中考函數命題研究與復習中的核心素養體現

蘇順

摘 要 本文致力于解決函數復習中的盲目性，力求做到有正確導向，有貼切內容，有基本方法。本文分為三部分。第一部分從一道“常規函數題”說起，從原則定位、角色定位、內容定位分析了中考復習中的問題所在。第二部分以《課標》核心詞（符號意識、幾何直觀、運算能力、模型思想）為導向，從理論分析、內容概括、真題特征三個角度概括了中考函數命題方向，并在理論上駁斥了函數命題解析化的不合理性。第三部分以組織者的角度分析了教師在函數復習中應該具備的全局性的視野。

關鍵詞 中考；函數；研究

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）11-0188-03

【邏輯框圖】

一、問題陳述

（一）命題走向分析

以下是一個在教輔資料中頻繁出現的“常規”題（如右圖）：反比例函數圖像和一次函數圖像交于A、C兩點，求△AOC的面積。

現從兩個方面來探討命題走向。

1.如果本題的條件為“A、C是給定坐標”，則根據A、C、O三點的坐標位置易求△AOC面積。這與《課標》中的核心詞——“空間觀念”要求相一致，可以作為中考命題方向。但此時，題目已經與函數考查無關，僅僅是一道幾何問題，并不屬于函數命題的范疇。

2.如果本題的條件改為“給定兩個函數表達式y=3/x和y=x+2”，那么這個題目就與中考函數命題方向嚴重沖突。理由如下：

（1）考試說明不要求聯立反比例函數與一次函數求交點的解法。

（2）即便求解方法在允許范圍內（比如將反比例函數改為一次函數），這類問題也明顯違背了《課標》核心詞——“幾何直觀”對于函數學習的內在要求。此題走到與函數研究無關的幾何領域中去，這是典型的函數解析化問題，在函數復習中應該堅決回避。（后面章節將詳細論述函數解析化的不合理的理由）

（二）教學定位分析

教師必須在研讀課標核心詞的基礎上研究命題方向，否則會出現三個問題：

角色定位被動：不少教師將自己定位為“解題者”角色，以“教輔資料”的內容規劃來安排復習方案，以“模擬考試”衡量自己復習質量。這樣就不可避免的陷入被動化的復習模式。

原則定位缺失：作為中考復習的組織者，沒有指導原則就會迷失在題海戰術中。作為國家數學教學與考試的綱領性文件——《義務教育數學課程標》，它為函數教學、中考命題指明了方向；同時，中考緊扣《課標》要求，為人才選拔提供了公平的、符合學生認知規律的平臺。簡言之，《課標》是函數學習的基本原則和基本導向，中考是《課標》要求的具體體現。

內容定位偏差：由于導向原則的缺失，經常會出現“南轅北轍”的情況。比如不少教師青睞的所謂“函數解析綜合題”，從中花費了大量講解時間，導致復習有效性大為減弱。

二、函數命題方向研究

研究中考函數命題方向對于改進復習效率具有較強的作用。以下分別從理論導向、內容概括、表述特征三個方面進行研究。

（一）《課標》導向性分析

1.課標核心詞與函數命題方向的關系

課標對函數命題的導向作用主要以核心詞來體現。命題方向就是對《課標》相關核心詞所提及的數學素養的具體實現和價值重構。尋找相關核心詞就是尋找中考函數命題的基本原則。

2.核心詞表述及導向內容

（1）符號意識：指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律。

命題導向：符號意識是函數表達式書寫的基礎，因此它是函數命題的基礎，函數命題以函數表達式作為基本考查對象。

（2）幾何直觀：指利用圖形描述和分析問題。

命題導向：用圖形解決代數化的問題的手段。函數圖像是幾何直觀最為直接的體現，利用函數圖像解決代數化問題的考查形式在中考函數命題中占據核心地位。

理解幾何直觀是準確把握函數圖像作用的前提——函數圖像作為尋找問題答案的重要手段，是為解決問題而提供的圖形化工具。

（3）運算能力：主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。

命題導向：用代數方法解決代數化問題，是函數問題中較為重要的考查形式。

（4）模型思想：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。

命題導向：將實際問題以函數表達式的形式來描述。這是函數命題的常見入口，也是函數的生活化接口。模型思想不僅反應了量的聯系途徑，也反應了實際問題的數學化轉換方向。

3.核心詞邏輯梳理

核心詞的宏觀導向使函數命題具備了四個特征：具備生活化的接口，具備符號化的描述特征，具備運算功能，具備圖形化解決問題的潛力等四大特征。命題允許缺少部分特征，但不能與既定特征相違背。

對照以上特征，“函數解析化”就違背幾何直觀這條準則的——幾何直觀不是要求函數問題幾何化，而是要求解決問題直觀化。

函數解析化的定義：以函數圖像作為幾何背景，以長度、面積、幾何關系作為常見的考查內容，以勾股定理、相似三角形等幾何度量手段作為解題方法。

函數解析化意味著函數圖像的直觀化不再是解決問題的工具。同時，這種命題方式放棄了函數研究的基本對象和基本方法。使得教材上常見的研究函數的方法和函數知識網絡在面對此類問題時失去作用，使教師和學生不得不為了應付這樣的考題，花費大量精力尋找解決此類問題的命題和解題技巧。然而此類問題終究不具備科學的教學體系，講授的同時已經脫離了不少學生的認知規律，這也是從函數章節開始兩極分化開始嚴重的重要誘因之一。

