非線性包裝件加速度響應首次穿越問題分析

朱大鵬

(蘭州交通大學 交通運輸學院，蘭州 730070)

包裝件在流通過程中通常要受到跌落沖擊、隨機振動、堆碼壓力等外載荷的作用，分析包裝件在各種載荷作用下的響應及損壞情況，是運輸包裝領域中研究的一個重要問題。由于包裝件在跌落時，在短時間內其運動狀態發生了較大的改變，很容易造成損壞，因此，研究者圍繞著包裝件的跌落問題，開展了一系列的研究。Wang等[1-2]將包裝件建模為二自由度系統，研究了線性和非線性包裝件在沖擊激勵作用下的響應，得到了跌落破損邊界曲線，分析了頻率比、阻尼、無量綱速度對邊界曲線的影響。王軍等[3-6]采用數值分析的方法研究了包裝系統在半正弦沖擊激勵作用下，產品中關鍵部件的響應，提出了三維沖擊譜的概念，分析了各參數對產品易損部件響應加速度峰值的影響規律。王軍等[7-8]對多層堆碼包裝系統建模，分析了該系統在半正弦沖擊激勵下的組合沖擊譜和組合破損邊界曲線，研究了各參數對沖擊譜和破損邊界的影響。文獻[9]通過實驗獲得了單次跌落沖擊對產品的損壞程度之間的關系，用于預測產品在多次沖擊作用下的損壞，提高了產品受到連續沖擊受損程度的預測精度。Daum[10]考慮了產品關鍵部件塑性破壞模式，提出了構建產品疲勞沖擊譜的方法。高德等[11-12]在構建非線性包裝系統模型時，考慮了包裝件內產品的轉動，分析了包裝件在受到沖擊時的響應。陳安軍[13]采用變分迭代理論分析了非線性包裝件的跌落響應問題。

除了沖擊載荷外，包裝件在流通過程中，長時間受到隨機振動的作用。在隨機振動載荷作用下，包裝件的加速度響應有可能超出產品的脆值引起產品的損壞，該問題即為包裝件加速度響應的首次穿越問題。研究包裝件的首次穿越問題，對于優化包裝設計、提高包裝件在流通中的可靠度具有重要意義。結構的首次穿越問題是結構隨機動力學領域的一個重要研究問題，但在運輸包裝領域，對該問題的研究還比較欠缺。目前研究結構響應首次穿越的主要方法包括：一階可靠性和二階可靠性法[14]、重要抽樣法[15]、響應面法[16]、截尾等效線性化方法[17]等。這些方法都是圍繞著設計點進行分析的，因此設計點的準確求解對于分析首次穿越是至關重要的。但對于非線性系統的加速度響應首次穿越問題，由于系統響應無法直接求解，故其極限狀態方程也無法直接表達，因此設計點無法用分析法求得。在文獻[18]中，采用了將非線性系統等效線性化的方法求解系統設計點。文獻[19]基于系統的鏡像激勵可以很方便的獲得非線性系統的設計點，但該方法僅限于位移響應的首次穿越。本文結合模型修正因子法(Model Correction Factor Method，MCFM)[20-21]，建立了非線性包裝件隨機振動加速度響應首次穿越問題的設計點求解方法，采用一階可靠性方法分析包裝件的失效概率，分析結果與模擬結果的對比表明，本文提出的方法具有良好的準確性。

1 包裝件加速度響應的首次穿越

(1)

圖1 單自由度包裝件簡化模型Fig.1 Simplified single degree of freedom package model

(2)

如圖2所示，極限狀態方程把向量空間u分成兩部分，g>0時，包裝件安全，g≤0時，包裝件發生首次穿越損壞。通常方程g在空間u中等效為超曲面，把該曲面上距離坐標原點最近的點定義為設計點u*，即

(3)

式中：‖·‖為向量的模。應用一階可靠性方法(First Order Reliability Method, FORM)分析首次穿越概率時，用一個通過設計點u*的切平面近似逼近極限狀態曲面，此時包裝件首次穿越損壞概率可用式(2)估算

(4)

式中：函數Ф[·]為標準正態累積分布函數，β為坐標原點到設計點的距離，稱為可靠度指標

(5)

式中：α(Gc,t)為極限狀態曲面在設計點u*處反單位法向量，如圖2所示。

圖2 應用FORM分析包裝件可靠度Fig 2. Vibration reliability analysis using FORM

假定圖1所示的單自由度包裝件模型為線性的，即彈性系數k和阻尼系數c均為常數，則有

(6)

式中：z=b-x，應用杜哈梅爾積分，產品m的加速度響應為

(7)

(8)

(9)

式中：向量a(t)=[a1(t),a2(t), ...,an(t)]T，且

(10)

由式(9)，線性包裝件在隨機振動激勵條件下的極限狀態方程為

g(u,Gc,t)=Gc-a(t)·u=0

(11)

很顯然，該方程是一個關于隨機變量u的線性方程，由圖2所示，可得求解設計點的解析式

(12)

對應的可靠度指標為

(13)

