基于結構拓撲優化的繡花機壓腳與針桿機構結構優化

張 雷， 季祖鵬， 顧萍萍

(浙江理工大學 機械與自動控制學院， 浙江 杭州 310018)

電腦繡花機的針桿、壓腳等機構在高速運動條件下會產生不平衡力和柔性沖擊，對機頭產生振動，進一步又對繡花機橫梁產生較強的受迫振動，從而影響繡花機的可靠性、使用壽命及成品質量。許多學者對高速繡花機的研究圍繞針桿以及挑線機構的運動學[1-3]、針桿機構扭轉振動力矩[4]，以及針桿運動副間隙對位移精度和振動的影響展開[5]。對高速繡花機而言，有待于進一步圍繞針桿及壓腳機構協同運動展開分析。

針桿機構和壓腳機構都是組合桿件，理論上可通過增加配重的方式來平衡機構高速運動下產生的慣性力。由于受空間和質量的限制，較多采用基于部分平衡理論對針桿機構及壓腳機構進行平衡優化。研究表明，機頭機構由于偏心質量引起的不平衡力及運動方向突變時產生的慣性力是機頭振動的主要原因[6]。本文對某公司生產的繡花機裝備進行分析，針對壓腳、針桿機構的輸出量進行比對，在結構拓撲優化的基礎上用ICM(指獨立連續映射，先定義獨立連續的拓撲變量，通過映射及反演過程，使獨立連續的拓撲變量逼近離散拓撲變量，完成拓撲變量“離散-連續-離散”的轉化)方法[7-10]建立桿件的函數模型，對其主要結構進行優化，構成最佳傳力途徑，降低機構關鍵構件質量。

1 壓腳與針桿機構的模型建立與分析

壓腳與針桿機構作為高速電腦繡花機機頭的主要執行部件，承擔著刺繡的驅動工作。在主軸轉速相同的條件下，由主軸向高速針桿凸輪、壓腳高速輪凸輪分別傳遞轉矩，在壓腳連桿以及針桿連桿的驅動下帶動壓腳與針桿運動。

1.1 壓腳機構柔性沖擊分析

壓腳機構的主要傳動部件如圖1所示，各部件構成壓腳機構的傳動路徑。

圖1 壓腳主要傳動部件Fig.1 Main transmission parts of presser foot

圖2示出壓腳主部件質心速度變化(周期為0.1 s)。壓腳滑塊運動到極限位置時，在極限位置處產生一個停留，此時壓腳凸輪的加速度產生一個突變，突變下壓腳凸輪會對機頭產生一個慣性沖擊，慣性負荷遠大于其工作負荷。高轉速下此慣性負荷便引起扭轉振動和橫向振動，并存在相互耦合作用。

圖2 壓腳主部件質心速度隨時間的變化Fig.2 Changes of centroid motion of presser foot with time

圖3示出壓腳主部件質心加速度變化。可以發現，壓腳凸輪在周期運動瞬間產生的加速度突變要遠遠大于壓腳滑塊以及壓腳連桿產生的突變值，這意味著同一周期里，壓腳凸輪產生的柔性沖擊影響最為明顯。

圖3 壓腳主部件質心加速度隨時間的變化Fig.3 Changes of centroid acceleration of presser foot with time

s從壓腳凸輪的幾何結構考慮，壓腳凸輪為內槽凸輪的幾何鎖合型機構，由于滾子與凸輪槽之間存在間隙，在高速轉動下會產生橫越沖擊，破壞電腦繡花機的工作穩態。從工程優化的實驗角度考慮，減少沖擊部件的質量有利于降低柔性沖擊的沖量，一定程度上可提高繡花機工作的高速穩定性。

1.2 針桿機構柔性沖擊分析

針桿機構的主要傳動部件如圖4所示，各部件構成針桿機構的主要傳動路徑。高速針桿凸輪是偏心凸輪，通過滾針軸承與針桿大連桿形成偏心連桿，整個針桿簡化為一個四連桿與曲柄滑塊的組合機構。

圖4 針桿主要傳動部件Fig.4 Main transmission parts of needle bar

圖5、6分別示出針桿主部件質心速度和加速度隨時間的變化。在針桿滑塊運動過程中，針桿滑塊運動呈現周期往復變化，滑塊的加速度在針桿滑塊帶動機針抬升至極限位置時產生突變，類比壓腳機構產生極大的慣性力，慣性力要遠遠大于工作載荷，對機針的運動工況造成不可忽視的影響。

