通過極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)分流揚(yáng)聲器

柳維瑋， 毛崎波,2

(1. 南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌 330063； 2. 揚(yáng)州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127)

管道噪聲控制通常采用主動(dòng)控制手段和阻尼材料隔聲吸聲的被動(dòng)控制手段[1-2]。然而，龐大的控制系統(tǒng)和復(fù)雜的算法阻礙了主動(dòng)控制噪聲的發(fā)展，運(yùn)用隔聲吸聲材料的被動(dòng)控制的效果隨噪聲頻率的降低隨之減弱的缺點(diǎn)也使得這種控制方式受到限制[3-4]。

近年來(lái)，壓電分流阻尼控制技術(shù)在結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注。

Fleming等[5]首先提出把分流阻尼技術(shù)推廣應(yīng)用于噪聲控制，即在揚(yáng)聲器電極兩端與分流電路相連接，通過設(shè)計(jì)分流電路使得分流揚(yáng)聲器吸聲峰值的頻率改變。這種分流揚(yáng)聲器技術(shù)的主要優(yōu)點(diǎn)在于控制系統(tǒng)不需要誤差傳感器，也不需要主動(dòng)控制技術(shù)中的功放，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，調(diào)節(jié)參數(shù)方便，適于工程實(shí)踐推廣應(yīng)用。Zhang等采用分流揚(yáng)聲器主動(dòng)控制對(duì)低頻的管道噪聲抑制展開了研究。Tao等采用了分流揚(yáng)聲器和微穿孔板組合的方式對(duì)寬頻的管道噪聲控制取得良好的控制效果。Lissek等[6]為分流揚(yáng)聲器設(shè)計(jì)了寬頻的分流電路。但是這些研究對(duì)分流揚(yáng)聲器參數(shù)設(shè)計(jì)，特別是分流揚(yáng)聲器最佳位置的選擇并沒有詳細(xì)闡述。

本文從建立分流揚(yáng)聲器和管道的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，提出極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)分流揚(yáng)聲器。推導(dǎo)出分流揚(yáng)聲器RLC并聯(lián)電路的最佳參數(shù)值，以及分流揚(yáng)聲器的最佳位置。并且通過數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的分流揚(yáng)聲器控制管道噪聲的效果。

1 模型建立

1.1 管道揚(yáng)聲器耦合模型

假設(shè)有一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)x的管道，側(cè)邊裝有一個(gè)作為控制的揚(yáng)聲器。揚(yáng)聲器與分流電路相連接，相當(dāng)于將壓電阻尼系統(tǒng)中的壓電換能器換為揚(yáng)聲器，由此將這個(gè)揚(yáng)聲器命名為分流揚(yáng)聲器。管道和揚(yáng)聲器的布置方式如圖1所示。

管道內(nèi)的模態(tài)壓力可以表示為[7]

(1)

式中:ρ0和c0分別為空氣密度和聲速；ζn為管道第n階聲模態(tài)的阻尼比；ωn為第n階固有頻率；Pn為對(duì)應(yīng)第n階模態(tài)坐標(biāo)下的聲壓系數(shù)；Fsh,n為由分流揚(yáng)聲器在第n階所產(chǎn)生的模態(tài)壓強(qiáng)

(2)

式中：xsh為分流揚(yáng)聲器紙盆表面的位移；Xsh為分流揚(yáng)聲器的坐標(biāo)位置；Ssh為分流揚(yáng)聲器紙盆的面積；Ωn為第n階歸一化的聲模態(tài)函數(shù)

(3)

1.2 分流揚(yáng)聲器模型

揚(yáng)聲器的機(jī)械模型如圖2所示，揚(yáng)聲器運(yùn)動(dòng)方程可表示為[8-9]

(4)

式中：Mm，Cm和Km分別為揚(yáng)聲器的移動(dòng)質(zhì)量，阻尼和剛度；Bl為音圈的力電耦合因數(shù)；I為電流；p為作用在紙盆上的壓強(qiáng)

(5)

圖2 揚(yáng)聲器的機(jī)械模型Fig.2 Mechanical model of loudspeaker

式中：pF和pR分別為紙盆前面和背面的壓強(qiáng)；Vsh為揚(yáng)聲器背腔體積。

然而式(4)中的揚(yáng)聲器輸入電流I并不能直接得到，揚(yáng)聲器等效電路原理圖如圖3所示。根據(jù)揚(yáng)聲器的等效電路原理可以得到揚(yáng)聲器的輸入電壓Vin與電流I的關(guān)系[10-11]

(6)

式中：Lm和Rm是揚(yáng)聲器自身的電感和電阻；Bl為音圈的力電耦合因數(shù)。

對(duì)于所提出的分流揚(yáng)聲器，由于沒有外接電源，所以Vin為分流電路兩端電壓，可以將其電壓定義為

Vin=-ZshI

(7)

