函數的最值與值域的求解策略

高慧明

本類問題通常主要考查一些常見函數最值（值域）的求解，類型多，解法靈活.在考查題型上，可以是選擇題或填空題，也可以是解答題，難度可以是容易題、中檔題，也可以是壓軸題，往往與函數的奇偶性、周期有聯系，也可與導數、恒成立等交匯.

函數最值的基本概念：

設函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：

（1）對于任意x∈I，都有f（x）≤M. 存在x0∈I，使得f（x0）=M，則M為函數y=f（x）的最大值.（2）對于任意x∈I，都有f（x）≥M. 存在x0∈I，使得f（x0）=M，則M為函數y=f（x）的最小值.

函數最值的有關結論：

（1）閉區間上的連續函數一定存在最大值和最小值，當函數在閉區間上單調時最值一定在端點處取到.

（2）開區間上的“單峰”函數一定存在最大值（最小值）.

求函數最值（值域）通性通法：

解決此類問題一般要把先求函數的定義域，在定義域內研究函數的單調性.研究函數的單調性時，可靈活采用定義法、復合法、圖像法、導數法，了解函數再定義域內的區間上的單調性，在此基礎上再借助函數的奇偶性、周期性、特殊值等，模擬畫出函數的圖像，最后利用數形結合思想，達到求最值、比較大小、解不等式的目的. 求函數最值（值域）通性通法：（1）觀察法；（2）利用常見函數的最值（值域）；（3）分離常數法；（4）單調性法；（5）換元法；（6）配方法；（7）基本不等式法；（8）判別式法；（9）有界性法；（10）圖像法；（11）導數法.

答題注意：

（1）靈活選擇最優方法求函數值域（最值）；

（2）求函數的值域不但要重視對應法則的作用而且要特別注意定義域對值域的制約作用；

（3）使用基本不等式a+b≥2容易忽視“一正、二定、三相等”；

（4）配方法，主要適用于可化為二次函數的函數，此時要特別注意自變量的范圍；

（5）用換元法解題時，應注意換元前后的等價性；

（6）使用單調性法要注意函數的單調性對函數最值的影響，特別是閉區間上的函數的最值問題；

（7）導數法求函數f（x）在[a， b]上的最大值和最小值三步驟：①求函數在（a， b）內的極值；②求函數在區間端點的函數值f（a），f（b）；③將函數f（x）的極值與f（a），f（b）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.