正交各向異性薄板振動(dòng)響應(yīng)的波函數(shù)法

賴詩洋， 夏小均， 徐中明

(1. 重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,重慶 402260; 2. 重慶車輛檢測(cè)研究院有限公司，重慶 401122；3. 重慶大學(xué) 汽車工程學(xué)院,重慶 400030)

現(xiàn)階段發(fā)展較為成熟的有限元方法主要應(yīng)用于低頻[1-2]，統(tǒng)計(jì)類方法只在高模態(tài)重疊率的前提下成立[3]，兩者在中頻振動(dòng)噪聲分析中具有一定的局限性，而混合FE-SEA方法[4-6]建模過程所需參數(shù)較多且無法得到模型的細(xì)節(jié)。在確定性的中頻預(yù)測(cè)方法研究[7-9]中，由Desmet[10]提出的波函數(shù)法具有高效、高精度、自由度少的特性，是一種確定性的Trefftz法[11-12]，能夠解決有限元方法、統(tǒng)計(jì)類方法在中頻聲振分析中的不足。目前，該方法已經(jīng)成功運(yùn)用到了各向同性薄板的彎曲振動(dòng)[13-14]、各向同性厚板的彎曲振動(dòng)[15]、結(jié)構(gòu)聲學(xué)耦合響應(yīng)[16-17]、多孔阻尼材料聲學(xué)耦合響應(yīng)[18]等問題中。

隨著材料科學(xué)的發(fā)展和工業(yè)上對(duì)結(jié)構(gòu)性能要求的提高，越來越多的復(fù)合材料被用于替換傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)材料，像蜂窩板、纖維增強(qiáng)聚合物等都已經(jīng)運(yùn)用于航空、航天、船舶和汽車工業(yè)。而且這類典型的結(jié)構(gòu)聲耦合系統(tǒng)在采用正交各向異性的薄板時(shí)，由于其在不同方向上具有性質(zhì)不同，原有的各向同性薄板理論已不適用[19]，其振動(dòng)響應(yīng)特性的改變將很大程度上影響產(chǎn)品的NVH性能，采用波函數(shù)法可快速準(zhǔn)確地對(duì)正交各向異性薄板的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。因此，對(duì)正交各向異性薄板，采用波函數(shù)法實(shí)現(xiàn)在更高頻段的振動(dòng)響應(yīng)預(yù)測(cè)，進(jìn)一步為產(chǎn)品設(shè)計(jì)優(yōu)化提供必要的指導(dǎo)，有著重要的實(shí)際工程價(jià)值和意義。

文章基于正交各向異性薄板的彎曲振動(dòng)與波函數(shù)法理論，推導(dǎo)了能描述正交各向異性薄板振動(dòng)響應(yīng)的結(jié)構(gòu)波函數(shù)，建立了正交各向異性薄板在外部作用下的響應(yīng)模型，再結(jié)合加權(quán)余量法實(shí)現(xiàn)波函數(shù)法對(duì)正交各向異性薄板的振動(dòng)響應(yīng)預(yù)測(cè)，并通過數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的正確與高效性。

1 正交各向薄板彎曲振動(dòng)

對(duì)于薄板，以Kirchhoff理論為基礎(chǔ)對(duì)正交各向異性板的振動(dòng)特性進(jìn)行分析。設(shè)其彈性主軸平行于x,y方向的正交各向異性板，則在外部激勵(lì)f(x,y,t)下的法向振動(dòng)位移響應(yīng)控制方程為[20]

(1)

其中正交各向板的參數(shù)定義為

式中:E1，E2和v1,v2分別為沿x,y方向的彈性模量和泊松比;G為xy平面的剪切模量；ρ為平板材料密度；h為薄板厚度。

在圓頻率為ω的簡(jiǎn)諧激勵(lì)f(x,y,t)=F(x,y)e-iωt下，正交各向薄板的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

ρhω2w=F

(2)

該式為4階微分方程，要獲得薄板的法向振動(dòng)位移響應(yīng)w，則至少需要確定兩類結(jié)構(gòu)邊界條件。與各向同性板類似，其常用的邊界條件也包括運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界、力學(xué)邊界和混合邊界。

