混凝土內部界面過渡區脫開過程的擴展有限元模擬*

房寧志 夏曉舟 章 青

(河海大學力學與材料學院 南京 211100)

0 引 言

混凝土微觀結構實驗[1-2]和數值模擬[3-4]結果均表明：混凝土中骨料和水泥砂漿基體之間存在著物理力學性能截然不同的界面過渡層.界面過渡區對混凝土材料的宏觀力學性能及其破壞過程都有很大影響.考慮到界面過渡區對混凝土宏觀力學性能的決定性影響，數值模擬必須在細觀層面上展示混凝土內部骨料界面過渡區的弱連接行為.最直觀的策略就是在骨料和水泥砂漿之間嵌入黏聚單元(cohesive element)[5]，并賦予黏聚單元的力-分離本構行為，以實現界面過渡區的黏聚脫開模擬；但嵌入cohesive單元的方法涉及復雜的網格剖分和嵌入處理.基于擴展有限元方法[6]中材料內部的物理界面(含裂紋)的演變過程可在固定的有限元網格下實現的優勢，本文在擴展有限元法(XFEM)的框架下，引入強間斷的位移擴充形函數以及界面力-界面相對位移的本構描述來反映界面過渡區的傳力和變形特點[7]，建立混凝土試樣的界面過渡區擴展有限元模型，以實現混凝土試樣在荷載作用下界面過渡區從粘聚到逐步脫開的全過程仿真.在此基礎上，進行平均化處理，估算出混凝土材料的宏觀體積模量和宏觀剪切模量，并進一步探究界面過渡區的力學行為對混凝土的宏觀力學特性的影響規律.

1 混凝土細觀擴展有限元法建模

1.1 單元位移模式

XFEM的核心思想是在傳統有限元法的單元位移模式中引入能夠反映裂紋或材料界面對變形影響的擴充項，即

(1)

式中：x為空間坐標；u為單元內x點的位移；NI為標準形函數；uI為單元結點位移；φJ為反映不連續性的擴充形函數；qJ為加強結點的附加位移.對于混凝土內部界面過渡區，大部分學者按弱連續模式定義其擴充形函數[8]為

φJ=NJf(x)

(2)

式中：f(x)是水平集函數，定義為

(3)

圖1 貫穿單元

為此，本文采用強不連續的位移模式來反映界面過渡區的相對位移，其擴充形函數定義為

φJ=NJH(f(x))

(4)

式中：H(x)為階躍函數，定義為

(5)

這種強不連續的位移模式要求界面過渡區的本構模型必須納入到界面力-界面相對位移關系的框架下進行描述.

1.2 界面過渡區的粘聚脫開行為

當界面應力達到界面強度時，界面開始損傷，進入界面斷裂能釋放階段，至完全脫開，界面處的應力為零.與裂紋不同的是：界面處位移雖然不連續，但能傳遞力，假定骨料界面力-界面相對位移滿足雙線性關系，見圖2，引入損傷變量，使雙線性關系統一成一個表達形式，即

(6)

(7)

圖2 界面力與界面相對位移之間的關系

1.3 反映界面過渡區特性的擴展有限元列式

1.3.1控制方程

(8)

圖3 界面問題中的各類邊界條件示意

1.3.2積分弱解形式

試探函數空間定義為

(9)

測試函數(權函數)空間定義為

U0={δu(x)|δu(x)∈C0,δu(x)=0

(10)

代入幾何方程和本構方程，則弱解形式可表述為

(11)

式中：D為彈性矩陣.

1.3.3區域離散化

對式(11)進行區域離散化，即

(12)

式中：Ne為單元總數目；[u]為骨料界面相對位移.根據位移模式(1)和式(4)，獲得

[u]=nA(uA-uB)=

nANae(h(d(xA))-h(d(xB)))

(13)

將式(1)和(13)式代入式(12)，獲得

(Nφ)TF)dΩ+

gDcohnAN(h(d(xA))-h(d(xB))aedΓ=0]

(14)

將單元結點自由度用結構結點自由度為

ue=guu,ae=gaa

(15)

式中：gu,ga為選擇矩陣.所以式(14)化為

(16)

令：

所以，離散方程的弱解形式(15)式可寫為

δW=δuT(Kuuu+Kuaa-fext)+

(17)

因為δu、δa是任意的，所以式(17)等價為

(18)

化為矩陣形式：

(19)

由于骨料界面力與界面位移之間的關系是非線性的，因此上式改為增量形式，即

(20)

1.4 單元積分方案

對于含界面過渡區的擴展有限元單元，由于涉及骨料和水泥砂漿等多種材料，單元積分不能按照高斯積分的策略進行，即便是加密高斯積分點[9]，也會引起較大的積分誤差，而必須按材料子域進行積分[10-11].本文采用材料子域的三角形子劃分策略，在每個三角形子劃分中按Hammer積分進行，見圖4.