式中：Zsh為分流電路的阻抗。

設(shè)計(jì)分流電路目的是通過改變分流電路的元件參數(shù)，調(diào)節(jié)揚(yáng)聲器等效質(zhì)量、阻尼和剛度，從而改變揚(yáng)聲器的固有頻率和阻尼比。為此選擇采用如圖3所示的分流電路。基本思路為: 首先通過集成運(yùn)放實(shí)現(xiàn)負(fù)電阻和負(fù)電感來(lái)抵消揚(yáng)聲器自身的電阻值及電感值，再加入一組并聯(lián)的RLC電路，使得揚(yáng)聲器的固有頻率和阻尼比可以獨(dú)立調(diào)節(jié)。

由圖3所示電路元件的連接方式可以得到分流電路的等效阻抗為

(8)

式中：Cs，Rs和Ls分別為分流電路中并聯(lián)的電容、電阻和電感。

圖3 分流電路原理圖Fig.3 Shunt circuit schematic

將式(4)和式(6)～式(8)聯(lián)立求解，整理后可以得到

(9)

從式(9)可以發(fā)現(xiàn)，分流電路中的電容Cs、電阻Rs和電感Ls分別改變的是分流揚(yáng)聲器的等效質(zhì)量、等效阻尼和等效剛度。當(dāng)預(yù)想調(diào)節(jié)分流揚(yáng)聲器的固有頻率時(shí)，可以通過調(diào)節(jié)分流電路的電容值Cs，也可以通過調(diào)節(jié)分流電路的電感值Ls使分流揚(yáng)聲器固有頻率改變。這里假設(shè)電容值Cs為定值，通過調(diào)節(jié)分流電路的電感值Ls使其固有頻率改變。

2 極點(diǎn)配置方法

考慮作為輸出量的聲壓系數(shù)Pn，將式(9)代入式(1)中，并對(duì)其進(jìn)行拉式變換，整理可以得到極點(diǎn)的特征方程

(10)

式中:Msh=Mm+(Bl)2·Cs;Csh=Cm+(Bl)2/Rs;Ksh=KT+(Bl)2/Ls。

通過式(10)的形式可以知道特征方程在復(fù)平面有兩對(duì)共軛復(fù)根。假設(shè)這兩對(duì)共軛復(fù)根為s1,2=A1±iB1，s3,4=A2±iB2， 其中A1和A2是負(fù)實(shí)數(shù)。由文獻(xiàn)[12]可知，對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)動(dòng)態(tài)分量衰減越快，并且起主導(dǎo)作用的是離虛軸最近的主導(dǎo)極點(diǎn)。定義主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸距離為rd=min{|Re(si)|}。因此，對(duì)分流電路的優(yōu)化即是將主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸距離rd最大化。也就是說，只有當(dāng)A1=A2=A，B1=B2=B時(shí)，rd的值最大。所以可以把式(10)重新表示為

(s2-2sA+A2+B2)2=0

(11)

將式(11)展開表示為

s4+(-4A)·s3+(6A2+2B2)·s2+
(-4A3-4AB2)·s+(A2+B2)2=0

(12)

若要使rd的值最大，則式(10)必須滿足式(12)的形式，由此得到4個(gè)代數(shù)方程

(13)

由于前面假設(shè)電感值Cs為定值，即Msh為定值。通過求解式(13)即可得到分流揚(yáng)聲器的最佳等效阻尼以及最佳等效剛度,再將其代入式(10)中，即可以得到分流電路的最佳電阻值以及最佳電感值

(14)

(15)

從式(14)可以看出，最佳電阻值不僅與所控制的頻率有關(guān)，還與分流揚(yáng)聲器的位置Xsh有關(guān)。

3 數(shù)值計(jì)算

根據(jù)第2節(jié)所建立的揚(yáng)聲器-管道模型，假設(shè)管道及揚(yáng)聲器參數(shù)如表1及表2所示。通過MATLAB軟件編程計(jì)算得到管道噪聲的前四階固有頻率分別為: 147 Hz, 289 Hz, 431 Hz, 574 Hz。現(xiàn)在設(shè)計(jì)揚(yáng)聲器分流電路，分別控制管道的前四階噪聲，選用電容值為Cs=100 nF，運(yùn)用極點(diǎn)配置方法，通過式(15)可得分流電路參數(shù)的最佳電感值分別為: (Ls)opt1=0.002 8 H，(Ls)opt2=6.574×10-4H， (Ls)opt3=2.911×10-4H， (Ls)opt4=1.633×10-4H。

表1 管道參數(shù)表Tab.1 Duct parameters

表2 揚(yáng)聲器參數(shù)表Tab.2 Loudspeakers parameters

當(dāng)分流揚(yáng)聲器位于Xsh=0.8 m時(shí)，由式(14)可知，控制前四階模態(tài)時(shí)的最佳電阻值分別為(Rs)opt1=5.086 Ω，(Rs)opt2=4.978 Ω，(Rs)opt3=2.103 Ω，(Rs)opt4=4.775 Ω。所得控制效果如圖4所示，從圖4可以發(fā)現(xiàn)，本文所提出的分流揚(yáng)聲器的設(shè)計(jì)方法能夠有效控制所針對(duì)的模態(tài)。

