立體幾何知識結構與題型展現

■河南省商丘市第一高級中學

一、本章知識結構圖

二、重點知識剖析

(一)空間幾何體的表面積和體積

對柱體、錐體、臺體的側面積和體積的考查以公式為主,一般情況下,只要記住公式,題目就可以順利求解。因此,這類題目從難度上講屬于中、低檔題,在高考中直接出題的可能性大,容易出現相關的選擇題或填空題。

例1 已知三棱錐P-ABC的側棱PA,PB,PC兩兩垂直,側面積分別是6,4,3,則三棱錐的表面積是____,體積是____。

解：如圖1所示,設PA=a,PB=b,a2b2c2=12×8×6,所以

圖1

因為側棱PA,PB,PC兩兩垂直,所以

總結:(1)柱體、錐體、臺體的側面積分別是側面展開圖的面積,因此,弄清側面展開圖的形狀及各棱的位置關系是求側面積問題的關鍵。

(2)求柱體、錐體、臺體的體積,關鍵是找到相應的底面積和高。可充分運用多面體的截面及旋轉體的軸截面,將空間問題轉化為平面問題。

拓展：若三棱錐P-ABC的側棱PA,PB,PC兩兩垂直,則類比直角三角形中的勾股定理有:

(二)空間幾何體的直觀圖與三視圖

將幾何體由前至后、由左至右、由上至下分別作正投影得到的三個投影圖依次叫作該幾何體的正(主)視圖、左(側)視圖、俯視圖,統稱三視圖。它們依次反映了幾何體的高度與長度、高度與寬度、長度與寬度。

在高考中,主要考查三視圖和直觀圖,特別是通過三視圖確定原幾何體的相關量。多以選擇題、填空題為主,也不排除通過三視圖來還原幾何體的直觀圖的解答題,側重于考查考生對基礎知識的掌握,以及應用所學知識解決問題的能力。

例2 一個長方體去掉一個小長方體,所得幾何體的正視圖與側視圖如圖2所示,則該幾何體的俯視圖為圖3中的( )。

圖2

圖3

解：因為該幾何體是一個大長方體去掉一個小長方體,結合正視圖及側視圖中的線段均為實線,所以“缺口”就在前面的左上方,所以俯視圖“缺口”必在左下方且為實線。故選D。

(三)空間點、直線、平面之間的位置關系

要證明“點共面”、“線共面”可先由部分直線或點確定一個平面,再證其余直線或點也在該平面內(即納入法)；證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線,只要證明這些點都是這兩個平面的公共點,根據公理3可知這些點在交線上,因此共線；證明“線共點”問題是證明三條或三條以上直線交于一點,思路是:先證明兩條直線交于一點,再證明交點在第三條直線上。

平面的基本性質、公理、公理的推論及直線與平面的位置關系,都是每年必考的知識點,試題難度不大,多為選擇題和填空題。

例3 如圖4所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC1上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得截面記為S,則下列命題正確的是____。(寫出所有正確命題的編號)

圖4

分析：本題重點考查截面問題,對于截面問題要利用平面的性質定理作為理論背景,尤其是兩條平行直線確定一個平面。

解：對于①②,因為正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,當這時過A,P,Q的截面與正方體表面交于點D1,且PQ∥AD1,如圖5截面S為等腰梯形。當時,過A,P,Q三點的截面與正方體表面的交點在棱DD1上,截面S為四邊形,如圖6所示,故①②正確。

圖5

圖6

圖7

對于⑤,如圖9所示,當CQ=1時,則過點A,P,Q的截面APQE為菱形,其對角線EP=2,AQ=3,所以S的面積為

圖8

圖9

綜上,正確命題的序號是①②③⑤。

總結:截面問題是平面基本性質的具體應用,先由確定平面的條件確定平面,然后作出該截面,并確定該截面的形狀。

(四)直線、平面平行的判定與性質

有關平行的問題是高考的必考內容,主要分為兩大類:一類是空間線面關系的判定和推理；一類是幾何量的計算。主要考查同學們的空間想象能力、邏輯思維能力和解決問題的能力。

平行關系是立體幾何中的一種重要位置關系,在高考中,選擇題、填空題幾乎每年都考,難度一般為中檔題,且常常以棱柱、棱錐為背景。

例4 如圖10所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,O為AC的中點。問:在BC1上是否存在一點E,使得OE∥平面A1ABB1?若不存在,說明理由；若存在,確定點E的位置。

