基于數(shù)學(xué)智慧課堂的立方體截面問題的探究

袁志強(qiáng)

摘要：智慧課堂是信息技術(shù)與學(xué)校課程整合的一種新形式。本文以立方體的截面為載體，引導(dǎo)學(xué)生借助智慧課堂平臺，以小組合作的形式，探究正方體截面邊數(shù)并尋找相應(yīng)的推理依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)智慧課堂；正方體；截面

信息技術(shù)的突飛猛進(jìn)，正悄悄地改變著學(xué)校的教育教學(xué)方式。智慧課堂就是信息技術(shù)與課程融合的一種必然結(jié)果。智慧課堂由于其具有資源獲取的便捷性、信息傳輸?shù)母咝浴W(xué)習(xí)反饋的個性化等諸多優(yōu)勢在越來越多的課堂中得到了應(yīng)用。[1]

例如在2017年版的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，附錄的案例11是正方體截面問題，問用一個平面截正方體，截面的形狀是怎樣的？在傳統(tǒng)的課堂中，這個問題的探究難以實現(xiàn)，但是在數(shù)學(xué)智慧課堂中，這個問題的探究與解決將會變得直觀與省力。

一、探究正方體的截面邊數(shù)及其緣由

由于這個問題比較復(fù)雜，牽涉的問題比較多，所以先可以用智慧課堂的分組功能將學(xué)生分為A、B、C三組，不同的組分別解決不同的問題。教師先給不同的組分配不同的任務(wù)，在此之前，師生要共同明確探究的基礎(chǔ)：因為正方體各個面都是平面，所以截面一定是平面多邊形。

基于此，最少邊數(shù)的多邊形是三角形，所以給A組同學(xué)布置的問題是：如果截面是三角形，那么有幾種類型的三角形？為什么？可以是直角三角形嗎？給B組分派的問題是：如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？為什么？給C組分派的任務(wù)是：還可以是五邊形嗎？六邊形呢？還可以是更多邊數(shù)的多邊形嗎？為什么？

在探究的初期，學(xué)生盡管明白研究的起點(diǎn)，但由于缺乏直觀性，還是感覺到難以下手。注意到這一情況，教師于是向?qū)W生的手持終端推送了正方體截面的空間動態(tài)幾何課件，學(xué)生可以在自己的平板上拖動切割面，觀察截面的形狀及成因。學(xué)生根據(jù)探究的情況，作出自己小組問題的圖形，給出自然語言的解釋，并將本組的結(jié)論發(fā)回到大屏幕（如下圖）。在思維分享階段，學(xué)生之間可以在平臺上互相提問與回答，教師可以選取典型問題要求回答者面向全班口頭闡述，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的口頭表達(dá)。

二、探究的深入

第一輪問題的解決并不意味著探究活動的終止，學(xué)生在第一輪探究活動中獲得的經(jīng)驗?zāi)芊駪?yīng)用到新的問題情境中還有待檢驗。

例1：（2018年高考試題全國卷Ⅰ理數(shù)）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為|（ ）

A. B. C. D.

答案：A

學(xué)生有了剛才解決問題的經(jīng)驗，不難得出這樣的截面剛好是過正方體“體對角線”中點(diǎn)且與體對角線垂直的那個截面（正六邊形）。教師要及時向?qū)W生追問“為什么這時候最大？”

對于相似度高的問題，學(xué)生回答得還算比較順暢。但對于相似度沒那么高的問題，又將如何探究呢？

例2：如圖，正方體 的棱長為1， 為 的中點(diǎn)， 為線段 上的動點(diǎn)，過點(diǎn) 的平面截該正方體所得截面記為 ，則下列命題正確的是__________.

①當(dāng) 時， 為四邊形；

②當(dāng) 時， 為五邊形；

③當(dāng) 時， 為六邊形；

④當(dāng) 時， 為菱形.

答案|：①②④

這其實是最初探究問題的一個變式。學(xué)生借助智慧平臺以及剛才探究中獲得的經(jīng)驗進(jìn)行探究，如果某些學(xué)生有困難，可讓其在平板上用相應(yīng)的軟件制作成動態(tài)模型，動態(tài)地觀察截面的形狀。最終要求學(xué)生以手寫的形式作出相應(yīng)問題的圖形，并能口頭加以解釋。

三、反思探究過程

在新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，核心素養(yǎng)是一個至關(guān)重要的概念。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是“數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)”，也是“具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現(xiàn)”。[2] 在此次探究課中，學(xué)生從最初的不知從何下手，到仔細(xì)觀察動態(tài)課件，這是在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。觀察到正方體的截面呈現(xiàn)不同的形態(tài)，學(xué)生將從不同位置的動態(tài)圖形中，抽象出問題的實質(zhì)，即空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系問題尤其是面面相交問題，接著用空間中點(diǎn)線面的知識進(jìn)行邏輯推理，尋找“為什么”會這樣的理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的演繹推理的思維習(xí)慣，這樣就培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng)。

本節(jié)課是在高中立體幾何全部內(nèi)容學(xué)習(xí)完成后進(jìn)行的一次探究活動。數(shù)學(xué)探究活動有時并沒有一個清晰的邏輯思路，往往是一邊探究一邊尋找解決的思路，當(dāng)然也沒有現(xiàn)成的答案可用，答案可能就存在于探究過程的結(jié)束階段，是冥思苦想、苦苦求索最終獲得的勝利果實。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫曙輝，劉邦奇.智慧課堂[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016：49-52..

[2]中華人民共和國教育部.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).2017.