剖析空間幾何體中的數(shù)學(xué)文化題

■山東省肥城市第一高級(jí)中學(xué)

空間幾何體中的數(shù)學(xué)文化題,追根溯源就是化歸為求“幾何體的面積或體積、三視圖還原幾何體、分割法或補(bǔ)形法求非規(guī)則體的體積、模型或直接法求解球的體積,以及兩種思維方法探究新定義和存在性問(wèn)題”,凸顯“空間問(wèn)題的模型化、代數(shù)化和幾何化”的本質(zhì)屬性。

一、借助幾何體體積的計(jì)算構(gòu)建方程求值

例1 (2018年安徽黃山高三一模)《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問(wèn)題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺。問(wèn)積幾何。答曰:二千一百一十二尺。術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”。這里所說(shuō)的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一”。就是說(shuō):圓堡瑽(圓柱體)的體積(底面圓的周長(zhǎng)的平方×高)。則由此可推得圓周率π的取值為( )。

注:1丈=10尺。

A.3 B.3.14 C.3.2 D.3.3

解析：設(shè)圓柱體的底面半徑為r,高為h,由圓柱的體積公式得V=πr2h。

溯源直接求解柱體、錐體、臺(tái)體的體積,本題在閱讀理解的基礎(chǔ)上借助圓柱體積的兩種計(jì)算方法,利用同一個(gè)圓柱其體積相等構(gòu)建方程求解圓周率π,凸顯“收集、處理、應(yīng)用信息和公式”探索求解問(wèn)題的能力。

二、由三視圖求幾何體的面積

例2 (2018年廈門模擬)《九章算術(shù)》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”,已知某“塹堵”的三視圖如圖1所示,俯視圖中的虛線平分矩形的面積,則該“塹堵”的側(cè)面積為( )。

圖1

解析：該幾何體是一個(gè)放倒的直三棱柱ABC-AˊBˊCˊ,底面是一個(gè)直角三角形,兩條直角邊分別是2,斜邊是2,且側(cè)棱與底面垂直,側(cè)棱長(zhǎng)是2,所以幾何體的側(cè)面積S=2×2+2×2× 2=4+42,故選C。

溯源：反饋“塹堵”的意義,由三視圖還原幾何體求面積,實(shí)質(zhì)是求一個(gè)倒放的底面為等腰直角三角形的直三棱柱的側(cè)面積,凸顯“信息遷移和空間想象”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、構(gòu)造球的模型求解體積計(jì)算

例3 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典。其中對(duì)勾股定理的論述比西方早1000多年,其中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有圓材埋在壁中,不知大小。以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺。問(wèn)徑幾何。”其意為:“今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸該材料,鋸口深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺。問(wèn):這塊圓柱形木料的直徑是多少?”長(zhǎng)為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中,截面圖如圖2所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分)。已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為( )。

圖2

A.600立方寸 B.610立方寸

C.620立方寸 D.633立方寸

解析：如圖3,依題設(shè)知AB=10(寸),則 AD=5(寸),CD=1(寸)。

設(shè)圓O的半徑為x(寸),則OD=(x-1)(寸)。

在Rt△ADO中,由勾股定理可得52+(x-1)2=x2,解得x=13(寸)。

圖3

溯源：根據(jù)平面圖形將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的幾何性質(zhì),本題實(shí)質(zhì)為由弦長(zhǎng)和弓形的高求弓形面積,涉及弦長(zhǎng)、弦心距和半徑構(gòu)成直角三角形三邊的應(yīng)用以及弧長(zhǎng)、圓心角的弧度數(shù)、扇形面積和三角形面積的計(jì)算,凸顯“空間問(wèn)題模型化和平面化”的本質(zhì)屬性。

四、構(gòu)造長(zhǎng)方體的外接球求面積的最小值

例4 魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具,起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合,十分巧妙,外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體,其上下、左右、前后完全對(duì)稱。從外表上看,六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組,經(jīng)90°榫卯起來(lái),如圖4,若正四棱柱體的高為4,底面正方形的邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi),則該球形容器的表面積的最小值為_(kāi)___。(容器壁的厚度忽略不計(jì))

圖4

解析：注意十字立方體,其上下、左右、前后完全對(duì)稱的特征,構(gòu)建長(zhǎng)方體的模型,表面積最小的球形容器可以看成長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、6的長(zhǎng)方體的外接球。設(shè)球的半徑為R,則4R2=12+22+32=41,所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2=41π。

溯源：能容納十字立方體的表面積最小的球?qū)嵸|(zhì)為構(gòu)建的長(zhǎng)方體的外接球,利用體對(duì)角線的長(zhǎng)為外接球的直徑,利用球的表面積公式求解,凸顯“運(yùn)動(dòng)變化觀念和構(gòu)造模型求解最值”的思維方法。

五、構(gòu)建函數(shù)模型求解最值問(wèn)題

例5 中國(guó)古代名詞“芻童”原來(lái)是草堆的意思,古代用它作為長(zhǎng)方棱臺(tái)(上、下底面均為矩形的棱臺(tái))的專用術(shù)語(yǔ)。關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述,《九章算術(shù)》注曰:“倍上袤,下袤從之。亦倍下袤,上袤從之,各以其廣乘之,皆六而一。”其計(jì)算方法是:將上底面的長(zhǎng)乘二,與下底面的長(zhǎng)相加,再與上底面的寬相乘；將下底面的長(zhǎng)乘二,與上底面的長(zhǎng)相加,再與下底面的寬相乘。把這兩個(gè)數(shù)值相加,與高相乘,再取其六分之一。以此算法,現(xiàn)有上下底面為相似矩形的“芻童”,相似比為,高為3,且上底面的周長(zhǎng)為6,則該“芻童”的體積的最大值是( )。

溯源：本題中的“芻童”是底面為矩形的四棱臺(tái),由一個(gè)矩形的周長(zhǎng)、相似比及高為定值,按照給出的公式構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求其最大值,引入底面邊長(zhǎng)為變量,利用給出的公式構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),借助二次函數(shù)求最值,凸顯“空間問(wèn)題模型化和代數(shù)化”的簡(jiǎn)捷途徑。