圖5 針桿主部件質心速度隨時間的變化Fig.5 Changes of centroid motion of main parts of needle bar with time

圖6 針桿機構主部件質心加速度隨時間的變化Fig.6 Changes of centroid acceleration of each rod of needle bar with time

2 壓腳與針桿機構的ICM拓撲優化

ICM等一系列的拓撲優化方法都是在“基結構法”的基礎上發展而來，所謂基結構法，就是將所設計的初始工作區域離散成適當的有限單元，通過算法來刪除部分單元，形成帶孔的連續體，完成拓撲優化的過程。機構拓撲優化涉及的算法是將物理量通過階躍函數來表示拓撲變量，例如一個桿件的橫截面積不管有多小，只要它不等于零，就定義其拓撲變量為1，一旦其幾何數值變為零，則拓撲變量也就定義為0，如式(1)所示。

vi=1wi/w0i∈0,1

0wi/w0i→0

(1)

式中：vi為離散變量；wi為單元物理量(本文具體指代單元結構質量)；w0i為單元固有物理量。

ICM是在結構拓撲的基礎上，以結構質量為目標，以應力、位移、頻率等為約束目標連續體拓撲優化。該方法吸取了變厚度法和變密度法不需要構造微結構的優勢，又使拓撲變量依賴尺寸和形狀層面的弊端得到了有效地避免，使拓撲變量恢復了獨立地位。根據柔性沖擊原理，在無法改變加速度突變的工況下，只能針對機構的結構質量進行優化，結構單元剛度矩陣滿足工況要求下，盡量減小單元質量，即將單元拓撲變量變為零，以最小的質量成本達到工況要求的強度和耐久性。

將設計區域先劃分網格，部件上的網格都通過建立過濾函數的方式，再映射到階躍函數上，用映射出的拓撲變量表示單個單元的實體狀態。各網格可看做一個子域，子域的實際應力不可超過各子域的許用應力，按照ICM方法，零階近似的應力約束下結構拓撲優化可表示為式(2)。利用式(3)～(5)對式(2)中的約束條件進行簡化。

MinW=∑Ni=1fp(ti)wi0

s.t.t=(t1,t2,…,tN)T

pi≤fp(ti)p0i

0≤ti≤1 (i=1,…，N)

(2)

式中：t=(t1,t2,…,tN)T，為單元拓撲結構設計變量的向量；pi為子域(網格)在工況下的應力，Pa；p0i為子域(網格)的許用應力,Pa；N為單元拓撲變量的數目；fp(ti)為質量過濾函數；w0i為單元結構質量，g。其中求解W的最小值用Min表示，而該函數的約束條件用s.t.表示。

fp(ti)≥pip0i

(3)

pip0i=fp(t*i)

(4)

fp(ti)≥fp(ti*)

(5)

零部件受到的應力分解為垂直于截面的正應力σ→和切于截面的切應力τ→，其中只有τ→產生扭轉變形，故可不考慮σ→。

由上述公式,可將式(2)變換為式(6)。

MinW=∑Ni=1fτ(ti)wi0

s.t.t=(t1,t2,…,tN)T

fτ(ti)≥fτ(t*i)

0≤ti≤1 (i=1,…，N)

(6)

式中:τi為子域(網格)在工況下的實際剪切應力,Pa；τoi為子域(網格)的許用剪切應力，Pa；fτ(ti)為重新定義的質量過濾函數。因每個子域切應力不隨各單元截面大小改變而變化，而各子域(網格)的應力只同其內力和選用材料的性質有關，所以對于第i個單元截面，fτ(t*i)每次也是固定不變的。

引入過濾函數(7)，將fτ(t*i)進行迭代運算，初始ti*表示為τiτ0i。

fτ(ti*)=etiγ-1e1γ-1

(7)

式中，γ=0.062 1。計算得fτ(t*i)作為下一級的ti*，經過多次迭代求解，取fτ(t*i)<10e-12為停止迭代準則，再由所求的拓撲變量的函數值fτ(t*i)映射回離散變量0或1，由fτ(ti)表示，對比式(1)，定義為刪除子域(網格)或保留子域(網格)，將滿足切應力要求的子域(網格)區域進行省略。

