培養認知策略完善解題教學

鄭為勤

1 原題及命題意圖

在數軸上，把表示數1的點稱為基準點，記作點0'，對于兩個不同的點M和N，若點M，N到點0'的距離相等，則稱點M與點N互為基準變換點.

例如圖1，點M表示數-2，點Ⅳ表示數4，它們與基準點0'的距離都是3個單位長度，點M與點Ⅳ互為基準變換點.

（1）已知點A表示數a，點B表示數b，點A與點B互為基準變換點.

①若a=3，則b= ▲ ，

②用含以的式子表示6，則b= ▲ ;

（2）對點A進行如下操作：先把點A表示的數乘以曇，再把所得數表示的點沿著數軸向左移動3個單位長度得到點B.若點A與點B互為基準變換點，求點A表示的數;

（3）點P在點Q的左邊，點P與點Q之間的距離為8個單位長度，對Q點做如下操作：Q1為Q的基準變換點，將數軸沿原點對折后Q1的落點為Q2，Q為Q的基準變換點，將數軸沿原點對折后Q的落點為Q4，…，依此順序不斷地重復，得到Q5，Q6，…，Q，，若P與Q_4n兩點間的距離是4，直接寫出n的值，

根據聯考統一命題要求：本次期末考重點考查北師大2012版七年級上冊共6章，其內容是“豐富的圖形世界”、“有理數及其運算”、“整式及其加減”、“基本平面圖形”、“一元一次方程”、“數據的收集與整理”，特別要考查學生的數學思維能力和數學學習能力，命題預設，將最后一道題命題方向確定為以下兩個方面：一是要將本冊主要內容融為一體的綜合度，以考查學生知識深度、廣度和融會貫通的能力;二是要圍繞數學核心知識，體現重要數學思想方法，以考查學生數學素養和運用數學的能力.

2 解題過程及評分標準

（1）①對于具體數值，點A表示的數是3，則這個點在基準點的右邊，與基準點的距離是2，因此點B在基準點左邊2個單位，表示的數是-1.

②通過絕對值的幾何意義來表示點A與基準點的距離|l-a|，點B與基準點的距離為|l-b|.根據基準變換的定義得：點A和點B一定分別在點1的

3 解題感悟

本題要考查的知識點包括：數軸上的點表示的數;數軸上兩點的距離;絕對值;平移、對折變換;找規律;一元一次方程，是一道綜合性很強的題目，筆者在講解時嘗試結合認知策略教學，

認知策略是個體將其知識和技能用于問題情境的一些方法，這些問題有可能是個體早先未曾遇到過的，認知策略是“動腦”的方法，加涅通過研究前人的研究成果，總結出如下幾種認知策略：注意中的認知策略、編碼中的認知策略、提取策略、問題解決中的認知策略和思維認知策略，充分關注這些認知策略，能較完善地進行解題教學.

3.1 注意中的認知策略

完成閱讀型考題，首先要過“閱讀”關，即審題，如果不在“閱讀”上要花時間，不仔細閱讀，就無法后續的解題，細節決定成敗，因此閱讀時應不放過任何一個細節，研究表明，學習者通過應用認知策略可練習控制自己在文本閱讀中的注意，注意的含義是選擇性知覺，也就是說，要突出將要在短時記憶中存貯和加工的那些特征，教會學生用適當的符號標注重點，就能達到強調所呈現刺激的區別性特征，宋朝著名學者朱熹讀書時就十分喜歡在書上作各種記號，初讀、再讀、三讀都用不同顏色的筆圈點勾畫，他認為這樣能“漸漸向里尋到那精英處”，本題中有兩個新概念，一是基準點，二是基準變換點，理解基準變換的關鍵在于“距離相等”，對題目的關鍵字詞畫圈、畫線，真正領會題目給我們的解題暗示或提示.

