數形結合在初中數學教學中的應用探討

徐勇

【摘 要】華羅庚先生曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”這兩句直白淺顯的話語，一針見血地指出了在數學知識體系中“數”與“形”的關系，即“數”輔助“形”，“形”解釋“數”，數與形的結合不僅讓“數”的解釋更加直觀，也能夠讓形的表達更加準確。基于此，教師需要結合初中數學教學實際，對數形結合的應用做出相應的探究。

【關鍵詞】以形助數；以數輔形；數形結合

初中階段是學生思維培養的關鍵時期，在數學問題中滲透數形結合思想，讓初中生打破知識學習過程中的隔閡，在“數”與“形”之間建立溝通與聯系，并達到由數思形、見形思數、數形結合的目的。從目前初中數學教學設計來看，雖然教材編排中將數形結合貫徹其中，但應如何把握好數形結合的分寸，如何引導學生自主思考數形結合的有效途徑呢？

一、以形助數，簡化解題過程

探究數量關系是數學體系中的主要內容，嚴密的邏輯、抽象的含義往往是阻礙學生理解問題的“絆腳石”。因此，在數形結合理念的指導下，教師應利用恰當的幾何圖形，對抽象的數量關系進行“翻譯”，簡化解題過程，進而建構數學知識體系，以幫助學生消化知識。在初中階段，需要以形助數的知識內容主要包括：

1.有理數知識

在有理數這一章節中引入了“數軸”，在數軸上標出有理數的位置則是實現數形轉化最直觀的案例。因此，在有理數的講解中，教師應結合“數軸”知識，幫助學生了解圖解方法。

例如題目：在數軸上，A點和B點所表示的數分別為-2和1，若使A點表示的數是B點表示的數的3倍，應將A點如何移動。在題目講解中，教師可以指導學生直接畫出數軸，在數軸中標出A、B兩點，根據條件直接觀察數軸，可知需要將A點向右移動5個單位，即落在3的位置，保證“A點表示的數是B點表示數的3倍”。

2.不等式知識

初中階段，學生初次接觸不等式，相較于之前學過的確定的方程解，不等式解的范圍常常讓學生迷惑，這時，教師就可以利用數軸將不等式解的范圍畫出來，從而降低知識的理解難度。

例如不等式組： 2-x>0

+1≥，求得不等式組的解為-1≤x<2，在數軸上則可以直接描繪出-1到2之間的一段距離。這樣，學生不僅可以區別等式方程與不等式方程解之間的含義，還能夠根據數軸提示驗證不等式解準確與否。

3.方程組知識

在初中階段，二元一次方程組是學生探究數量關系的重要手段，在數形結合的指導下，教師可以指導學生將方程組中的每一個方程轉換成函數，并繪制一次函數圖像，并根據兩條函數圖像的位置關系確定解的個數及其位置關系。

例如題目： 2x+y+1=0

x+2y=0，通過繪制圖形發現兩條線相交。因此，方程組有一組解，即x=-，y=，這樣的數形結合能夠讓學生深入理解并靈活運用。

4.函數知識

函數問題作為數學體系中最重要，也是最關鍵的存在，其解題過程必須要依靠圖形，換句話說，數形結合在函數問題中得到了最淋漓盡致的體現。只有借助圖形的輔助，函數解析式的表達含義才將更趨完整。基于此，在初中數學課堂教學中，教師應結合函數知識對數形結合理念進行系統滲透。

例如題目：某酒店有客房90間，當每間客房定價為140元時，客房能夠住滿，客房每漲價10元，就會有5間客房空出來，而居住的客房，酒店每天要支付各種費用總計60元，請問，酒店利潤與客房漲價之間呈什么關系。在解析這一問題的過程中，教師首先要指導學生根據經驗判斷二次函數的基本特征，然后利用題目中的數量關系找到兩個坐標點，并代入解析函數。

二、數形結合，深化知識理解

數與形之間對立又統一的關系，能夠啟發學生觀察數與式的特征，并在分析數形轉換路徑的過程中，將抽象知識升華為具體可見的數量關系或圖形狀態，從而實現數字化或圖形化的理解過程，讓學生進一步理解以形助數、以數輔形的途徑，以達到數與形的真正融合與運用。