圖4 三角形子域積分示意圖

當界面過渡區與網格邊界或網格結點靠得很近時，其子劃分可能會導致某些三角形面積過小或形狀過于尖銳，從而降低積分精度，為此，本文采用了網格局部調整的策略以確保高精度積分，見圖5.

圖5 網格節點調整

2 數值算例

2.1 中心含圓骨料的平板分析

2.1.1可靠性驗證

圖6 圓夾雜板單軸拉伸

q=3 MPa時兩種數值方法得到的豎向應變云圖見圖7，由圖7可知，二者分布基本相同，最大豎向應變分別為1.38×10-4和1.37×10-4，相差甚微.q=21 MPa時骨料界面過渡區的法向相對位移見圖8，由圖8可知，骨料的頂部和底部已脫開，二者的法向相對位移也十分接近.驗證了本文擴展有限元模型的可靠性.

圖7 豎向應變分布對比

圖8 圓形骨料界面過渡區的法向相對位移

2.1.2界面過渡區的損傷脫開狀態分析

為追蹤界面過渡區的損傷脫開過程，對圖6中平板上部逐步施加均布荷載q.取q=6，12和21 MPa時的豎向應變云圖，見圖9，由圖9可知，隨著均布荷載的增加，界面過渡區相對位移逐漸w增大，變形局部化特征愈發明顯，當q達到21 MPa時，骨料頂部和底部的界面過渡區出現大范圍的脫開，高應變區集中在骨料周圍.

圖9 應變隨荷載變化的演變

在荷載q=21 MPa作用下界面過渡區的法向應力和切向應力見圖10，由圖10可知，法向應力呈對稱分布，而切向應力呈反對稱分布，且頂部大部分應力都已釋放，處于完全脫開狀態，但骨料兩側處于受壓狀態，且相互侵入，侵入量見圖8左右兩側出現的相對位移負值，界面的初始法向剛度取得越大，侵入量就越小，就越接近實際情況.

圖10 圓形骨料界面過渡區的法向和切向應力

2.2 混凝土試樣受拉分析及宏觀模量的估算

以二級配混凝土為例，按級配理論在試樣中隨機分布大、小橢圓骨料，骨料體積分數為31%.上部均布荷載q逐步施加到15 MPa時獲得混凝土試樣的豎向應變云圖見圖11，由圖11可知，大骨料的界面脫開位移大于小骨料的界面脫開位移，與實驗結果相同.

圖11 二級配混凝土網格模型與豎向應變云圖

為進一步分析界面過渡區性質對混凝土宏觀力學性能的影響，提取數值計算結果，在應變能等效的原則下，估算出混凝土宏觀的體積模量和剪切模量，見表1～2.

表1 混凝土細觀各組份的體積模量和剪切模量

表2 隨荷載變化模量變化(界面剛度=10×104 MPa/mm)

由表2可知，當荷載達到3 MPa時，界面進入應力釋放狀態，此后，隨著荷載的增加混凝土的宏觀體積模量K和宏觀剪切模量G而減小，當荷載達到20 MPa之后，宏觀體積模量K與宏觀剪切模量G減小更為明顯，體現了界面過渡區對混凝土宏觀力學性能的削弱效應.

表3為界面初始剛度對混凝土宏觀有效模量的影響，由圖3可知，混凝土宏觀體積模量K和剪切模量G隨初始界面剛度的增加而增大.當初始界面剛度超過5×107MPa/mm時宏觀模量增加不明顯.

表3 混凝土宏觀模量隨界面剛度的變化規律

3 結 論

1) 建立的混凝土細觀擴展有限元模型由于采用了力-分離的本構描述模式來反映界面過渡區的力學特性，使得強不連續的位移模式能夠把界面粘聚、損傷和完全脫開三種狀態統一起來，無需進行弱不連續到強不連續的切換，就能在擴展有限元框架下實現界面過渡區從粘聚到脫開的全過程仿真.

2) 擴展有限元的最大優勢就是求解域中的物理邊界(如界面過渡區、裂紋)始終獨立于有限元網格，這使得有限元網格劃分變得簡單而規整，且單元精度要高于三角形或四面體單元精度.網格劃分的優勢雖然對二維細觀模擬不是很明顯，但對三維細觀模擬將展示其巨大的潛力.

3) 對混凝土宏觀體積模量和剪切模量隨界面過渡區的初始剛度增大而增大，當初始界面表剛度超過5×107MPa/mm時，無論是初始粘聚還是后期損傷或脫開狀態，宏觀模量的增大都不是很明顯.實際上，界面過渡區處于粘聚狀態時是沒有相對位移的，當初始界面剛度取得越大，粘聚狀態的相對位移就越小，取到無窮大時，粘聚相對位移為零，消除了粘聚狀態的誤差，但另一方面又加劇了線性方程組的病態性，導致求解的收斂速度變慢.