如何正確求解分式方程的增根和無解

劉順林*

（四川省攀枝花市米易縣第一初級中學校，四川攀枝花，617000）

引言

我從事初中教學19年來每次上到曾根與無解時，學生一到這里錯誤率大大增加，所以查閱了相關資料，寫一點點經驗交流與大家共勉。

（1）在復習分式方程這一節時學生對分式方程的增根與無解概念混淆，分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個概念,學生在學習分式方程后,常常會對這兩個概念混淆不清,認為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事,事實上并非如此，解分式方程一般都要去分母化為整式方程，而整式方程只有：有解與無解二種情況。當整式方程無解時，那么原來的分式方程也一定無解。當整式方程有解時，原來的分式方程就不一定也有解，因為分式方程有產生增根的可能，若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中，只要有一個分母為零，這個整式方程的解就不是原分式方程的根，它是一個增根。若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中全不為零，這個整式方程的解才是原分式方程的解。若整式方程的所有解都不是原分式方程的根（即都是增根），這時才能說 此分式方程無解。無解與增根的關系不太大，有增根不一定無解，無解也不一定是因為有了增根才無解的。

（2）解題前首先理解“曾根”和“無解”不是一回事：分式方程的曾根是由于把分式方程化成整式方程時，無形中去掉了原分式方程中分母不為零的限制條件，從而擴大了未知數的取值范圍。這樣，整式方程的根可能使分式方程的分母為零，分式方程將失去意義。因此，這個根雖然是變形后整式方程的根，但不是原分式方程的根，這種根就是分式方程的曾根。可見曾根不是原分式方程的根 ，但卻是分式方程去分母后所得的整式方程的根。而發生非常無解要分為兩種情況：一是原分式方程化為整式方程后，該整式方程無解；二是分式方程去分母后所得的整式方程有解，但該解卻是分式方程的曾根。

1 分式方程曾根

這類題的解題思路為：

①將原方程化為整式方程（兩邊同乘以最簡公分母）；

②確定增根（題目已知或使分母為零的未知數的值）；

③將增根代入變形后的整式方程，求出未知數的值；

例1：若分式方程有曾根x=-1，求k的值。

【解】：方程兩邊同 x（x+1）（x-1），得（k-1）x-（x+1）=(k-5)(x+1) 3x=k-4曾根為x=-1

例2：若方程關于x的方程會產生有增根，則m的值為？

【解】：方程兩邊乘(x+2)(x-2) 約去分母得 2(x+2)+mx=3(x-2)整理得(m-1)x=-10。原方程有增根(x+2)(x-2)= 0即 x=2或 x=-2，把 x=2 代入(m-1)x=-10，解得m=-4，x=-2代入(m-1)x=-10m=6，解得m=-4或m=6當m=-4或m=6，方程會產生曾根。

例1有曾根為x=-1把分式方程化為整式方程后直接把曾根代入求出k的值，而例2則分式方程化為整式方程確定曾根的值再代入進行計算。

2 分式方程無解

這類題的解題思路為

①將原方程化為整式方程（兩邊同乘以最簡公分母）；

②確定增根（題目已知或使分母為零的未知數的值）；

③將增根代入變形后的整式方程，求出未知數的值；

考慮該整式方程無解；

例3：若關于x的方程無解，則m的值是多少

【解】：分式方程去分母得：2（x-1）=， 將x=5代入得：．

例4：關于x的方程無解，求a的值。

【解】方程兩邊同時乘(x-3)約去分母，得(3-2x)- (2-ax)= -(x-3)即(a+1) x =-2

分兩種情況討論：一種(x-3)=0即x=3時原方程無解，(a+1) 3=-2 a=

第二種 (a+1)=0時，整式方程(a+1) x =-2無解， a=-1時，原方程無解。

綜上所述，當a= 或a=-1時，原方程無解。

例3分式方程去分母轉化為整式方程，將x=5代入計算即可求出m的值，不存在分母為零的情況，而例4分式方程去分母轉化為整式方程，將x=3時原方程還需要是分式方程去分母后所得的整式方程無解。

綜上所述關于分式方程增根無解的問題，于是有結論:分式方程的根一定是化簡后的整式方程的根，化簡后整式方程的根不一定是分式方程的根，有可能是增根，分式方程無解，就是說化簡后的整式方程無解。

3 結束語

弄清分式方程的增根與無解的區別和聯系，能幫助我們提高解分式方程的正確性，對判斷方程解的情況有一定的指導意義，幾年的教學下來遇到這一類的計算題學生的計算水平大大增加。

[1] 代建偉. 對分式方程產生增根的原因的再思考[J]. 中小學數學(初中版)2015年10期.

[2] 徐建平. 對分式方程增根問題再探討[J]. 中小學數學(初中版) 2015年11期.

[3] 馬文韜. 對分式方程增根和無解的認識[J]. 初中生世界 2015年22期.

[4] 吳江媛. 分式方程練習題[J].初中數學. 2009年11月.

[5] 全效學習編寫組. 分式方程練習[J].全效學習. 2016年5月.