運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界

(3)

力學(xué)邊界

(4)

混合邊界

(5)

轉(zhuǎn)角

(6)

彎矩

(7)

等效剪切力

(8)

2 正交各向異性薄板作用力響應(yīng)

外部激勵(lì)作用于正交各向異性薄板時(shí)，由于薄板的材料特征與各向同性材料已經(jīng)不同，得到的響應(yīng)也會(huì)不一樣。因此，對(duì)于此類材料薄板，在外部激勵(lì)下的振動(dòng)位移響應(yīng)，成為求解薄板全局彎曲振動(dòng)響應(yīng)的關(guān)鍵。考慮集中力的情況下，在平板的垂直法向作用一簡(jiǎn)諧力于(x0,y0)，則有

f(x,y,t)=Fe-iωtδ(x-x0)δ(y-y0)

(9)

則控制方程式(2)可表達(dá)為

ρhω2w=Fδ(x-x0)δ(y-y0)

(10)

運(yùn)用二維傅里葉變換將w(x,y)轉(zhuǎn)化為波數(shù)域(kx,ky)有

(11)

相應(yīng)的逆變換為

(12)

將上式的積分變量(kx,ky)轉(zhuǎn)換為(k,a)的函數(shù)kx=kcos(a),ky=ksin(a)。由于是對(duì)角度進(jìn)行積分，將笛卡爾坐標(biāo)(x,y)轉(zhuǎn)換到柱坐標(biāo)(r,θ)下有x=rcos(θ),y=rsin(θ)。由于響應(yīng)以2π為周期的積分，將式(12)按cos(a-θ)>0和cos(a-θ)≤0進(jìn)行分段積分，相應(yīng)的積分區(qū)間為0-π/2～θ+3π/2，得到無限正交各向異性板在點(diǎn)激勵(lì)下的響應(yīng)為[21-22]

(13)

式中：kf(a)為定義的角坐標(biāo)下彎曲波數(shù)。

(14)

G(a)=D11cos(a)4+2(D12+2D66)cos(a)2sin(a)2+

D22sin(a)4

(15)

為體現(xiàn)正交各向異性板在點(diǎn)激勵(lì)下的響應(yīng)特性，現(xiàn)取尺寸為(0.4 m×0.4 m)的方形石墨-環(huán)氧薄板，其主軸與x,y方向平行,材料參數(shù)為E11=138 GPa，E22=8.9 GPa，G12=5.176 GPa，v12=0.3，ρ=1 600 kg/m3，h=0.005 m。在其正中位置施加單位力，計(jì)算該薄板的法向位移響應(yīng)，結(jié)果如圖1所示，可知正交各向異性板的位移響應(yīng)不再如各向同性板響應(yīng)是圓形的軸對(duì)稱云圖，而是根據(jù)各主軸彈性模量的變化而變化。

圖1 各向異性板振動(dòng)位移響應(yīng)Fig.1 Displacement response of an orthotropic plate

3 正交各向異性薄板波函數(shù)法

波函數(shù)法是一種完全不同于單元類方法的確定性數(shù)值分析手段。該方法是將分析域變量表示為嚴(yán)格滿足控制方程的一系列波函數(shù)的疊加，再通過加權(quán)余量法實(shí)現(xiàn)邊界殘差積分歸零來求得各波函數(shù)的權(quán)系數(shù)，進(jìn)而得到全局響應(yīng)。

基于波函數(shù)法理論，正交各向異性板的法向振動(dòng)位移w可表示為一系列波函數(shù)φs的疊加

(16)

3.1 正交各向異性材料波函數(shù)

由式(16)可以發(fā)現(xiàn)要求得正交各向異性材料薄板的彎曲振動(dòng)響應(yīng)，前提是得到精確滿足齊次控制方程的結(jié)構(gòu)波函數(shù)。采用類似各向同性材料薄板的波函數(shù)形式，而由于正交各向異性材料各主軸參數(shù)的不同，對(duì)應(yīng)x和y方向的波數(shù)定義也將不同。

