檢測剛度非線性對雙檢測微陀螺靈敏度穩定性影響

郝淑英, 李會杰, 張辰卿, 張琪昌, 馮晶晶, 李 磊

(1.天津理工大學 機電工程國家級實驗教學示范中心，天津 300384；2.天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室，天津 300384；3. 天津市非線性動力學與控制重點實驗室，天津 300072)

微陀螺儀是一種微傳感器，用于測量物體相對慣性空間轉動的角速度或者角度，在各種制導航空彈藥、微小飛行器、穩定平臺、機器人等軍事領域和汽車導航、消費電子、移動應用等民用領域有著廣闊的應用前景[1]。在微機械陀螺的研究中，陀螺的靈敏度和分辨率的提高始終是人們追求的主要目標[2]。微陀螺儀是基于線性振動理論利用驅動模塊與檢測模塊發生共振從而獲得最大的靈敏度為目標設計的，但學者們在研究過程中發現，微電子機械系統中存在著多種非線性因素，如所用特殊材料的非線性、剛度的非線性、靜電力的非線性以及擠壓氣隙阻力的非線性等，這些因素的存在往往會導致線性動力學的設計不精確甚至失效。Braghin等[3]對支撐梁大變形范圍的測試結構的非線性振動進行了試驗和數值模擬。研究表明，一個簡單的非線性集總參數模型足以描述陀螺儀，并證明微陀螺剛度非線性的存在。高嶸等[4]考慮微諧振器空氣阻尼力的非線性因素,得到考慮非線性阻尼力的平板振幅值非常接近試驗值,驗證了非線性阻尼力的存在；文永蓬等[5]指出非線性剛度會造成微陀螺在零角速度附近有較大的輸出，即出現明顯的零點漂移；剛度非線性特性還會影響閉環諧振電路的穩定性，如果控制電路參數設置處理不好，會出現混沌、分岔等震蕩不穩定現象[6-8]。尚慧琳等[9]指出在主共振和較大的載體角速度下，激勵頻率的變化容易引起微陀螺振動系統的多穩態解、振幅跳躍現象和概周期響應等復雜動力學行為，并指出振幅跳躍現象是一種全局失穩行為，使得微陀螺的測量穩定性和精度遭到破壞。但上述研究僅限于單驅動單檢測微陀螺簡稱單自由度微陀螺。單自由度微陀螺固有的缺陷是極窄的帶寬，頻率的任何波動均會導致靈敏度極大的波動，在改進微機械陀螺結構設計過程中，提出了通過增加陀螺的機械自由度來提升陀螺帶寬和穩定性[10-11]。朱奎寶等[12]設計一種新的三自由度諧振式MEMS陀螺結構,檢測方向為雙自由度,有效解決了陀螺帶寬與檢測靈敏度間的矛盾問題,提高了陀螺抗干擾的性能。郝燕玲等[13]研究了多自由度微陀螺的結構參數對其性能的影響，為多自由度陀螺結構參數的選取指明了方向。但在多自由度微陀螺的相關研究中通常在實際的檢測輸出的表達式中消去科氏力的影響，隱藏了科氏力變化對檢測輸出的影響，將雙檢測系統看作相對驅動獨立存在的兩自由度系統，且對多自由度微陀螺非線性動力學問題的研究還未見報導，尤其由于剛度非線性造成的振幅跳躍、共振頻率的偏移對多自由度微陀螺靈敏度的穩定性和帶寬的影響很少有報道。

本文以單驅動雙檢測三自由度微陀螺為研究對象，文中采用解析和數值仿真結合的方法來研究檢測一剛度非線性對微陀螺檢測方向的幅頻曲線、共振頻率和微陀螺性能的穩定性的影響規律。首先采用復指數法求解雙檢測微陀螺的線性穩態響應，并分別繪制考慮和忽略科氏力對檢測輸出的影響的幅頻曲線，進而對比這兩種情況來分析科氏力對靈敏度的穩定性和檢測帶寬的影響。其次，利用多尺度法獲得剛度非線性動力學方程周期解的解析形式，繼而針對檢測一剛度非線性對微陀螺檢測幅頻曲線造成的復雜非線性現象如何影響微陀螺靈敏度的穩定性和帶寬展開具體分析。

