陀螺進(jìn)動(dòng)中的“角動(dòng)量不守恒”問題

邵懷華 卓玉霖

(六盤水師范學(xué)院電氣工程學(xué)院，貴州 六盤水 553000)

在回轉(zhuǎn)效應(yīng)演示實(shí)驗(yàn)中，為了突出進(jìn)動(dòng)這一“反抗”重力的神奇力學(xué)現(xiàn)象，往往通過給陀螺儀一個(gè)較大的自轉(zhuǎn)角動(dòng)量等方式減小其章動(dòng)，但是這樣會(huì)產(chǎn)生豎直方向的進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量從何而來(lái)的疑問。圖1所示為回轉(zhuǎn)效應(yīng)演示儀簡(jiǎn)化模型，L為自轉(zhuǎn)角動(dòng)量，R為回轉(zhuǎn)半徑，O為支點(diǎn)。為了討論方便，假設(shè)陀螺質(zhì)量為m，質(zhì)心在懸空端P點(diǎn)。

圖1 回轉(zhuǎn)效應(yīng)演示儀簡(jiǎn)化模型示意圖

均勻進(jìn)動(dòng)時(shí)，由力學(xué)基本知識(shí)可知

(1)

1 陀螺動(dòng)力學(xué)分析

圖2 陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的矢量分析圖(a) 縱向轉(zhuǎn)動(dòng); (b) 橫向轉(zhuǎn)動(dòng)

令ωp和ωn分別表示進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)角速度的大小。分析圖2(a)，可得如下方程組

(2)

式中ax表示陀螺在慣性力作用下水平運(yùn)動(dòng)加速度的大小。上式可解得關(guān)于ωp和ωn的微分方程

(3)

同樣，分析圖2(b)可得

(4)

解得

(5)

聯(lián)立式(3)、式(5)，結(jié)合初始條件ωp(0)=0,ωn(0)=0可得進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)角速度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系

(6)

進(jìn)而對(duì)兩個(gè)角速度分別求積分，可以得到進(jìn)動(dòng)角θ和章動(dòng)角α隨時(shí)間的變化關(guān)系，結(jié)合初始條件θ(0)=0,α(0)=0可得

(7)

圖3 理想情況下陀螺儀懸空端P的空間軌跡

此即理想情況下，關(guān)于回轉(zhuǎn)儀懸空端P運(yùn)動(dòng)行為的一個(gè)較為精確的解。圖3是對(duì)理想情況下回轉(zhuǎn)儀懸空端P軌跡的數(shù)值模擬結(jié)果。可以看出水平釋放后陀螺并不是做穩(wěn)定的進(jìn)動(dòng)，而是以其進(jìn)動(dòng)角速度和章動(dòng)角速度均周期性振蕩變化的規(guī)律“抖動(dòng)”前進(jìn)。

但在實(shí)際情況中，由于摩擦的存在，式(6)、式(7)中的振蕩項(xiàng)將很快衰減為零。去除振蕩項(xiàng)之后的穩(wěn)定值為

(8)

下面對(duì)此做出證明：

在章動(dòng)很小的情況下，

(9)

穩(wěn)定進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量的大小為

(10)

可見二者大小相等，但方向相反。

因此，實(shí)際情況應(yīng)該是這樣的，水平釋放后陀螺開始抖動(dòng)著前進(jìn)，穩(wěn)定后其懸空端會(huì)稍微向下傾斜，使自轉(zhuǎn)角動(dòng)量L有一個(gè)向下的分量抵消了進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量，從而保證了豎直方向角動(dòng)量守恒。