分析：欲證線面平行,一般通過線線平行來證明。要證線線平行,就在一個平面內進行,通常利用平行四邊形或者三角形的性質來處理。

圖10

解：在BC1上存在點E,使得OE∥平面A1ABB1,且E為BC1的中點,證明如下:如圖11所示,連接B1C,設B1C∩BC1=E,連接OE。由三棱柱ABCA1B1C1可知四邊形BCC1B1為平行四邊形,故E為B1C的中點。又O為AC的中點,所以OE為△AB1C的中位線,所以OE∥AB1。又OE?平面A1ABB1,AB1?平面A1ABB1,所以OE∥平面A1ABB1。得證。

(五)直線、平面垂直的判定與性質

在高考中,對垂直關系的考查一般有兩種方式:

(1)考查垂直關系的有關定義、判定及性質,即通過有關命題的真假判定,直接考查有關的判定和性質定理。

(2)以空間幾何體為載體,證明有關線線、線面、面面的垂直關系。

圖11

例5 如圖12所示,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點,F為線段EC上(端點除外)一動點。現將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABCF,在平面ABD內過點D作DK⊥AB,K為垂足,如圖13。設AK=t,則t的取值范圍是____。

圖12

圖13

分析：對這類動態問題要深入地抓住其中的定性,掌握變中不變的因素是解題的關鍵。就本題而言,在矩形ABCD中,引DK⊥AF于點M,交AB于點K,在折起的過程中,DM,MK始終保持與AF垂直的關系,即點D在平面ABC內的射影Dˊ始終保持著與點M、K共線,所以我們可以把空間問題轉化為平面問題,即在點F的位置確定后,點K的位置將固定不動,t值也不會因折起而變化,因此在平面圖形中,利用相似建立t的表達式,即可求其取值范圍。

解：如圖14所示,過點K作KM⊥AF于點M,連接DM,易得DM⊥AF,與折前的圖形相比,可知折前的圖形中,D,M,K三點共線,且DK⊥AF(如圖15所示)。于是△DAK∽△FDA,

圖14

圖15

總結:本題的解法是借助平面圖形解決空間問題的典范,抓住面面垂直、線面垂直等空間問題的核心內容是解答各種立體幾何問題的基本思路。

(六)空間角與距離

異面直線所成角、線面角、二面角是高考中考查的熱點,解答與空間角有關的問題時,既可用傳統法,又可用向量法。在新課程標準下,對立體幾何的基本理論知識要求有所降低,因此,應用向量這一工具解題更為重要,特別是要熟練掌握利用空間圖形的特殊性,建立適當的空間直角坐標系解決問題的方法,并能靈活應用。

空間角是立體幾何中的一個重要概念,它是空間圖形的一個突出量化指標,是空間圖形位置關系的具體體現,故以高頻的考點出現在歷屆高考試題中,在選擇題、填空題及解答題中均有出現。

例6 如圖16所示,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,MD⊥平面ABCD,且MD=NB=1,MD∥NB,E為BC的中點,求異面直線NE與AM所成角的余弦值。

分析：利用向量法可以輕松求解異面直線所成的角。

解法一：如圖17所示,以D為坐標原點,建立空間直角坐標系D-xyz,依題意,得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,(-1,0,1)。

圖16

圖17

解法二：對幾何體細心觀察,正三棱錐B-ANC的三條側棱兩兩垂直,它分明是正方體的一角,從這個視角出發,又聯系到MD⊥平面ABCD,四邊形ABCD又恰好是正方形(正方體的一個面),如此分析,應當想到已知形體是正方體的一部分,于是“補全”正方體是合乎情理的。

如圖18所示,連接BQ,易知BQ∥AM,設BQ∩NE=F,則∠NFQ即為異面直線AM與NE所成的角。

在正方形BCQN中,E為BC的中點,NQ=1。

圖18