立體幾何核心考點B 卷

■河南省商丘市第一高級中學

一、選擇題

1.已知α,β表示兩個不同的平面,m為平面α內的一條直線,則“α⊥β”是“m⊥β”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2BB1,則AB1與C1B所成的角的大小為( )。

A.60° B.90°

C.105° D.75°

3.某幾何體的三視圖如圖1所示,則它的體積為( )。

A.12π

B.45π

C.57π

D.81π

4.下列結論中正確的是( )。

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等,則該棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線

5.過球的一條半徑的中點作垂直于這條半徑的球的截面,則此截面面積是球表面積的( )。

圖1

6.如圖2所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,B1E1=所成角的余弦值是( )。

圖2

7.如圖3所示,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結論正確的是( )。

A.PB⊥AD

B.平面PAB⊥平面PBC

C.直線BC∥平面PAE

D.直線PD與平面ABC所成的角為45°

8.側棱長為4,底面邊長為 3的正三棱柱的各頂點均在同一個球面上,則該球的表面積為( )。

圖3

A.76π B.68π

C.20π D.9π

9.某三棱錐的三視圖如圖4所示,則該三棱錐的表面積是( )。

圖4

10.一個四棱錐的底面為正方形,其三視圖如圖5所示,則該四棱錐的體積是( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

圖5

11.現有以下四個命題:①一條直線和另一條直線平行,它就和經過另一條直線的任何平面平行；②一條直線和一個平面平行,它就和這個平面內的任何直線平行；③過平面外一點和這個平面平行的直線有且只有一條；④平行于同一個平面的兩條直線互相平行。其中錯誤命題的個數為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

12.在正方形AB1B2B3

中,E,F分別是B1B2,B2B3的中點,如圖6所示,現沿著AE,AF,EF把這個正方形折成四面體,若B1,B2,B2三點重合,重合后的點記為B,那么四面體AEFB中必有( )

圖6

A.AB⊥平面EFB

B.AD⊥平面EFB

C.BF⊥平面AEF

D.BD⊥平面AEF

13.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,既與AB共面也與CC1共面的棱的條數為( )。

A.3 B.4

C.5 D.6

14.如圖7所示,M是正方體ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中點,給出下列四個命題:①過點M有且只有一條直線與直線AB,B1C1都相交；②過點M有且只有一條直線與直線AB,B1C1都垂直；③過點M有且只有一個平面與直線AB,B1C1都相交；④過點M有且只有一個平面與直線AB,B1C1都平行。其中為真命題的是( )。

A.②③④

B.①③④

C.①②④

D.①②③

圖7

15.正四棱錐S-ABCD的高SO=2,底邊長AB=2,則異面直線BD和SC之間的距離為( )。

16.有四個命題:①若p=xa+yb,則p與a,b共面；②若p與a,b共面,則p=xa+yb；③若A,B四點共面；④若P,M,A,B四點共面,。其中真命題的個數是( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

17.如圖8所示,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為( )。

圖8

18.如圖9所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=6,M是CC1的中點,則異面直線AB1與A1M所成角的大小為( )。

圖9

19.如圖10所示,球O與銳二面角α-l-β的兩個半平面相切,兩切點間的距離為3,點O到交線l的距離為2,則球O的表面積為( )。

圖10

20.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F,且,則下列結論中錯誤的是( )。

A.AC⊥BE

B.EF∥平面ABCD

C.三棱錐A-BEF的體積為定值

D.異面直線AE,BF所成的角為定值

21.一個四面體的五條棱長分別為1,1,1,1,2,若該四面體的體積為四面體最多有( )。

A.4個 B.3個

C.2個 D.1個

22.二面角的棱上有A,B兩點,直線AC,BD分別在這個二面角的兩個面內,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 17,則該二面角的大小為( )。

A.150° B.45°

C.60° D.120°

23.如圖11所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O為上底面A1B1C1D1的中心,則點O到平面ABC1D1的距離為( )。

圖11

24.正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2,高為3,E,F分別為PC,PD的中點,則異面直線AC與EF的距離為( )。

25.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側棱AA1=2,D,E分別是CC1與A1B的中點,點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。則A1B與平面ABD所成角的余弦值為( )。

26.由曲線x2=4y,x2=-4y,以及直線x=4,x=-4圍成的陰影部分圖形(如圖12),繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V1,滿足的點圍成的陰影部分圖形(如圖13)繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V2,則( )。

圖12

圖13

27.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2 2,側棱長為4,E,F分別為棱AB,CD的中點,EF∩BD=G。則三棱錐B1-EF D1的體積為( )。