1 單驅動雙檢測微陀螺的工作原理

圖1 單驅動雙檢測微陀螺動力學模型Fig.1 Dynamic model of single-drive double-sense micro-gyroscope

建立該微陀螺動力學方程

(1a)

式中：x,mx,Cx,kx,yi,myi,Cyi,kyi分別為微陀螺驅動方向，檢測方向第i自由度的位移、質量、阻尼系數、彈性梁彈性系數，i=(1,2)，Ωz為微陀螺輸入角速度;F0為靜電驅動力;ω0為激勵頻率。

(1b)

式(1a)穩態解為x=Axsin(ω0t-φ)，ωx為驅動方向的固有圓頻率，其中

(2)

2 模型的線性剛度分析

2.1 檢測方向的模態頻率

式(1)中微陀螺檢測方向的運動微分方程為

式中:M為微陀螺檢測方向的質量矩陣；K為剛度矩陣。

2.2 采用復指數法求解方程的解

(3)

求解式(3)可得檢測方向第一、第二自由度的幅頻方程

(4)

當不考慮科氏力對檢測一、二的響應的影響時，對式(4)進行化簡即可得此時檢測一、二的幅頻方程

(5)

式中：ac=2AxΩzω0和fc1=2my1ΩzAxω0，fc2=2my2ΩzAxω0分別為檢測一和檢測二科氏力的加速度和幅值。

式中：微陀螺參數見表1；幅頻響應曲線如圖2所示。

表1 微陀螺參數Tab.1 Micro gyro structure parameters

圖2 檢測方向線性剛度下的幅頻曲線Fig.2 Amplitude frequency curve of sense detection under linear stiffness

目前大多數的分析均忽略了科氏力變化對檢測輸出的影響，即在實際檢測輸出表達式中消去科氏力因素的影響，將雙檢測系統看作相對驅動獨立存在的兩自由度系統[15]，其檢測響應只能得到與兩個檢測模態頻率相對應的結果。根據式(5)，文中繪制了這種處理時本文模型檢測二的幅頻曲線，如圖2(c)，從圖中可知只有第1和第3兩個峰值，且兩個峰值之間為平坦區域，學者們據此將帶寬定義為1和3兩個峰值頻率之差的0.54倍，然而，通過本文分析可以直接觀察到，圖2(b)中的第2個峰值直接影響到該帶寬范圍內檢測靈敏度的穩定性，即在這一帶寬范圍內不能獲得穩定的靈敏度，在驅動頻率附近區域微陀螺靈敏度隨科氏力幅值的變化而變化。

由以上的分析可知，對于單驅動雙檢測微陀螺，驅動窄的帶寬會對檢測的帶寬產生影響，只有穩定的驅動輸出才能使檢測獲得穩定的靈敏度及更好的帶寬，雙驅動雙檢測微陀螺可有效地解決這一問題。

3 模型的剛度立方非線性分析

當考慮檢測方向第一自由度的剛度非線性時，建立非線性動力學方程，ks是檢測方向第一自由度的剛度非線性系數，其動力學方程為

(6)

則式(6)化簡為

(7)

基于剛度的弱非線性假設，本文考慮小幅振動情況，忽略高頻簡諧響應，設式(7)第一式的穩定解的形式為y1=B1cos(ω0t-φ1)+ε(0)。令ρ=2ΩzAx,Ωz為輸入角速度，令Ωz=1 rad/s。則

(8)

其中，

把式(8)代入式(7)第一式得

(9)

考慮到高維非線性問題的復雜性，這里忽略檢測二的非線性僅考慮共振情況下檢測一的剛度非線性對檢測一及檢測二輸出的穩定性及微陀螺靈敏度的影響。在這里我們提出一種有效的方法來處理方程的耦合項，將式(9)中包含B1的耦合激勵項經過變換化成系統的剛度項和阻尼項的組合形式，由于本文考慮的是攝動法下的一階近似解，所以耦合激勵項的解耦不會引入非線性阻尼項，數值解和解析解的吻合也說明了解耦不會引入非線性阻尼項。由此化簡為

