曼哈頓距離的思考

■浙江省天臺中學

曼哈頓距離的定義：曼哈頓距離也叫出租車幾何,是在19世紀由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的,它是一種使用在幾何度量空間的幾何學用語,用以標明兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和。

圖1

我們用通俗一點的語言來解釋:如圖1所示,直線①是A、B兩點間的直線距離,我們通常把它叫作歐式距離,而其他幾條線的長度就是這兩點間的曼哈頓距離。雖然我們都知道兩點之間線段最短,不過在生活中卻不一定能直接來按照最短的那一條直線來走,因為我們只能走有路的地方,而不能“穿墻而過”。

曼哈頓距離與我們高中數學中的哪些問題相關呢?

問題：在平面直角坐標系中,定義d(P,Q)=x1-x2+y1-y1為兩點P(x1,y1),Q(x2,y2)之間的“折線距離”,則圓(x-4)2+(y-3)2=4上一點與直線x+y=0上一點的“折線距離”的最小值是 。

分析：這里的折線距離就是曼哈頓距離,為了解決這類問題,我們先去研究 x +y的性質。對于 x +y=a(a＞0),我們知道這個表示的是一個以原點為中心的平行四邊形(準確地說是如圖2所示的正方形),并且隨著a值的不斷變大,這個正方形也在逐漸變大,但對于每個正方形中的點(x,y),x +y的值保持不變。

圖2

例1 已知2x+y=4,求 x +y 的最小值。

解析：如圖3所示,當正方形與直線剛好相交時,x +y 的值最小,最小值為2。

例2 已知x2+y2=1,求x +y的最值。

圖3

分析：如果將例1、例2題目中的結論“x +y ”改為“x-1+y-1”,則“以原點為中心的正方形”就改為“以(1,1)為中心的正方形”。那么我們可以得到以下兩個結論。

結論一：已知直線l:Ax+By+C=0(AB≠0),P(x0,y0)是直線外一點,Q是直線上一點,過點P(x0,y0)分別作x軸,y軸的垂線,交直線l于點M,N,則:

(1)若PM=PN,則當點Q在線段MN上時,兩點間的“折線距離”最小,最小值為PN或PM,并且此時直線l的斜率為±1,若點P到直線l的距離為d,則PN=PM=2d；

(2)若PM＞PN,則當點Q在線段MN上時,兩點間的“折線距離”最小,最小值為PN；

(3)若PM＜PN,則當點Q在線段MN上時,兩點間的“折線距離”最小,最小值為PM。

圖4

結論二：若兩條直線l1,l2平行,則l1上任意一點P(x0,y0)到l2上點Q的“折線距離”最小值都相等。根據上述結論我們可以建立如圖4所示的平面直角坐標系,并定義d(P,Q)=x1-x2+y1-y1為兩點P(x1,y1),Q(x2,y2)之間的“折線距離”,這樣求本題的最值就轉化為求圓(x-4)2+(y-3)2=4上一點與直線x+y=0上一點的“折線距離”的最小值。

解析：將直線x+y=0平移到與圓相切,求出此時的直線方程為x+y-7+22=0,利用結論二可知,圓(x-4)2+(y-3)2=4上一點與直線x+y=0上一點的“折線距離”的最小值是7-22。

高考銜接：已知a＞0,函數f(x)=x2+x-a -3在區間 [- 1,1]上的最大值是2,求a的值

解析：令t=x2+x-a,x∈[- 1,1],本題等價于-1≤t≤5恒成立,并至少一邊“=”成立。

t=x2+x-a,x∈[- 1,1]可以理解為點(x,x2)到點(a,0)的“折線距離”(其中點(x,x2)在y=x2上)。

由圖5所示的圖像知點(-1,1)到點(a,0)的“折線距離”最大。

圖5