28.已知正四棱錐S-ABCD中,SA=2 3,那么當該棱錐的體積最大時,它的高為( )。

A.1 B.3

C.2 D.3

二、填空題

29.若正三棱錐的正視圖與俯視圖如圖14所示(單位:c m),則它的左視圖的面積為c m2。

30.用一平行于圓錐底面的平面截這個圓錐,截得圓臺上下底面的半徑的比是1∶4,截去的圓錐的母線長是3cm,則圓臺的母線長為cm。

圖14

31.已知△ABC的平面直觀圖△AˊBˊCˊ是邊長為a的正三角形,則原△ABC的面積為____。

32.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1B1的中點,則異面直線D1E和BC1間的距離____。

33.如圖15所示,在30°的二面角α-l-β的棱上有兩點A,B,點C,D分別在α,β內,且AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=AB=1,則CD的長度為____。

圖15

34.如圖16所示,將等腰直角三角形ABC沿其中位線DE折成60°的二面角A-DE-B,則直線AB與平面BCDE所成的角的正切值是____。

圖16

35.如圖17所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥面ABC,BC=AC=2,AA1=3,D為AC的中點,則二面角C1-BD-C的余弦值為____。

圖17

36.已知△AˊBˊCˊ是正△ABC水平放置圖形的直觀圖(Aˊ為原點),若△ABC的邊長為2,則CˊAˊ2-CˊBˊ2=____。

37.過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線l,使l與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,這樣的直線l可以作____條。

38.已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是B1C1和C1D1的中點,則點A1到平面DBEF的距離為____。

39.如圖18所示,O是半徑為1的球心,點A,B,C在球面上,OA,OB,OC兩兩垂直,E,F分別為大圓弧AB與AC的中點,則點E,F在該球上的球面距離是____。

圖18

40.正四棱錐的底面邊長為2,側棱長均為3,其正視圖和側視圖是全等的等腰三角形,則正視圖的周長為____。

41.有一個角為30°的三角板,斜邊放在桌面內,三角板與桌面成30°的二面角,則三角板最短邊所在直線與桌面所成角的正弦值為____。

42.如圖19所示,在直三棱柱ABB1-DCC1中,∠ABB1=90°,AB=4,BC=2,CC1=1,DC上有一動點P,則△APC1周長的最小值為____。

圖19

43.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,CD的中點,則點B到截面AEC1F的距離為____。

三、解答題

44.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,E為CC1的中點,F為BD1的中點。

(1)證明EF為BD1與CC1的公垂線；

(2)求點D1到面BDE的距離。

45.如圖20所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,若D是棱CC1的中點,問:在棱AB上是否存在一點E,使DE∥平面AB1C1?若存在,請確定點E的位置；若不存在,請說明理由。

圖20

46.如圖21所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分別是AA1和B1C的中點。

(1)求證:DE∥平面ABC；

(2)求三棱錐E-BCD的體積。

圖21

47.圖22所示的是某直三棱柱(側棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖中的側視圖、俯視圖,在直觀圖中,M是BD的中點,側視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關數據如圖22所示。

圖22

(1)求出該幾何體的體積；

(2)若N是BC的中點,求證:AN∥平面CME；

(3)求證:平面BDE⊥平面BCD。

48.如圖23所示,PA⊥面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,PD與平面ABCD所成角是30°,F是PB的中點,點E在邊BC上移動。

(1)當E為BC的中點時,試判斷EF與平面PAC的位置關系,并說明理由；

(2)證明:無論點E在邊BC的何處,都有PE⊥AF；

(3)當BE等于何值時,二面角P-DE-A的大小為45°?

圖23

49.如圖24所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為a,P為棱A1B上的動點。

圖24

(3)在(2)的條件下,求點C1到平面PAC的距離。

50.如圖25所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2,D為AA1上一點。

(1)若D為AA1的中點,求證:平面B1CD⊥平面B1C1D；

(2)若二面角B1-DC-C1的大小為60°,求AD的長。

51.如圖26所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點。

圖25

(1)求證:MN⊥CD；

(2)若∠PDA=45°,求證:MN⊥平面PCD。

圖26

52.如圖27所示,在等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中點。如圖28,將△ABE沿AE折起,使平面ABE⊥平面AECD,F是CD的中點,P是棱BC的中點,M為AE的中點。

圖27

圖28

(1)求證:AE⊥BD；

(2)求證:平面PEF⊥平面AECD；

(3)若AB=2,求三棱錐P-CDE的體積。

53.如圖29所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長為a,側棱長中點。

圖29

(1)求證:BC1∥面AB1D；

(2)求二面角A1-AB1-D的大小；

(3)求點C1到平面AB1D的距離。