（二）內容總括分析

將《課標》核心詞要求具體化，從三個維度對函數考查內容進行梳理。

1.（維度一）基本要素：表達式、坐標、圖像

函數命題不論涉及怎樣的背景表述和結構特征，最終必化歸為三個基本要素之一（或組合）。如圖所示：

2.（維度二）基本方法：外在關系符號表述、幾何直觀揭示核心、代數運算精確定位

數學問題都要明確研究的基本對象和基本方法。雖然具體解題細節千變萬化，但是萬變不離其宗。變量的表層關系一定通過符號化（建立方程、函數、不等式）的工具完成；變量的深層關系一定在函數圖像內體現；變量間的精確定位（位置）一定通過解方程、求代數式值等運算實現。

3.（維度三）設問方向：

函數體系下的問題設置圍繞函數研究的核心內容展開。

（1）實際問題與函數模型的互推

這類問題是《課標》核心詞——符號意識與模型思想的具體體現。他需要學生用符號化的語言將題目描述的實際問題轉換為代數化的問題。這是中考育人功能的一個體現——考查學生的轉化能力（包括事件的等效轉換和語言的表述轉換），這些能力在人生成長過程中將長期發揮重要作用。筆者認為，在初中三年的數學學習之路上，轉換能力的進步是學生數學水平提升的重要標志。現實中的常見問題主要分為事件驅動型問題和圖形驅動型問題兩類。事件驅動型包括生活常識型事件和科學常識型事件。圖形驅動型包括幾何圖形和現實圖形。

（2）函數圖像與特定坐標的互求

這類問題是《課標》核心詞——運算能力的具體體現。

（3）函數性質與圖像描述的互譯

函數性質的主要內容包括：增減性、對稱性、點的存在性、變量范圍、極值、方程不等式在函數圖像上的體現等。這類問題是《課標》核心詞——幾何直觀的具體體現。近年來，隨著對幾何直觀的重要性認識的不斷加強，函數類命題基本上是在沒有圖像的，命題組越來越傾向于讓考生自己畫出函數圖像解決問題。這對于考生畫圖能力的提出了很高的要求。

（三）命題結構分析

結合近年中考題可以得出幾種命題的具體特征：

（1）基于幾何直觀的設問特征

在以上命題結構的運算中，代數運算是次要地位，從圖像上發現特征并翻譯為結果是主要地位。

（2）基于運算能力的設問特征。在這種命題結構中，代數運算能力占據主要的位置。

（3）基于模型思想（語言轉換）的設問特征。

三、教師全局性視野

本文提出教師不能局限于“解題者”的身份定位。在對函數命題方向深度研究之后教師就會有足夠的自信成為函數復習的主動架構師，而不是教輔資料的附庸者。

（一）選題視角

用命題組的視角既可以的找準選題方向，也可以提高選題的質量。審視題目的主要原則是：權威性，公平性。

權威性：問題的設置必須符合課標中提及的核心詞要求。比如，幾何問題可以借助函數及其圖像和性質來解決問題。但反之不成立，不能將函數圖像看作圖形去研究幾何的常見問題（包括面積、長度、角度、垂直、平行）。難度依據課程標準、考試說明嚴格制定。題目背景不僅具備數學性，也符合科學觀。（比如一張紙折多少次可以達到一個成年人的身高，這是不符合科學精神的）

公平性：命題組做到為全體考生負責的態度，絕對不會模仿偏題和怪題，導致做到過題目的人很快瞄準解題路徑，沒有做過的人無從下手，造成選拔性考試的不公平。解答的方法必須以常見的運算，觀察，思維步驟入手。

（二）結構提煉。

一些函數問題在命題表述方式和邏輯關系上呈現一些共性。筆者將這種共性稱為命題結構。命題結構展現出一類題目的共同特征，提煉結構的過程就是抓住函數問題本質的過程。

（三）細節關注

（1）區分圖形與圖像。圖像是變量內在關系的呈現，圖形是數據外在特征的描述。他們在研究對象和領域上的區別意味著解題過程和方法截然不同。給出圖像，意味著要將問題翻譯為圖像的語言，從圖像中尋找問題的答案。給出圖形，那么一定會經歷實際問題抽象、幾何直觀描述、代數運算求解這個過程。

（2）關注方法與方向。方向是解題的線索，方法是解題的步驟。兩者都是解決問題的重要組成部分。方向由背景、表述、研究對象的產生多變的組合，方法卻是有限的幾種。

（3）明確考題與例題。很多時候我們將考題（特別是解析化的“綜合問題”）作為重點范例講解。這源于函數解析化過程中大量的非函數本質的問題出現，使得學生無法將教材中呈現的函數研究思路和基本方法應用在實際的考試中。經過撥亂反正，教師對于中考函數命題方向有深刻理解后，應該將函數復習回歸到函數的本質問題：函數的基本要素，函數的講究方向，函數的研究方法。