一類靜電驅動雙邊電容型微諧振器振動系統(tǒng)的復雜動力學特性研究

尚慧琳， 胡立力， 文永蓬

(1. 上海應用技術大學 機械工程學院，上海 201418；2. 上海工程技術大學 城市軌道交通學院，上海 201620)

靜電微諧振器是微機電系統(tǒng)(Micro-Electro Mechanical System, MEMS)的重要器件,是目前發(fā)展最快的MEMS產(chǎn)品之一，是以諧振原理實現(xiàn)功能的典型微器件[1]。然而，靜電微諧振器在應用中存在著多種復雜動力學現(xiàn)象，不僅包括宏觀機械振動系統(tǒng)中常見的振動跳躍、概周期振動、多倍周期振動和混沌等，還包括靜電驅動微器件所特有的吸合不穩(wěn)定[2]。隨著MEMS的廣泛應用，微諧振器的穩(wěn)定性和可靠性對其振動系統(tǒng)和動力學特性的研究提出了更高的要求。因此，研究靜電驅動微諧振器的復雜動力學特性及其機制對于靜電微慣性傳感器的研發(fā)具有重要的現(xiàn)實意義。

目前，國內外大量數(shù)值和試驗研究結果表明靜電微諧振器振動系統(tǒng)普遍存在諧振失穩(wěn)行為(如振動跳躍現(xiàn)象[3-4]、概周期振動[5]和倍周期振動[6]等)、發(fā)散失穩(wěn)行為(如吸合現(xiàn)象)和全局失穩(wěn)行為(如混沌現(xiàn)象[7-9]和吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象)。其中，吸合現(xiàn)象是近年來MEMS領域的研究熱點[10]；與之相關的吸合不穩(wěn)定，即一定的設計參數(shù)條件下初始條件的微小變化就導致微結構從原本的不吸合變?yōu)槲系默F(xiàn)象，會大大降低微器件的安全性，正逐漸引起國內外研究者的研究興趣[11-13]。Luo等發(fā)現(xiàn)在一類雙邊電容型微諧振器振動系統(tǒng)中交流電壓頻率的變化會引起混沌。Ruzziconi等在另一類靜電微諧振器振動系統(tǒng)中交流電壓頻率的變化引起的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象和振動跳躍。Zhang等發(fā)現(xiàn)壓膜阻尼非線性引起的多倍周期振動、概周期振動和混沌。對于以上復雜動力學現(xiàn)象的研究，數(shù)值仿真占主要比重，其中對于吸合不穩(wěn)定和振動跳躍是通過初始狀態(tài)的微調引起穩(wěn)態(tài)響應的突變來模擬現(xiàn)象的，該量化研究方法由Lenci等和Ruzziconi等分別提出，利用振動系統(tǒng)的安全域侵蝕程度和各穩(wěn)態(tài)解的吸引域分形程度來描述這兩類破壞系統(tǒng)的動完整性的動力學行為。尚慧琳等[14]在此基礎上以一類靜電驅動單邊電容型微諧振傳感器為研究對象，基于安全域思想研究了系統(tǒng)直流偏置電壓和交流激勵電壓幅值引起的結構吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象。盡管這些復雜動力學行為的存在性和其對于微器件性能的影響已受到MEMS設計者和研究者的關注，其機制仍未得到廣泛地理解。

基于上述原因，本文對一類典型的雙邊電容型微諧振器的動力學模型進行了分析，通過了解其靜態(tài)分岔、局部分岔和全局分岔動力學特性，研究該系統(tǒng)的復雜動力學行為的機制，從而為誘發(fā)、控制和避免靜電驅動微器件結構的復雜振動提供一定的理論依據(jù)。

1 動力學模型

1.1 無量綱化系統(tǒng)

考慮一類兩側平行板電容、在直流偏置電壓和交流電壓驅動下靜電驅動的微傳感器振動模型[15-16],如圖1所示。考慮線性剛度、非線性剛度、線性阻尼和非線性激勵，建立振動方程

(1)

式中：x為微結構的位移；m為微結構等效質量；c,k1,k2分別為系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)、線性剛度和非線性剛度；A0為平行板初始靜止時的電容；d為極板初始間距；Vb,VAC分別為直流偏置電壓和交流電壓的值，且VAC?Vb；Ω為交流電壓的頻率。

圖1 一類靜電驅動兩側平行板電容微傳感器振動系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Diagram of the dynamical system of a typical a micromechanical resonator with electrostatic forces on both sides

為了方便表述，對微傳感器振動系統(tǒng)式(1)引入以下無量綱變量

(2)

則可知|u|≤1得到以下無量綱化模型

(3)

下文的研究將圍繞式(1)的無量綱化系統(tǒng)式(3)開展。對式(3)重新標度參數(shù)，即

(4)

則有

(5)

1.2 無擾動系統(tǒng)分析

重新標度過的無量綱化系統(tǒng)式(5)的無擾動系統(tǒng)為

(6)