由以上的分析可知，對于線性包裝件，其加速度響應可以用解析式表示，對應的極限狀態方程是標準正態隨機向量的線性方程，因此設計點和可靠度指標可用解析式表達。但對于非線性系統，系統加速度響應無法直接求解，對應的極限狀態方程也無法用解析式表示，因此，無法用傳統的方法求解設計點和可靠度指標。為解決該問題，本文應用模型修正因子法，構建了非線性包裝件設計點的求解方法。

2 模型修正因子法

模型修正因子法本質上是一種響應面法，其基本思路是在關鍵點(本文為設計點)附近的區域處構建一個理想化極限狀態曲面近似逼近真實的極限狀態曲面，合理定義修正因子，使理想化的曲面逐步逼近真實的曲面，經過迭代逼近后，由于理想化曲面的基本特性與真實曲面基本特性幾乎相同，故可用理想化曲面替代真實曲面分析系統可靠度問題。由于求解線性系統振動可靠度問題的簡便性，我們通常在u空間中利用超平面近似逼近真實的極限狀態曲面。

(14)

(15)

定義修正因子ν(u)為

(16)

根據式(16)我們可定義修正理想化模型，其對應的極限狀態方程為

(17)

將式(16)代入式(17)，易得

(18)

這表明，修正理想化模型和真實模型完全相同。將修正因子在設計點u*處進行泰勒展開

(19)

3 理想化模型的構建與優化

(20)

圖3 應用理想化線性模型識別系統設計點Fig.3 Design point identification using idealized linear model

β≤βi

(21)

θopt(Gc)=arg min{βi(θ)}

(22)

式中：βi(θ)為應用模型修正因子法求得的參數為θ的線性化系統的可靠度指標。通過式(22)的最優化，可求得參數為θopt最優理想化線性模型，該模型對應的設計點即為非線性系統的真實設計點u*。

4 算例分析

假定一單自由度非線性包裝系統，如圖1所示，運動方程式為

(23)

(24)

式中：ceq≈c，keq>k，因此本文只需優化計算一個參數keq，令keq的初始值為k，逐步增加k值，在每個不同的k的條件下應用模型修正因子法計算βi，βi達到最小時所對應的k即為最優的keq。keq的優化計算結果如圖4所示。

圖4 keq的優化分析結果Fig.4 Optimization of keq

從圖中可以看出，本例中，最優keq=為955 700 N/m，對應的可靠度指標β=2.659 9，參數ν*=1.064 3。在獲得非線性包裝件的等效線性系統后，可應用式(20)構建系統的極限狀態方程，根據該方程應用一次可靠度法分析包裝件的加速度響應的首次穿越損壞，其中，可靠度指標β用式(13)求得，向量a(t)應用式(10)求得，h(t)用式(8)求得，令s(t)=σ，首次穿越損壞概率應用式(4)求得，分析所得的包裝件加速度響應的首次穿越損壞概率結果如圖5所示。為驗證本文構建的方法的準確性，圖中給出了原始蒙特卡洛模擬(N=107)結果進行對比，其中，支座隨機振動激勵應用諧波信號疊加的方法進行模擬。從圖中可以看出，應用本文構建的模型修正因子法可以較準確預測非線性包裝件的加速度首次穿越概率。圖5中給出了應用等效線性化方法分析的首次穿越損壞概率曲線。結果表明，本文采用的模型修正因子法分析非線性包裝件的加速度首次穿越損壞概率較為準確，而應用等效線性化方法分析首次穿越損壞概率存在著一定的誤差。對非線性包裝件應用等效線性化方法分析首次穿越損壞概率出現誤差的主要原因在于，非線性系統受到白噪聲激勵時，其加速度響應呈非高斯分布，而等效線性系統的響應無法反映這一特征。等效線性化方法的誤差大小取決于系統非線性程度的大小，該方法的誤差分析在文獻[23-24]中有詳細論述。

圖5 非線性包裝件加速度響應首次穿越損壞概率Fig. 5 Acceleration response first passage failure probability of nonlinear package

5 結 論

本文研究單自由度非線性包裝件在高斯白噪聲隨機支座激勵條件下的加速度首次穿越問題。首先將支座激勵白噪聲在正態隨機空間中離散化表達，構建了非線性包裝件設計點的求解方法?？紤]到線性系統首次穿越問題的簡便性，應用模型修正因子法構建了非線性系統的等效線性化系統的求解方法，針對方法中的一系列線性化極限狀態超平面不一定能在設計點與真實極限狀態曲面相切的問題，提出了采用最優化方法分析了設計點的求解方法。本文應用了單自由度三次非線性包裝件實例驗證了本文提出的分析方法的準確性。結果表明，本文提出的方法可較好地預測包裝件的加速度首次穿越損壞概率。

分析包裝件在隨機振動激勵條件下的首次穿越損壞概率對于優化包裝件的設計、減少包裝件在流通過程中的損失等具有重要意義，本文僅考慮了包裝件的非線性，今后該領域的研究可從以下兩個方面進行深化：

(1)包裝件模型中應考慮易損件，即包裝件應構建為雙自由度模型。

(2)應考慮包裝件流通過程中隨機振動的功率譜密度曲(Power Spectrum Density,PSD)線的具體特征，確保模擬的隨機激勵與真實流通環境相符。