3 壓腳凸輪及針桿凸輪優化實例分析

以壓腳凸輪與針桿凸輪為樣本進行質量優化時，壓腳凸輪以及針桿凸輪外形尺寸已被確定，假設壓腳凸輪與針桿凸輪在高速運轉情況下不發生塑性變形，通過ICM結構拓撲優化，量化單個結構的質量，在滿足強度要求的條件下，達到更輕巧的結構質量要求。將模型壓腳凸輪(材質為聚甲醛(POM)熱塑性結晶聚合物，許用切應力τ0i=66 MPa)以及模型針桿凸輪(材質為高碳鉻軸承鋼GCr15，許用切應力τ0i=147.5 MPa)劃分為若干子域，如圖7所示。取單元網格面積最大劃分網格，分別劃分為356和167個網格。

圖7 壓腳凸輪與針桿凸輪網格劃分Fig.7 Meshing for presser foot cam (a) and presser (b)

在有限元仿真分析中，主軸帶動壓腳凸輪及針桿凸輪轉動，電動機轉矩通過轉軸傳遞轉矩到針桿凸輪、壓腳凸輪以及挑線凸輪上(因挑線運動范圍及慣性力遠小于另外二者，故忽略其影響)，將主軸貫穿壓腳及針桿凸輪的文件導入有限元中，在主軸上添加轉矩Me(Me=0.38 N·m)，在凸輪上添加邊界約束進行仿真運算，繼而查看切應力分布云圖，得到壓腳及針桿凸輪切應力參數的實際分布，將不同網格上分布的切應力τiτ0i作為初始ti代入式(7)進行迭代計算，經過映射得到的fτ(ti)，作為該網格刪除與否的標準。

根據上述ICM幾何方法對壓腳凸輪及針桿凸輪進行優化，迭代結果如表1所示，優化結果如圖8所示。與模型壓腳及針桿凸輪相比，壓腳凸輪結構質量減少了16%，針桿凸輪結構質量減少了38%，而與該公司實際采用的壓腳凸輪及針桿凸輪相比，壓腳凸輪結構質量減少了9%，針桿凸輪結構質量減少了13%。經對比，有效降低了對整個機構的振動沖擊。

表1 壓腳及針桿凸輪拓撲結構迭代結果Tab.1 Iterative results of topology of pin and pin cam

圖8 優化后針桿凸輪以及針桿凸輪結構外形Fig.8 Optimization of presser foot cam (a) and needle bar cam (b)

為驗證優化后結構是否滿足強度要求，將優化后的結構代入有限元分析，觀察在仿真工況下，針桿凸輪以及壓腳凸輪上切應力的分布是否滿足安全系數([s]=2)下的工作要求。應力分布云圖如圖9 所示。

圖9 壓腳凸輪以及針桿凸輪切應力分布云圖Fig.9 Distribution of shear stress distribution of needle bar cam (a) and presser foot cam

由圖9可知，右側壓腳凸輪的最大切應力為 24 963 Pa，左側針桿凸輪的最大切應力為165 300 Pa，分別小于它們的許用切應力τ0i，且τ0iτmax>>[s]，因此,優化后的凸輪結構強度滿足工況要求。

4 結 論

1)壓腳與針桿機構運動周期中的某一時刻，由機構內部零件加速度突變產生的柔性沖擊帶來的影響不可忽視。不同零件對高速穩定性的影響不同，可通過運動學分析確定引起柔性沖擊的最主要的零部件作為優化對象來進一步研究。

2)針對柔性沖擊問題，從結構輕質出發，減小對繡花機工作穩態的影響。基于結構拓撲ICM優化方法，將繡花機關鍵部件單元的結構質量因子定義為拓撲變量，用過濾函數將離散變量轉為連續函數，通過迭代計算再將函數值映射到拓撲變量上，優化去除部分子域，達到繡花機部件結構質量最優化的目標。

3)工程實例表明，基于結構拓撲ICM優化方法，對于本文實驗用繡花機，可優化降低壓腳凸輪質量約9%，針桿凸輪質量降低約13%。ICM拓撲算法與有限元方法相結合，可使零部件在合理優化結構質量的情況下達到強度參數要求，滿足高速工況要求。同時對于其他高速輕質機械的優化設計研究也提供了理論參考。

FZXB