電容式電磁驅動器非線性系統主共振分析

楊志安， 馮 浩

(1. 唐山學院和唐山市結構與振動工程重點實驗室，河北 唐山 063000；2. 華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山 063210)

電磁驅動器是一種重要的執行器，相比于傳統驅動器，具有噪聲小、精度高、長壽命等優點。已經越來越廣泛的應用到各個領域，如磁懸浮列車[1]、電磁驅動泵[2]、航母電磁彈射[3]，電磁激振器[4]、電磁傳感器[5]等。然而，電磁驅動器工作過程中的振動，尤其是非線性振動，嚴重影響其性能，為了改善振動影響，對其進行深入理論研究就顯得非常重要。

文獻[6]利用數值方法研究了考慮軌道非線性的多車體磁懸浮列車系統的動力學行為，給出了軌道對三車體磁懸浮列車系統與對單車體系統的動力響應。文獻[7]以環形極板為研究對象，應用多尺度法分析了該強非線性系統的主共振問題。文獻[8]應用多尺度法得到了其模型在有界窄帶隨機激勵下的一次近似解，導出系統的Ito隨機微分方程，并分析揚聲器靜圈系統參數對主共振響應曲線和均方值的影響。

在眾多的驅動器研究中，學者們集中研究的電磁驅動器系統的移動形式多為非線性移動。然而對于直線運動形式的研究卻非常少。由于直線運動行程便于測量與控制，本文改進設計一種新型電容式電磁驅動器，該驅動器是驅動電容兩極板之間介質板: 通過改變激勵電壓值，使介質板在兩極板之間做直線運動。之后研究簡諧激勵下的電磁驅動器的非線性振動系統，根據拉格朗日麥克斯韋方程，建立非線性動力學模型，采用多尺度法對系統的主共振進行求解，并應用數值法驗證分析系統各參數對振幅和共振區域的影響。

1 電容式電磁驅動器非線性動力學方程

電磁驅動器原理是將電能轉換成機械能，是典型的機電耦合系統，可以將其簡化成如圖1所示的模型。

圖1 電磁驅動器簡圖Fig.1 Electromagnetic drive diagram

通過改變激勵電壓，電容極板電壓改變，通過極板上的靜電驅動介質板直線運動。以電容介質板某一平衡位置為原點，選擇介質板位移x和電量q為廣義坐標。

1.1 作用于平行板電容器中介質板上的水平電磁力Fx[9]

(1)

(2)

圖2 電磁力Fx模型Fig.2 Fx model of electromagnetic force

則施加于薄層的總電場力為

(3)

1.2 計算平行板電容器的電容C

變介質電容器模型如圖3所示，L0，b0分別為極板的長度和寬度；d0為介質板的厚度；x為介質板運動的位移。當極板中介質為空氣時電容為

(4)

式中:ε0，εr1分別為真空和空氣的介電常數。

圖3表示2個電容器的并聯，總電容為

(5)

圖3 變介質電容器模型Fig.3 Variable dielectric capacitor model

1.3 非線性振動方程建立

計算系統動能T、勢能V、電場能We， 引入系統拉格朗日函數L

(6)

損耗函數為

(7)

非保守廣義力

(8)

根據拉格朗日麥克斯韋方程[10]建立其非線性動力學方程

(9)

式中:m，d0分別為介質質量、厚度；k，k1分別為彈簧的線性和非線性剛度；L0，b0分別為電容極板的長寬；S為電容橫截面積；E為激勵電壓。

由式(9)第一式可知，該式是關于電量q和位移x的機電耦合方程，第二式也是關于電量q和位移x的機電耦合方程，兩個式子之間又通過電量q相耦合，將第一式中的q代入第二式中可得系統的振動方程。

2 簡諧激勵主共振分析

聯立式(9)中的兩式，將式(9)中第一式(q=EC)代入第二式，化簡得

(10)

其中，

式(10)形式上是杜芬方程，實際它是機電耦合的，其激勵與外加電壓、電容器的幾何尺寸和介質板的特性有關，以下分析系統的主共振。

所謂主共振是指激勵頻率ω接近派生系統固有頻率ω0是產生的振動。如果系統是線性小阻尼系統，很小的激勵幅值F就能激發強烈的工作。因此，研究主共振時對阻尼項、外激勵幅值、非線性項都加以限制，在其前面冠以小參數ε，對式(10)進一步整理得

(11)

應用多尺度法[11]研究一次近似解，設系統(11)具有如下形式的解

x(t)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(12)

將式(12)代入式(11)，并利用導數算子表達式，比較ε同次冪的系數，得到一組線性偏微分方程

(13)

(14)

式(13)的解為

(15)

式中：cc為前面所有項的共軛。

引入

?Akhil Gupta，“Blurred Bourdaries:The Discourse of Corruption，the Culture of Politics，and the Imagined State”，American Ethnologist，22(May 1995)．