(10)

(11)

(12)

則式(11)為

(13)

比較式(13)ε同次冪后得到一組線性偏微分方程

(14)

式(14)第一式的解為y10=E(T1)exp(iω2T0)+cc，cc為y10中表達式的復共軛，其中

(15)

將式(15)代入式(14)的第二式并消除永年項有

(16)

設φ1(T1)=σT1-θ(T1)，分離式(16)的實部虛部并化簡得

(17)

為求其定常解，令式(17)右端為零，并展開求得：sinφ1，cosφ1的表達式，又sin(φ1)2+cos(φ1)2=1，消去φ1，可以得到檢測方向第一自由度的幅頻響應方程為

(18)

其中，

由于，

(20)

式(18)和式(20)即為檢測方向第一、二自由度的幅頻響應方程，結合數值掃頻，利用Mathematics數學仿真軟件畫出檢測方向兩個自由度的幅頻響應曲線，分別如圖3、圖4所示。由于系統檢測1方向的彈性力為

圖3 剛度非線性對檢測一幅頻曲線的影響Fig.3 Effect of stiffness nonlinearity on the sense 1 amplitude-frequency curve

由圖3(a)和圖(b)可知，在剛度非線性系數ks較小時，相對線性幅頻曲線，非線性曲線只是發生了微小的偏移，和線性結果幾乎一致，圖3(c)～圖(f)表明隨著剛度非線性系數ks的加大，幅頻曲線非線性程度明顯增加，峰值逐漸增大，幅頻曲線出現不穩定區域(虛線)，側彎、跳躍現象，其中虛線部分代表近似周期解的失穩區域，很明顯，失穩區域是幅頻特性曲線上多解情況的中間解支，即幅頻特性曲線上兩個垂直切線點之間的虛線部分，此區域上有兩個漸近穩定解和一個不穩定解，由于在數值解中只能實現漸近穩定運動，所以，在數值掃頻分析中，對漸近穩定運動的跟蹤只能按圖3(f)中箭頭所示的路徑進行，從而產生圖示的跳躍現象，即當激勵頻率由低向高變化時檢測1的穩態響應由3直接向下跳躍至4，若頻率是由高向低變化則檢測一的響應將由6向上跳躍至2。

圖4為檢測二的幅頻響應曲線，由圖4可知檢測二幅頻曲線的變化規律與檢測一類似。圖4省略了剛度非線性忽略不計的情況。

當剛度非線性系數達到1018數量級時(非線性彈性力是線性彈性力的1.9%)，此時剛度非線性的影響開始顯現。在圖4(a)～圖4(d)中非線性剛度系數的量級分別增加了0.3,0.2和0.1個數量級，比較圖4(a)～圖4(d)可知，隨著非線性強度增加系統對非線性越來越敏感，圖4(d)(非線性彈性力是線性彈性力的3.9%)的共振頻率的偏移量及共振時的幅值相對于圖4(c)都顯著增加，解跳躍的幅值明顯加大，多解的頻域范圍明顯加寬。

剛度非線性系數為1018.6N/m3時，對比線性結果，峰值處的靈敏度增加了40.53%，但峰值處還存在另一遠低于峰值的穩態解，非線性系統與線性系統的區分之一是其解存在對初值的依賴性，即微陀螺檢測到的信號是哪個穩態解取決于激勵頻率是增大的走勢還是減小的走勢。由此可知當剛度非線性達到一定程度時會導致微陀螺靈敏度失穩發生大幅跳躍，失穩的頻域范圍隨剛度非線性的增加而加寬，共振頻率的偏移也導致其線性系統所設計的靈敏度及帶寬無法實現，由此導致線性系統設計的失效。因此，在微陀螺的設計中應對所設計的微梁的剛度非線性程度有充分的認識，并對其在該剛度非線性下的動力學行為進行分析，方能避免線性系統設計的失效。