(17)

式中：nb=4(ns1+1)+4(ns2+1)為模型自由度，也即計(jì)算成本的反映。

將定義的波函數(shù)形式代入式(2)的齊次方程中得到

(18)

式中:Lx,Ly為薄板在x,y方向的外輪廓尺寸。

依據(jù)波函數(shù)法理論，求解變量在波函數(shù)取無窮數(shù)量時(shí)才能得到精確解。實(shí)際中需要一定的截?cái)鄿?zhǔn)則，該準(zhǔn)則是要求最高頻率下波數(shù)滿足描述實(shí)際物理尺寸的振蕩特性。定義截?cái)嘞禂?shù)T(≥2)，滿足如下規(guī)則

(19)

3.2 邊界積分

類似于各向同性板的波函數(shù)法，板的響應(yīng)由各波函數(shù)疊加得到，且各波函數(shù)的權(quán)系數(shù)仍由邊界積分得到。運(yùn)用Galerkin加權(quán)余量法使板的各邊殘差為零，有

(20)

將各邊界余量值Rw，Rθ，RM，RV代入式(20),得到包含各波函數(shù)權(quán)系數(shù)ws的系統(tǒng)矩陣如式(21)，求解該矩陣，再將獲得的波函數(shù)系數(shù)代入式(16)，便可求解得到正交各向異性薄板的彎曲振動(dòng)響應(yīng)。

[A]{ws}={f}

(21)

其中,

(22)

4 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證論述方法的正確性，引入單向纖維聚合矩形薄板，結(jié)構(gòu)尺寸如圖2所示，材料參數(shù)如表1所示，分析其在周邊簡(jiǎn)支與周邊固支情況下的法向振動(dòng)響應(yīng)。板的厚度為1 mm，在板(xq,yq)=(0.16 m,0.14 m) 處作用一法向單位力，并設(shè)定點(diǎn)(0.46 m,0.3 m)為參考響應(yīng)點(diǎn)。波函數(shù)法模型的建模與求解都在matlab平臺(tái)，且截?cái)嘞禂?shù)T=6。為了對(duì)比，該薄板振動(dòng)響應(yīng)也以有限元軟件MSC/Nastran2012進(jìn)行分析。為了保證有限元法的精度，采用了尺寸為4 mm的四邊形殼單元進(jìn)行建模，且采用了直接求解方式。

圖2 正交各向異性板Fig.2 Problem geometry of orthotropic plate

表1 復(fù)合材料參數(shù)Tab.1 Mechanical properties of orthotropic materials

4.1 簡(jiǎn)支邊界

對(duì)于邊界為周邊簡(jiǎn)支的薄板在200 Hz的響應(yīng)如圖3所示。結(jié)果表明，波函數(shù)法結(jié)果與精細(xì)建模的有限元結(jié)果一致。由薄板在單位力的位移響應(yīng)方程可以看出，由于激勵(lì)點(diǎn)位置距離過小，造成了特解方程在此點(diǎn)奇異，其值是運(yùn)用附近點(diǎn)擬合求得，因此該點(diǎn)與有限元法的計(jì)算結(jié)果存在一定差異。

圖3 簡(jiǎn)支邊界正交各向薄板200 Hz振動(dòng)響應(yīng)Fig.3 Displacement of orthotropic plate with simply supported boundary at 200 Hz

同時(shí)，對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的正交各向異性板，可以雙級(jí)數(shù)的形式加以描述[23]，并以此進(jìn)一步驗(yàn)證波函數(shù)法的正確性。

(24)

其中，

式中：m，n分別為x,y方向半正弦波的波數(shù)，本文中m=n=50。

圖4為選擇參考點(diǎn)R在1～1 000 Hz的振動(dòng)響應(yīng)位移曲線。為對(duì)波函數(shù)法進(jìn)行充分的驗(yàn)證，該點(diǎn)的響應(yīng)以雙級(jí)數(shù)法、有限元法(精細(xì)網(wǎng)格)與波函數(shù)法進(jìn)行計(jì)算與對(duì)比。從圖中可以看出，三種方法得到的結(jié)果吻合較好，也驗(yàn)證了基于波函數(shù)法對(duì)正交各向異性板在簡(jiǎn)支邊界下的正確性。