這是一個哈密頓系統(tǒng)，其哈密頓量為

(7)

設零平衡點處勢能為0，則相應的勢能函數(shù)可表示為

(8)

根據(jù)式(6)～式(8)，系統(tǒng)的平衡點個數(shù)，有無勢阱，以及勢阱的具體位置和形態(tài)均取決于參數(shù)α和β。由于無量綱化參數(shù)α與驅動電壓無關，而β是直流偏置電壓的函數(shù)，因此系統(tǒng)的平衡點個數(shù)與交流電壓無關，卻與直流偏置電壓有直接關系。

定理1 如果參數(shù)滿足

(9)

則式(6)只有一個零平衡點，為鞍點。

證明：令

(10)

(11)

G′(u)=0無解, 當u∈(-1, 1)始終有G′(u)>0?？紤]G(u)的單調性，G(u)=0無解, 式(6)沒有非零解。

當

(12)

(13)

這說明當u∈(-1, 1)時G(u)始終大于零，G(u)=0在該區(qū)域無解。

因此，當式(11)或式(12)滿足時，即式(9)滿足，則式(6)只有一個零平衡點，由于其對應的特征方程

l2-(4b-1)=0

具有一正一負兩個實根，因此零平衡點為鞍點。證畢。

由此可見，當β充分大的時候，系統(tǒng)無非零平衡點和勢阱，系統(tǒng)將不可避免地出現(xiàn)無界振動，這意味著圖1的動極板將直接吸合到定極板上，即發(fā)生靜態(tài)吸合。而微結構間的吸合現(xiàn)象則會導致靜電微諧振器件的失效，這是微結構中值得關注的重要現(xiàn)象。由于質量m、剛度k1,k2、極板初始間距d和平行板初始靜止時的電容A0等設計參數(shù)對于微諧振器是給定的，將不等式(9)還原成微結構振動系統(tǒng)式(1)的物理參數(shù)，得到

(14)

給定參數(shù)α，改變β，無擾動系統(tǒng)式(6)的勢能分布情況如圖2所示。根據(jù)圖2中勢能曲線的極點分布可知，β=0.25時系統(tǒng)有3個平衡點，其中兩個非零平衡點不穩(wěn)定，而零平衡點為中心，因此具有單勢阱和異宿軌道；β=0.338時系統(tǒng)有5個平衡點，其中O(0,0)，S1(-0.768 996,0)，S2(0.768 996,0)這3個平衡點均不穩(wěn)定，而中間兩個非零平衡點C1(-0.196 339,0)和C2(0.196 339,0)為中心，因此系統(tǒng)具有雙勢阱、同宿和異宿軌道，其中根據(jù)其哈密頓量式(7), 同宿軌道可近似表示為

外面的異宿軌道可表示為

(15)

式中：us=0.768 996為鞍點S2的橫坐標，相應的無擾動系統(tǒng)相軌線如圖3所示；當β增大到0.6時，定理1條件滿足，系統(tǒng)只有一個零平衡點，體現(xiàn)為鞍點。

圖2 在α=12,β取不同數(shù)值下的勢能圖Fig.2 The potential energy in the phase portrait underα=12 and different values of β

圖3 當(α,β)=(12,0.338)時相軌線分布Fig.3 Trajectories in the phase portrait when (α,β)=(12,0.338)

以上3種情況當中，β=0.338這種情況最為復雜，這也是雙側極板電容微諧振器比較常見的設計參數(shù)取值，對應的系統(tǒng)設計參數(shù)取值如表1所示，由于無擾動系統(tǒng)存在多勢阱的情況，仍會出現(xiàn)部分初始條件導致微結構的吸合；而另一部分則不會引起微結構吸合，該部分的集合則可稱為安全域。安全域的分形侵蝕意味著微結構的吸合不穩(wěn)定。以下本文重點討論該參數(shù)條件下微結構包括吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象在內的復雜動力學行為及其機制。

表1 式(1)的物理參數(shù)值Tab.1 Values of physical parameters of the equation (1)

2 多穩(wěn)態(tài)運動分析

對于微結構振動系統(tǒng)式(1)及其無量綱化系統(tǒng)式(5)，當驅動交流電壓VAC為0時，根據(jù)Jacobi矩陣求解特征值可知，非零平衡點(±0.196 339,0)為穩(wěn)定平衡點，這是系統(tǒng)最初的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。當驅動交流電壓幅值開始升高時，該非零平衡點失穩(wěn)，開始出現(xiàn)周期振動，以下將對周期振動特性進行具體分析。

(16)

對式(16)將分母泰勒展開,省略ε和u三次方以上高階項，簡化得到

(17)

為了運用多尺度方法，對參數(shù)和時間重新標度

(18)

代入式(17)，對比三階系數(shù)

(19a)

(19b)

(19c)

(20)

代入式(19c)，得到

(21)