為了進(jìn)一步分析分流揚(yáng)聲器的控制效果，通過改變分流揚(yáng)聲器的位置Xsh，得到分流揚(yáng)聲器不同位置時(shí)，控制前四階管道噪聲模態(tài)的最佳電阻值曲線圖，如圖5所示。

通過前面的分析可知，分流電路中的電阻值與分流揚(yáng)聲器的等效阻尼密切相關(guān)。而最佳電阻值的選取與分流揚(yáng)聲器的位置有關(guān)，這就表示分流揚(yáng)聲器的位置對(duì)管道噪聲的控制效果有很大影響。并且從圖5可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于控制管道噪聲的不同模態(tài)，最佳電阻值的選取也隨之變化，這說明控制管道噪聲的不同模態(tài)，布置分流揚(yáng)聲器的最佳位置不同。

圖4 管道噪聲控制效果圖Fig.4 Duct noise control effect diagram

圖5 分流揚(yáng)聲器不同位置時(shí)最佳電阻值曲線圖Fig.5 Optimal resistance value curve of different shunt loudspeaker position

分別取管道噪聲的前四階固有頻率的±50 Hz的頻帶作為研究對(duì)象。將分流揚(yáng)聲器的位置作為變量，將控制前管道噪聲的聲壓均方與控制后管道噪聲的聲壓均方之差比上激勵(lì)源聲壓均方的值作為目標(biāo)衰減值，作出曲線，如圖6所示。從圖中可以看出，分流揚(yáng)聲器控制效果基本沿著X方向?qū)ΨQ分布。控制管道噪聲第一階模態(tài)時(shí)，最佳分流揚(yáng)聲器位置在管道的端口處；控制管道噪聲第二階模態(tài)時(shí)，最佳分流揚(yáng)聲器位置位于管道中間處；控制管道噪聲第三階模態(tài)時(shí)，最佳分流揚(yáng)聲器位置位于2/3管道長(zhǎng)度位置或端口處；而控制管道噪聲第四階模態(tài)時(shí)，最佳位置可以選擇為1/4倍數(shù)管道長(zhǎng)度位置處。這是因?yàn)椋?dāng)分流揚(yáng)聲器位于模態(tài)節(jié)線位置時(shí)，控制效果很差，而當(dāng)分流揚(yáng)聲器位于目標(biāo)模態(tài)的最大幅值最大值位置時(shí)，控制效果最好。

圖6 分流揚(yáng)聲器控制管道噪聲的評(píng)價(jià)控制效果Fig.6 The evaluation control effect of shunt loudspeaker control duct noise

4 實(shí)驗(yàn)研究

根據(jù)前面所述的方法搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，其管道以及揚(yáng)聲器的參數(shù)同數(shù)值計(jì)算中表1和表2所用參數(shù)一致。采用均布的五個(gè)檢測(cè)麥克風(fēng)來(lái)測(cè)試管道內(nèi)的聲壓。實(shí)驗(yàn)圖片如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)圖片F(xiàn)ig.7 Material photo of experiment

選擇第一階模態(tài)作為控制對(duì)象。根據(jù)前面數(shù)值計(jì)算分析的結(jié)果，最優(yōu)的分流揚(yáng)聲器位置位于管道端口處Xsh=0，分流電路的最佳電感值與最佳電阻值分別為(Ls)opt1=0.002 8 H， (Rs)opt=3.705 8 Ω。選擇與第一階固有頻率相同的147 Hz單頻噪聲源信號(hào)進(jìn)行激勵(lì)，其控制結(jié)果如圖8所示。

從圖8中可以看出，檢測(cè)麥克風(fēng)輸出量明顯下降。由于是手動(dòng)開關(guān)控制，所以響應(yīng)圖略帶毛刺，而系統(tǒng)的響應(yīng)速度快。控制后的聲壓約為控制前聲壓的35%。這驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的分流揚(yáng)聲器控制管道噪聲的可行性以及對(duì)其數(shù)值計(jì)算的正確性。

圖8 第一階固有頻率噪聲控制效果圖Fig.8 First natural frequency noise control effect diagram

5 結(jié) 論

通過建立分流揚(yáng)聲器以及管道-揚(yáng)聲器耦合的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，得到控制系統(tǒng)的極點(diǎn)特征方程。運(yùn)用主導(dǎo)極點(diǎn)決定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)衰減快慢的特性，假設(shè)分流電路所采用的電容值為一定值，從極點(diǎn)特征方程中求解得到分流揚(yáng)聲器的最佳等效阻尼和最佳等效剛度，從而計(jì)算出最佳電感值以及最佳電阻值。通過分析不同的分流揚(yáng)聲器位置，得到最佳電阻值曲線，并且計(jì)算得到不同模態(tài)下的管道噪聲的平價(jià)控制效果，從而得到最佳的分流揚(yáng)聲器位置處于模態(tài)最大值處。采用數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)的分流揚(yáng)聲器對(duì)管道噪聲的控制效果，結(jié)果表明: 采用極點(diǎn)配置方法所設(shè)計(jì)的分流揚(yáng)聲器控制管道噪聲的效果良好。