方式，即尋求系統和水電站及其水庫的最優運行調度方式、最優策略及最優決策[1]。實踐表明，水電站水庫優化調度能夠獲得顯著的經濟效益[2-3]。水調自動化系統是以流域梯級水庫為研究對象，運用計算機技術和軟件開發工具，集成水文預報和水庫優化調度算法的高級應用軟件[4- 6]。目前，水調自動化系統已在水電廠[7-9]、流域管理[10-11]和電力調度[12]部門取得了廣泛應用。這些水調自動化系統，無論是傳統的桌面應用程序，還是近些年流行的基于B/S架構的Web應用系統[13-14]，都普遍需要展示流域梯級水庫水力剖面示意圖，為了顯示美觀，往往需要采用靜態人工繪制的圖片進行展示，在用戶添加或刪除水庫時無法自動更新顯示，只能重新制作并替換原有的示意圖，這給用戶帶來不便，并影響使用體驗效果。也有些應用系統能夠動態生成水庫關系示意圖，但通常是直接采用水庫特征數據簡單連線繪制，導致示意圖顯示不協調，出現水庫顯示比例太大或太小、坡面不平滑等現象。

目前尚未查到動態生成梯級水庫水力剖面圖的研究文獻。一方面，目前業內主要使用手工繪制的方法，雖然繁雜卻在美觀協調上有保證；另一方面，目前自動繪制的方法，雖然便捷卻并不令人滿意。本文將首次研究基于數學優化的方法來自動繪制梯級水庫的水力剖面圖，希望所繪制的圖平滑美觀，并能夠大致反映流域坡度變化，以及各水庫庫容大小比例關系。所建立的梯級水庫坡面優化模型將考慮流域坡面的基本形態和梯級水力聯系圖的視圖需求約束，通過優化技術找出一個“理想”的坡面線，并在此基礎上繪制梯級水庫水力聯系剖面圖，為水調自動化系統中梯級水庫水力聯系示意圖的繪制和展示提供技術支持。

1 流域梯級水庫基本數據

如圖1所示，設流域共有梯級水庫N個，水庫n距離河口的沿河距離是Xn，壩底高程為Yn，壩頂高程為Zn，正常庫容為Vn。從河口往上游，離散坡面為M個點，其橫坐標為分別x1，x2，x3，…，xM，離散步長為Δx，對應縱坐標為y1，y2，y3，…，yM。其中，各點所對應的高程是本問題的決策變量。

圖1 流域梯級水庫水力聯系剖面示意

本文以雅礱江流域的6個水庫為工程應用背景，其水庫特性數據見表1。研究將通過實際數據來檢驗坡面優化模型的合理性并對其作出改進。

表1 雅礱江流域梯級水庫基本信息

2 坡面優化模型與梯級水庫聯系剖面圖繪制

2.1 坡面優化模型一

本模型希望梯級水庫連接示意圖中表示的水庫面積盡可能接近水庫的實際庫容比例。設該流域最小和最大水庫的實際庫容分別為Vmin和Vmax，為了使每個水庫在圖上的顯示比例不要過小或過大，設定其對應的水庫在梯級水庫示意圖中表示的面積分別是Smin和Smax；這樣，按線性比例可表示各水庫期望在示意圖中的面積

(1)

此處，允許實際的顯示面積Sn與其希望值之間有一定的偏差，故可加入松弛量表示為

(2)

設定Smax與Smin的比例關系為K倍(K默認取流域水庫個數N)

Smax=K·Smin

(3)

示意圖中水庫n的庫區包含的坡面離散點m從該水庫壩址處開始，不超過其最鄰近的上游水庫壩址處，表示為集合

An={m|Xn≤xm≤Xn+1}

(4)

當坡面離散點足夠多時，示意圖中水庫的面積可以近似按長方形累加為

(5)

式中，長方形的寬為離散步長Δx；高為Zn-ym(在庫區內時)或0(在庫區外時)。

式(2)根據水庫庫容比例關系確定示意圖中水庫面積的近似關系，式(5)按幾何累加計算示意圖中水庫的近似面積，二者合并后表示為

(6)

此外，從河口往上游，示意圖中的坡面線應呈遞增趨勢，即各離散點的高程遞增

ym≤ym+1

(7)

