用“類比法”開展數學教學的實踐與思考

■戴回娟

“類比”是“一種推理方法，根據兩種事物在某些特征上的相似，做出它們在其他特征上也可能相似的結論。類比推理是一種或然性的推理，其結論是否正確還有待實踐證明”。“類比”也是一種非常重要的學習與研究方法，數學上許多結論或者研究方法都是通過類比得到的。類比的結論不一定正確，需要通過實踐或邏輯推理來檢驗其正確性。基于此，利用類比法進行數學教學是一種行之有效的方法，既能引導學生掌握一種思維方式，又能在數學學習中培養學生嚴謹的理性精神。類比法教學必須基于學生已有認知基礎和經驗、在學生最近發展區內。本文擬通過幾個案例，談談利用“類比法”開展數學教學的實踐與思考。

一、用“類比法”開展數學教學的實踐

“類比法”在數學教學中應用廣泛。在教授新知識時，可以引導學生找到類比源，從數學本質特征上進行類比，可以從數學結構形式上進行類比，也可以從研究路徑策略上進行類比，還可以從數學思想方法上類比。

1.從數學本質特征上類比。

案例1 反比例函數教學

這是蘇科版數學教材八年級下冊第11章的內容。教材通過幾個具體的問題情境，列出相應的函數關系式，進而給出定義：一般地，形如y=（k為常數，k≠0）的函數叫作反比例函數。

顯然，反比例函數概念的引入是基于學生的兩個認知基礎：（1）小學的“反比例”概念。蘇科版小學六年級下冊“反比例”一章，先通過實例得到“單價和數量是兩種相關聯的量，單價變化，數量也隨之變化，當單價和數量的積是一定（也就是總價一定）時，筆記本的單價和購買的數量成反比例關系”。進而給出反比例的概念：“如果用x、y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的積，反比例關系可以用下面的式子表示：xy=k（一定）”。（2）函數概念。在八年級上冊學習了函數的描述性概念，“反比例函數”這一章從學生的已有知識出發：對于y=k為常數，k≠0）而言，一是有x、y兩個變量，對于變量x的每一個確定的值，變量y都有唯一確定的值與x對應，故y是x的函數；二是將y=k為常數，k≠0）變形為xy=k（k為常數），即兩個變量x、y的積為定值k，符合小學反比例關系的本質特征。因此，由類比“反比例”和“函數”這兩個概念的本質特征，順理成章得到“反比例函數”的概念。

2.從數學結構形式上類比。

案例2 二次根式= ||a的教學

盡管課程標準中明確了“運用二次根式的加、減、乘、除運算法則進行二次根式的四則運算，根號下僅限于數”，但就而言，其相關意義應該要求學生掌握，而這恰恰是學生學習的難點。教學中，可從根式的結構形式上采用類比法進行教學。

活動一學生自主練習：計算，，。

活動二請舉出類似的例子并計算，能否舉出所有這樣的例子？怎么辦？學生們容易想到 a2，并類比a為具體數的結論得到= | a|。

活動三計算

通過分別列舉x＜0、x＜y、x＜2等反例，讓學生得出二次根式的意義= | a|，進而得出如下結論：①被開方數不能是負數；②二次根式不可能是負數。

這里就是由二次根式中被開方數為“數”的結構形式，類比得到了被開方數是“式”的結構形式，被開方數為“數”中的“數”和結果的符號是顯性的，而被開方數為“字母”或“式子”的符號可能為負，是隱性，這是問題的關鍵。進而讓學生體會到：通過類比結構形式進行數學學習時要注意二者之間的差異性。

3.從研究路徑策略上類比。

案例3 矩形的教學

這是蘇科版八年級下冊第9章繼平行四邊形之后的內容。我們知道，平行四邊形研究的路徑是：

在小學將矩形稱為長方形，其研究路徑、策略與平行四邊形的研究路徑、策略一樣。教學中，可啟發學生回憶平行四邊形的研究路徑與策略，進而類比出矩形的研究路徑策略。故引入過程可這樣設計：

（1）通過現實生活的情境直接呈現圖形；

（2）提出問題：你認為這種圖形應該從哪幾個方面進行研究？學生可能得出“從定義、性質、判定和應用四個方面研究”；

（3）你怎么知道按照這樣的路徑研究的？學生自然會類比聯想平行四邊形的學習，得到矩形的研究路徑。

這種類比教學就是研究路徑與策略的類比。

4.從數學思想方法上類比。

用數學思想方法支配解題活動，解題就會有章可循。數學思想方法總是成類出現，利用數學思想方法進行類比法教學，對提升學生解題能力具有較大的作用。

案例4 關于一類二元一次方程組解法教學

這是通過數學思想方法的類比進行的教學，這樣的教學會讓學生印象深刻，更有利于學生掌握數學中最本質的東西。

二、用“類比法”開展數學教學的思考

誠然，“類比法”是一種重要的數學教學方法與策略，也是不可或缺的學習與研究方法。但用類比法開展教學必須特別注意兩點：一是關注當前問題、結論與源問題的條件、結論的差異性；二是關注類比得到結論的或然性。

1.不能忽視當前問題與源問題的差異性。

為什么需要類比？正是因為當前問題與源問題具有差異性，才有必要“類比”。如果沒有差異性，屬于同一（或同質）問題，就沒有“類比”的必要性。因此，我們在根據當前問題與源問題的某些相似性進行類比結論時，要由問題的差異性得出結論的差異性。如研究一元一次不等式時可類比一元一次方程，但不能忽視“等式”與“不等式”的差異，兩邊同乘（或除以）一個數（或式）時，方程只要考慮這個數（或式）不等于0即可，而不等式則要考慮這個數（或式）是正數還是負數，因為這影響到不等號的方向是否改變的問題。

2.高度關注類比所得到結論的或然性。

類比得到的結論不一定正確，需要證實或證偽。例如：類比“全等三角形對應邊上的中線相等”，得到“全等三角形對應邊上的高相等”，這其實是真命題，但只有通過嚴密的演繹推理，才能確認其正確性。再比如：由=3、等很容易類比得到=a。這個結論正確嗎？顯然，當a＜0時結論不正確。

因此，作為數學教師，一是要多用類比的方法進行數學教學；二是要引導學生學會用類比的方法研究數學對象；三是要通過具體案例讓學生認識到：用類比的方法研究問題時，注意關注當前問題與源問題的差異性、類比的結論具有或然性。