圖4 剛度非線性對檢測二幅頻響應曲線的影響Fig.4 Effect of stiffness nonlinearity on the sense 2 amplitude-frequency curve

在驅動方向模態頻率處檢測一、二屬于非共振情況，圖5和圖6給出了較大的剛度非線性系數的數值解和線性解析解的幅頻曲線，從圖中可知，非線性數值解和線性解析結果幾乎一致，因此檢測一剛度非線性的存在并不影響微陀螺檢測二方向在驅動模態頻率處的響應。

圖5 檢測一在驅動模態頻率附近的幅頻曲線Fig.5 Sense 1 amplitude-frequencycurvenear drive modal frequency

圖6 檢測二在驅動模態頻率附近的幅頻曲線Fig.6 Sense 2 amplitude-frequencycurve near drive modal frequency

由圖7和圖8知，在檢測二的模態頻率處檢測一、二幅頻曲線受剛度非線性影響不大，可以忽略不計。

顯然圖4、圖6及圖8的組合可反映檢測一剛度非線性下檢測二整體的輸出響應曲線的主要特征，該曲線為最終的檢測信號，若將圖2(b)定義的區帶A處做為微陀螺的帶寬，顯然檢測一的剛度非線性較大時會導致微陀螺在較寬的頻率范圍內靈敏度失穩，且其靈敏度與線性系統的設計值相差甚遠。由圖4(d)可知當檢測一非線性彈性力是線性彈性力的3.9%時(檢測一剛度非線性系數為1018.6N/m3)，剛度非線性已對微陀螺靈敏度的穩定時構成嚴重影響。

圖7 檢測一在檢測二模態頻率附近的幅頻曲線Fig.7 Sense 1 amplitude-frequencycurve near sense 2 modal frequency

圖8 檢測二在其模態頻率附近的幅頻曲線Fig.8 Sense 2 amplitude-frequencycurve near its modal frequency

同理可知檢測二的剛度非線性只會導致在檢測二模態頻率處出現硬化特性，并不影響區帶A的檢測輸出信號。當驅動、檢測一、檢測二均存在較大的剛度非線性時，檢測二的幅頻曲線在檢測一、二模態頻率及驅動頻率處都會發生硬化現象，并且由于高維非線性問題的復雜性，其對靈敏度穩定性和帶寬的影響將更復雜(后期將開展相關的研究工作)，因此應盡力降低剛度非線性才能保證微陀螺獲得高帶寬和穩定的靈敏度，大變形引起的幾何非線性是產生剛度非線性的主要原因，可以通過改變彈性微梁的結構或尺寸的優化來降低由大變形引起的幾何非線性以減弱彈性微梁的剛度非線性。

4 結 論

本文針對一種單驅動雙檢測三自由度的微陀螺，在考慮科氏力對檢測輸出影響的前提下對這該復雜動力學系統的線性及非線性動力學特性進行了分析，研究發現：無論是否考慮微陀螺的非線性因素，單驅動微陀螺窄的驅動帶寬都會對微陀螺檢測帶寬及微陀螺靈敏度的穩定性產生影響；檢測一剛度非線性導致檢測一、二幅頻曲線均在檢測一模態頻率處出現惡劣的振幅跳躍現象，嚴重造成檢測一和驅動模態頻率范圍之間的靈敏度失穩，即微陀螺性能的穩定性遭到破壞；微陀螺靈敏度的穩定性及失穩的帶寬范圍對剛度非線性十分敏感，當剛度非線性達到某一值時其微小的增長都會嚴重影響微陀螺的靈敏度的穩定性并使失穩的帶寬范圍顯著增加，如此會導致線性系統設計的失效。當驅動、檢測一、二均存在較大的剛度非線性時，檢測二的幅頻曲線在檢測一、二模態頻率及驅動頻率處將都會發生硬化現象，并且由于高維非線性問題的復雜性，其對靈敏度穩定性和帶寬的影響將更復雜，因此應盡力降低剛度非線性才能保證微陀螺獲得高帶寬和穩定的靈敏度。