壩址點(Xn，Yn)及其左右最鄰坡面離散點也應符合遞增趨勢，即對某壩址點橫坐標Xn，必有左右各一個最鄰近的坡面離散點，表示為

xm≤Xn≤xm+1

(8)

滿足上述條件的3個點的高程也應呈遞增趨勢，即

ym≤Yn≤ym+1|xm≤Xn≤xm+1

(9)

為保證示意圖中的水庫面積比例盡可能接近水庫庫容比例關系，式(6)中的面積松弛量盡可能小，即有目標1

(10)

同時，為保證示意圖中各水庫清晰可見，示意圖中最小水庫的面積盡可能大，有目標2

maxSmin

(11)

對以上兩個目標設定優先級，可合并為單目標，表示為

(12)

其中，w為面積松弛量的權重，應設定一個較大值，以保證目標1優先于目標2。

綜上，坡面優化模型一的目標函數為式(12)，約束條件為式(3)、(6)、(7)、(9)。在本算例中，坡面離散點數M=500(離散沿河間距為1.603 2 km)，面積松弛量權重w=100，計算時間0.1 s。按此模型優化計算得到雅礱江流域梯級水庫水力聯系示意圖如圖2所示，可見以示意圖面積比例接近實際庫容比例為主要目標的坡面優化模型不夠合理，坡面線不平滑。

圖2 采用坡面優化模型一繪制的梯級水庫連接

2.2 坡面優化模型二

模型二對坡面優化模型進行改進，將各水庫壩址點處的坡面斜率設定為0，同時要求坡面的斜率變幅盡可能小，以使圍成的庫區面積盡可能大，通過實際壩高近似表現庫容大小關系。模型描述如下：同式(7)，從河口往上游，坡面應呈遞增趨勢。壩址點(Xn，Yn)及其最鄰坡面離散點處的坡面斜率設定為0，即高程不變，有

ym=Yn=ym+1|xm≤Xn≤xm+1

(13)

因沿河距離(即橫坐標xm)等間距離散，這里用坡面各離散點高程的二階差分表示坡面斜率變幅，即有

αm=(ym+1-ym)-(ym-ym-1)

(14)

式中，αm為坡面點m高程的二階差分。另外，區間An內離散點高程二階差分絕對值的最大值表示為βn

βn=max|αm|，m∈An

(15)

該模型的目標是各區間斜率變幅最小化，即βn之和最小，有

(16)

以上目標屬于求最大值最小化的情形，因此式(15)可以等價表示為

βn≥αm，m∈An

(17)

βn≥-αm，m∈An

(18)

綜上所述，坡面優化模型二的目標函數為式(16)，約束條件為式(7)、(13)、(14)、(17)、(18)。在本算例中，坡面離散點數M=500(離散沿河間距為1.603 2 km)，計算時間0.1 s。按此模型優化計算得到雅礱江流域梯級水庫水力聯系示意如圖3所示，其坡面線平滑，得到的示意圖比模型一美觀。因此，模型二是一個合適的流域梯級水庫坡面線優化模型。

圖3 采用坡面優化模型二繪制的梯級水庫連接

2.3 梯級水庫水力聯系圖繪制

采用坡面優化模型得到最優的坡面線考慮了水庫壩址點和壩高，將其計算結果傳輸給圖形組件，即可繪制梯級水庫水力聯系剖面圖。該方法具有良好的可擴展性，能夠適用于Web和桌面應用形式的各類水電調度系統，不受限于具體開發環境。

該方法能夠平滑、美觀地展示梯級水庫水力聯系剖面圖，能盡量保證梯級各水庫大小協調，同時又接近真實的庫容比例，能夠提高用戶使用體驗。系統在添加或刪除水庫時能夠自動更新梯級水庫水力聯系剖面圖，自動顯示增加或刪除水庫后的效果。

3 結 論

本文首次提出基于數學規劃繪制梯級水庫水力聯系剖面圖的方法，建立了坡面優化模型，為水調系統中自動顯示和更新水庫連接圖提供一種技術思路。模型算例的對比結果表明，以坡面斜率變幅盡可能小為主要目標的模型能夠得到更好的顯示結果。以該方法為基礎，考慮水庫特性數據，調用圖形組件即可生成梯級水庫水力聯系剖面圖。該方法生成的水力聯系圖能夠動態更新，達到水庫大小協調、坡面平滑美觀的效果，能夠提升用戶使用體驗。