3.2 提取策略

研究結果表明，許多學習者似乎都可以獲得詞匯表提取的歸類策略，即便是非常年幼的兒童也可能會習得它作為一種策略，可促進記憶的各種方法被命名為“元記憶”，僅就元記憶而言，包括表格、思維導圖等一些策略，做為一道以數軸背景的綜合題，本道試題通過變式可以延伸拓展到求兩點的距離、點的運動（相向或同向）等，本題應用到的相關數軸的知識可以進行如下整理：

3.3 問題解決中的認知策略

當學生解決新問題時，他們學習的不僅是可應用于那些問題的規則，而且是完成問題解決的一般方法，也就是說，他們學習了訓練控制自身思維過程的方法，這些自我控制能力是思維認知策略，在進行問題解決中的認知策略研究時，懷特和維特羅克發現存在幾種認知策略，這些策略在性質上具有一般性，大概可以應用于多種問題.

3.3.1 首先也是最重要的策略，是探尋深層含義的策略

本題中，類比互為相反數的知識，互為相反數的兩個數表示在數軸上時，他們離開原點的距離相等，我們可以當作原點是他們的“基準點”，互為相反數的兩個數是關于原點的“基準變換點”互為相反數相加得0，類似的，本題中的“基準變換點”相加得2.

3.3.2 在問題解決研究中表現出來的第二種一般策略是采用局部目標的策略.成功的問題解決者不是一步登天，而是使用逐步的“爬山式”方法

對于剛進入初中的七年級學生來說，他們習慣用具體數值進行運算，缺乏用字母表示數的一般思維，在這個時候，我們能做的是在順應學生思維習慣的基礎上，從具體到抽象緩慢過渡，讓學生會從特殊到一般的推廣.

對于第（3）小題，“若P與Q_4n兩點間的距離是4，直接寫出n的值”，說明“P與Q_4n兩點間的距離”與“n的值”有關，而與點P，Q的起始位置無關，此時，學生如果采用特殊值法逐個計算，也可得n的值，如：假設點P表示的數為3，則點Q表示的數為11.與點P距離4個單位的點表示的數為7和-l，依題意順序不斷變換，得到Q4 =7，Ql2=-1.即n的值為1和3.在羅列Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，Q6，…，Q_n的過程中，學生可直觀發現當奇數變換時，點Q向左移動2個單位，求得P與Q_4n兩點間的距離是4，需移動向左移動4個12個單位，完成這些后，再進一步用字母代替數，進行一般化思考，就能正確完整的解答了.

3.3.3 問題解決中另一個有用的策略是方法的靈活性.成功的問題解決者不會將自己限于一種思維方式中

3.3.4 第四種被識別出來的策略是部分綜合策略，問題解決者須能將“部分綜合成整體”

當點A表示的數是a，不少學生定勢思維把點a默認在原點右側，則點A與基準點的距離是以a-1.因此點B在基準點左側a-l個單位，表示的數是l-（a-1）= 2-a，這樣結果是正確的，但只考慮了點A的特殊情況（在基準點右側）.如果用分類討論的辦法，加上考慮當點A在基準點左側，點A與基準點的距離是l-a，因此點B在基準點右側l-a個單位，表示的數是l+（l-a）= 2-a，這樣思路就完整了，

當把以上部分綜合成整體，通過絕對值的幾何意義來表示點A， B與基準點的距離或者觀察題圖，根據題意，我們還可以知道，點0是線段MN的中點，也就是基準點是互為基準變換點組成線段的中點，由中點公式，得a+b/2也可能得結論.

掌握認知策略已成為衡量學生學會學習、學會思考的根本標志，解題教學的最終目的是“授人以漁”，我們常遇到的一類學生，上課聽得懂，課后自己獨立做題時，卻找不到思路，這樣的學生就是因為少了“策略性知識”，某些簡單的策略可以很快學會，但有的策略需要反復練習、應用，只有堅持不懈，才有收到良好的效果，培養認知策略，必然在整個中學數學學習中提高學生的學習效果.