(16)

分析系統主共振問題，也就是激勵頻率與固有頻率接近時發生的共振，故設ω≈ω0， 還需引入調諧參數σ，得

ω=ω0+εσ,σ=O(1)

(17)

式(17)是系統發生主共振的頻率條件。

將式(15)、式(17)代入式(14)可得消除長期項的條件

(18)

將式(16)代入式(18)，進行化簡分離其實部和虛部得

(19)

式中:φ=σT1-β。

式(19)上下兩式聯立可解出a,φ，可得式(11)的一次近似解

x(t)=a(T1)cos(ωT0+φ)+O(ε)

(20)

由穩態系統可知D1a=0,D1φ=0， 則式(19)變為

(21)

X1a6+X2a4+X3a2+X4=0

(22)

其中，

式(22)是關于a2的一元三次方程，根據確定性非線性振動理論，穩態解穩定的充要條件是

(23)

式(23)說明系統主共振穩態解與調諧參數有關，說明對于系統主共振的幅頻響應方程式(22)，在一定的區域內，系統可能存在三個穩態解，這些穩態解并不都是穩定的。

考慮線性系統，即非線性剛度k1為0，由式(22)可得系統的線性幅頻響應方程

X3a2+X4=0

(24)

3 數值模擬

參照HEV-20型號激振器給以下參數賦值:ω0=300 rad/s，m=2 kg，c=0.25 N·s/m，k1=200 N/m，E0=0.05 V，εr2=7，εr1=ε0=1，S=L×b0=0.2×0.05=5×10-3m2，b0=0.05 m，d0=0.01 m。

按照式(22)、式(23)計算系統主共振幅頻響應曲線并分析其穩定性。其中橫坐標為調諧參數。縱坐標為振幅。

圖4～圖8為電磁驅動器主共振的幅頻響應曲線。

圖4為電磁激振器系統主共振隨阻尼系數c變化的幅頻響應曲線，由圖4可以看出，隨著調諧值的連續變化，振幅沒有發生“跳躍”現象。當增大系統阻尼系數時，系統受到的阻力增大，振幅減小，共振區域變化不明顯。

圖4 不同阻尼的幅頻響應曲線Fig.4 Amplitude frequency response curves of different damping

圖5為電磁驅動器系統主共振隨激勵電壓幅值E0變化的幅頻響應曲線。由圖5可知，隨著調諧值的連續變化，振幅沒有發生“跳躍”現象；隨著電壓激勵電壓幅值的增大，振幅和共振區域增大。

圖5 不同電壓值的幅頻響應曲線Fig.5 Amplitude frequency response curves of different voltage values

圖6為電磁驅動器系統主共振隨電容兩極板之間的距離d0變化的幅頻響應曲線。由圖6可知，隨著調諧值的連續變化，振幅沒有發生“跳躍”現象；隨著電容兩極板之間距離的增大，振幅和共振區域減小。

圖6 不同極板間距離的幅頻響應曲線Fig.6 Amplitude frequency response curves of different plates

圖7為電磁驅動器系統主共振隨電容極板長度d0變化的幅頻響應曲線。由圖7可知，隨著調諧值的連續變化，振幅沒有發生“跳躍”現象；隨著電容極板長度的增大，振幅和共振區域增大。

圖7 不同極板長度的幅頻響應曲線Fig.7 Amplitude frequency response curves of different plate lengths

圖8為電磁驅動器系統關于非線性剛度k1變化的幅頻響應曲線。由圖8可知，當非線性剛度小于2×105時，線性系統(k1=0)與非線性系統曲線未發生明顯變化，兩條幅頻響應曲線重合，此時可以忽略非線性項影響，用線性系統近似；但當非線性剛度大于2×106時，曲線發生“跳躍”現象，此時不可以忽略非線性項影響。

圖8 不同非線性剛度的幅頻響應曲線Fig.8 Amplitude frequency response curves of different nonlinear stiffness

4 結 論

新型電容式電磁驅動器電介質的直線運動，位移便于控制和測量，具有良好的實用價值。根據拉格朗日麥克斯韋方程對其建立的動力學模型，由線性項和非線性系數對比發現為弱非線性系統，與數值分析無“跳躍”現象對應。應用多尺度法分析得到了主共振的幅頻響應方程，并用數值方法分析了調諧值和振幅隨各參數變化的規律。結果表明: 理論分析與數值計算一致，增大阻尼可以減小系統振幅，但對共振區域影響較小；增大激勵電壓，系統振幅和共振區域增大；增大電容兩極板間距，振幅和共振區域減小；增大電容極板長度，振幅和共振區域增大；非線性剛度小于2×105時，忽略非線性項影響，用線性系統近似，可略去穩定性分析，非線性剛度大于2×106時，不可忽略非線性項，還需分析系統的穩定性。