(22)

和

(23)

圖4 當ω=0.5時無量綱化系統(tǒng)式(3)周期解支分布Fig.4 Brunches of periodic solutions ofthe dimensionless system (3) when ω=0.5

圖5 當ω=0.5時無量綱化系統(tǒng)式(3)的多穩(wěn)態(tài)解Fig.5 Multistability of the dimensionless system (3)when ω=0.5

3 混沌和吸合不穩(wěn)定

圖6 初始條件時無量綱化系統(tǒng)式(3)響應隨VAC的分岔Fig.6 The bifurcation of the oscillation ofthe dimensionless system (3) with VACunder the initial condition 0)

圖7 當VAC=0.2 V, ω=0.5時無量綱化系統(tǒng)式(3)的相圖和龐加萊截面圖Fig.7 The phase map and Poincare map ofthe dimensionless system (3)when VAC=0.2 V and ω=0.5

由于考慮系統(tǒng)的長期行為，因此設定系統(tǒng)振動在105個參數(shù)激勵周期內均滿足|u|<1，則認為相應的初始條件下系統(tǒng)不發(fā)生吸合現(xiàn)象，該初始點在初始平面中用黑色標記；否則則發(fā)散失穩(wěn)，用白色標記。取初始點的個數(shù)為200×200。激勵周期的數(shù)值積分步長為10-4。式(3)的安全域隨交流電壓幅值的變化規(guī)律如圖8所示。由圖8可知，隨著交流電壓幅值的增大，系統(tǒng)的安全域逐漸出現(xiàn)分形侵蝕，對應微結構的吸合不穩(wěn)定，當驅動交流電壓幅值增大到1 V時，整個初始平面不存在安全區(qū)域，即所有初始條件均會導致微結構吸合，這意味著微結構又回歸靜態(tài)吸合。同時，結合圖6～圖8，可以觀察到發(fā)生吸合不穩(wěn)定和混沌運動所對應的驅動交流電壓幅值并不相同：系統(tǒng)在驅動交流電壓幅值為0.2 V時出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，此時安全域邊界并未發(fā)生分形侵蝕，這說明吸合不穩(wěn)定和混沌現(xiàn)象并不同步發(fā)生。Haghighi等已將本系統(tǒng)混沌運動歸因于同宿軌道的破裂，并分析了同宿分岔的臨界條件。吸合不穩(wěn)定與混沌現(xiàn)象的不同步意味著吸合不穩(wěn)定這類全局動力學問題并不能同樣歸因于同宿分岔，反而對比圖3中的無擾動系統(tǒng)的異宿軌道和圖8(a)中驅動交流電壓為0的安全域可發(fā)現(xiàn)二者高度吻合。以下對標度過的無量綱化系統(tǒng)式(5)運用Melnikov方法來預測異宿分岔的必要條件，并加以對比。由于異宿軌線式(15)與近似同宿軌道不同，并不是時間T的顯函數(shù)可，根據(jù)式(15)將時間T表示為u的函數(shù)

(24)

忽略式(5)中ε三次方以上高階項，將其它含ε的項當作攝動項，得到系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)

其中，

(25)

圖8 ω=0.5時無量綱化系統(tǒng)式(3)安全域隨驅動交流電壓的演變Fig.8 The evolution of safe basin ofthe dimensionless system (3)with the amplitude of AC voltage when ω=0.5

4 結 論

本文考慮一個雙邊電容靜電驅動微諧振器結構振動系統(tǒng)，應用分岔理論和數(shù)值模擬方法分析了驅動電壓引起的靜態(tài)吸合、振動跳躍、多穩(wěn)態(tài)運動、混沌和吸合不穩(wěn)定等復雜動力學特性，為靜電驅動微諧振器的設計中如何避免復雜響應提供參考。主要得到以下結論：

(1)直流偏置電壓的增大容易直接導致微結構的靜態(tài)吸合，為抑制該現(xiàn)象，直流偏置電壓應低于文中給出的直流電壓靜態(tài)吸合閾值。

(2)在較小的直流偏置電壓下，交流電壓幅值的增大會陸續(xù)引起微結構的振動跳躍現(xiàn)象和多倍周期振動現(xiàn)象，混沌、吸合不穩(wěn)定和最終的吸合；為了避免振動跳躍現(xiàn)象和吸合現(xiàn)象的發(fā)生，選取的系統(tǒng)初始條件應靠近兩個非零平衡點(即交流電壓為零時的兩個點吸引子)，且保持較低的交流電壓幅值；而當交流電壓幅值增大到一定程度，無論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何選取，微結構都不可避免地發(fā)生吸合現(xiàn)象。

(3)混沌和吸合不穩(wěn)定這兩類破壞振動系統(tǒng)的動完整性的動力學現(xiàn)象并不同步發(fā)生，盡管二者均可歸因為系統(tǒng)的全局分岔，但機理并不相同。