例如題目：求的值，在解題中，教師先讓學生觀察每一個加數的特點，然后指導學生制作面積為1平方米的小正方形，并標上不同的序號，第一次剪去小正方形的一半，正好能夠得到，而第二次剪去剩余圖形的一半正好是，以此類推，每一次剪去的都是上一次圖形的一半，當第n次剪掉圖形后，剩余的圖形面積則為，通過對每一個剩余圖形面積的疊加可知，++…+=1-。

隨著教學改革的推進，一些開放性題目也會越來越多，傳統按部就班的解題方法，會讓原本充滿趣味性和啟發性的問題變得刻板、僵化，從而失去了拓寬視野、訓練思維的作用與效果。因此，在初中數學教學中，教師應滲透數形結合理念，對這類開放性題目進行適當的引入，以指導學生運用數

形結合的理念進行體驗、探索，進而在圖形中理解數字，在數字中認識圖形，以促使知識的數與形結合起來。

三、以數輔形，精確解題方法

在數形結合中，許多教師注重的是“以形助數”，而忽視了以數輔形，其實，在解決幾何問題的過程中，教師利用數量關系能夠更加準確、直接地歸納幾何圖形的特征，并探索圖形與數量之間的聯系與規律，讓圖形信息用代數語言表達出來，以突顯數與形之間的轉化與支持。在初中數學教學中，以數輔形的教學案例主要體現在以下幾個方面：

1.在數與式規律探究中的運用

在數學學習中，經常會出現一些給出基本的圖形關系，探究某一系列圖形變化規律的問題，在解題中，學生不可能將每一個圖形畫出來，而這時就可以利用“數”的輔助，對圖形所代表的式子進行精確，并根據其中的邏輯關系探究規律。

例如：一組有規律的圖案，它們由黑白兩種顏色的菱形組成，第1個圖案中黑色菱形的四個邊上分別延伸出4個白色菱形；第2個圖案中2個黑色菱形衍生出7個白色菱形；第3個圖案中3個黑色菱形衍生出10個白色菱形……依此規律，第n個圖案中白色菱形的個數為（用含n的代數式表示）。在找規律的過程中，教師可以引導學生對不同的圖形標上序號1，2，3，……n，而白色菱形的個數則為4，4+3，4+3+3，……這樣到第n個就可以總結出規律：4+3（n-1），通過這樣的圖形固定累加，學生能夠利用代數式將其中的規律表達出來，從而精確了圖形解析效果。

2.在平面幾何知識中的運用

初中階段的平面幾何問題除了單純的證明類之外，還包括求面積、長度等問題，而這些問題的精準解決，則必須要在“數”的輔助下完成，以達到“以數輔形”的目的。只有這樣，在數字的輔助下，對幾何圖形的分析才能更加準確。

例如題目：八個等圓按照相鄰兩兩外切的方式擺放，圓心連線構成一個正八邊形，假設正八邊形內側八個扇面的面積之和為S，正八邊形外側八個扇面的面積S，則為（ ）。在這一題目中，直接運用面積公式計算非常麻煩，學生可以根據條件繪制圖形，通過對圖形的觀察可以知道正八邊形的內角為135°，八個小圓形均是如此，這樣就能夠將面積比轉化為角度比，即每一個小圓形陰影部分扇形角度為225°，從扇形內角的比例關系可以得出=。這樣，在數字的輔助下圖形的分析更加準確，看似復雜的問題迎刃而解。

總之，初中階段的數學教學應該注重對數學思想的滲透。數形結合是最重要的數學思想，在教學指導中，教師一方面要深入分析數形關系，為學生梳理數形結合知識，并深化理念滲透，提高知識理解能力；另一方面還應該結合具體問題，實現以形助數、以數輔形、數形結合的過程，讓學生在具體問題中咀嚼、反思數形結合思想，從而迅速提升數學思維。

【參考文獻】

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