圖4 簡(jiǎn)支邊界下參考點(diǎn)的頻響對(duì)比曲線Fig.4 Frequency response of reference point R with simply supported boundary

4.2 固支邊界

對(duì)于周邊固支的薄板，也與成熟的有限元法進(jìn)行了對(duì)比。圖5為不同數(shù)值方法下得到的薄板在150 Hz時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)位移云圖，說明了在固支條件下波函數(shù)法計(jì)算得到的結(jié)果與精細(xì)有限元模型得到的結(jié)果一致。且參考點(diǎn)在1～1 000 Hz下的響應(yīng)結(jié)果如圖6，也驗(yàn)證了該方法對(duì)正交各向異性薄板振動(dòng)響應(yīng)的有效性。

圖5 固支邊界正交各向異性薄板150 Hz振動(dòng)響應(yīng)Fig.5 Displacement of orthotropic plate with clamped boundary at 150 Hz.

圖6 R點(diǎn)頻率響應(yīng)曲線Fig.6 Frequency response of reference point R with clamped boundary

4.3 收斂性分析

在波函數(shù)法應(yīng)用于正交各向異性材料時(shí)，其計(jì)算效率也是反映該數(shù)值方法的主要指標(biāo)。因此，本節(jié)對(duì)波函數(shù)法與有限元法進(jìn)行比較，分析各自收斂性。通過定義500 Hz時(shí)的相對(duì)誤差來表征計(jì)算精度

在同樣的計(jì)算機(jī)配置下(i5-3470,8 G內(nèi)存)，基于計(jì)算時(shí)間的收斂曲線如圖7所示，盡管波函數(shù)法的計(jì)算時(shí)間包括了模型構(gòu)建的時(shí)間，相對(duì)于有限元法計(jì)算，仍然有大幅降低。

而模型自由度是其計(jì)算量與物理存儲(chǔ)的重要表征，直接關(guān)系到計(jì)算所需的物理內(nèi)存，因此同時(shí)參考何雪松等的研究，以各方法計(jì)算自由度為橫坐標(biāo)。圖8為波函數(shù)法與有限元法在隨模型自由度變化下的相對(duì)誤差曲線，對(duì)于正交各向異性材料，相較于有限元法，波函數(shù)法仍有著更高的計(jì)算效率。

圖7 有限元與波函數(shù)基于計(jì)算時(shí)間的收斂曲線對(duì)比Fig.7 Comparison of convergence with CPU times

圖8 有限元與波函數(shù)基于模型自由度的收斂曲線對(duì)比Fig.8 Comparison of convergence with degree of freedom

5 結(jié) 論

文章運(yùn)用波函數(shù)法對(duì)正交各向異性薄板的彎曲振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析，得到了能精確描述正交各向異性薄板振動(dòng)控制方程的結(jié)構(gòu)波函數(shù)。基于傅里葉變換推導(dǎo)出了無限正交各向異性薄板在單位激勵(lì)力的振動(dòng)幅值響應(yīng)，再結(jié)合加權(quán)余量法得到薄板全局響應(yīng)。引入單向纖維聚合矩形薄板，運(yùn)用有限元法、級(jí)數(shù)分析方法和波函數(shù)法對(duì)其簡(jiǎn)支邊界下的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算，并以有限元法與波函數(shù)法對(duì)固支邊界下的薄板振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算，兩種邊界條件下的對(duì)比結(jié)果都驗(yàn)證了基于波函數(shù)法對(duì)正交各向異性薄板彎曲振動(dòng)響應(yīng)分析的有效性。收斂性分析結(jié)果說明，相較于有限元法，波函數(shù)法有更高的計(jì)算效率，可適用于更高頻段振動(dòng)的預(yù)測(cè)與分析。下一步將考慮正交各向異性結(jié)構(gòu)的聲耦合系統(tǒng)的波函數(shù)法響應(yīng)以及探索針對(duì)各向異性材料的波函數(shù)法。