2 阻尼條件下的動(dòng)力學(xué)分析

為了弄清實(shí)際陀螺進(jìn)動(dòng)從開始到穩(wěn)定的過程，我們考慮有阻尼的情況，其主要來(lái)自于陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)與支架的摩擦。類似于運(yùn)動(dòng)物體在空氣中運(yùn)動(dòng)受到的阻力在速率不高時(shí)為f=-k，k為阻力系數(shù)，轉(zhuǎn)動(dòng)中摩擦產(chǎn)生阻尼力矩，大小與角速度成正比，方向相反。即，Mr=-krω；kr為轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼系數(shù)。然而，一般情況下進(jìn)動(dòng)阻尼遠(yuǎn)小于章動(dòng)阻尼。忽略進(jìn)動(dòng)阻尼，只考慮章動(dòng)阻尼后，式(2)、式(3)保持不變，但式(4)改寫為

(4a)

式中kn為章動(dòng)阻尼系數(shù)。化簡(jiǎn)可得

(5a)

同樣，上式聯(lián)立式(3)，結(jié)合初始條件可得有章動(dòng)阻尼時(shí)的進(jìn)動(dòng)角速度ωp和章動(dòng)角速度ωn的大小

(11)

這即是引入章動(dòng)阻尼時(shí)，關(guān)于陀螺運(yùn)動(dòng)的一個(gè)較為精確的解。圖4是考慮章動(dòng)阻尼時(shí)P點(diǎn)空間軌跡的數(shù)值模擬結(jié)果。如圖4所示，為保證系統(tǒng)豎直方向的角動(dòng)量守恒(恒為零)，從水平位置P(t=0)釋放后陀螺開始抖動(dòng)著進(jìn)動(dòng)，穩(wěn)定后其懸空端會(huì)稍微向下傾斜至P′，使其自轉(zhuǎn)角動(dòng)量L有一個(gè)向下的分量正好抵消進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量。

圖4 章動(dòng)阻尼下陀螺儀懸空端P點(diǎn)空間軌跡

3 全阻尼情況討論

實(shí)際上摩擦也會(huì)產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)阻尼，并且進(jìn)動(dòng)阻尼力矩沿豎直方向，使系統(tǒng)在豎直方向受到的合力矩不再為零，該方向的角動(dòng)量也不再守恒。我們也對(duì)全阻尼情況作了計(jì)算，此時(shí)進(jìn)動(dòng)角θ隨時(shí)間的變化關(guān)系為

(14)

式中kn,kp分別為章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)阻尼系數(shù)。章動(dòng)角α隨時(shí)間的變化關(guān)系

(15)

圖5所示為全阻尼下陀螺儀懸空端P的軌跡的數(shù)值模擬結(jié)果。可以看出，摩擦逐漸消耗系統(tǒng)的能量，陀螺最終會(huì)“屈服”于重力，慢慢掉下去。只是一般演示實(shí)驗(yàn)中，由于重力力矩遠(yuǎn)大于阻尼力矩，幾個(gè)進(jìn)動(dòng)周期內(nèi)陀螺下落不明顯。

圖5 全阻尼情況下陀螺儀懸空端P的空間軌跡

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過解析計(jì)算和數(shù)值模擬，系統(tǒng)研究了回轉(zhuǎn)效應(yīng)中的陀螺運(yùn)動(dòng)規(guī)律。首先考慮理想情況，發(fā)現(xiàn)水平釋放后陀螺并不是作穩(wěn)定的進(jìn)動(dòng)，而是以進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)角速度均周期性變化的規(guī)律“抖動(dòng)”前進(jìn)。實(shí)際情況，由于摩擦，抖動(dòng)會(huì)逐漸消失，穩(wěn)定后陀螺下傾，使自轉(zhuǎn)角動(dòng)量有一個(gè)向下的分量抵消了進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量，從而保證了豎直方向角動(dòng)量恒為零，解釋了進(jìn)動(dòng)演示實(shí)驗(yàn)中由于進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量出現(xiàn)導(dǎo)致的看似豎直方向上的角動(dòng)量“不守恒”問題。進(jìn)而為了弄清陀螺從水平釋放達(dá)到穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)過程，我們逐步在模型中引入章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)阻尼，并詳細(xì)分析了陀螺在阻尼條件下的運(yùn)動(dòng)行為。