資產價格泡沫何時發生崩潰？
——基于LPPL模型的在中國金融市場上的有效性檢驗

潘 娜，王子劍，周 勇

(1.湖北警官學院，湖北 武漢 430034；2.上海財經大學統計與管理學院,上海 200433；3.統計與數據科學前沿理論及應用教育部重點實驗室，華東師范大學統計交叉科學研究院和統計學院，上海 200241)

1 引言

金融市場中的非理性泡沫的形成及迅速膨脹具有高度的非線性及復雜性特征，吸引了很多物理學家的關注，他們利用物理中的地震模型對金融市場規律進行了提取和抽象，在研究房地產市場和證券市場泡沫中取得了很大的成功。而LPPL對數周期冪律模型(Log Periodic Power Law Model)，則是將地震預測方法創造性的應用于預測金融資產泡沫破裂的一個典范。

Sornette教授在1996年的實證研究中證明，金融資產同其他統計物理系統一樣具有自組織的特點，自組織是指該狀態的形成主要是由系統內部各組成部分間的相互作用產生，而不是由任何外界因素控制或主導所致，這是一個減熵有序化的過程；“臨界態”是指系統處于一種特殊的敏感狀態，微小的局部變化可以不斷被放大，進而擴延至整個系統。自組織臨界理論可以解釋諸如火山爆發、山體滑坡、巖層形成、日輝耀斑、物種滅絕、交通阻塞、以及金融市場中泡沫崩潰的現象。因此其在趨于臨界點時有發生合作行為的潛在可能，泡沫在趨向崩盤過程中呈現對數周期冪律性震蕩，研究認為泡沫的形成是由于交易者之間的相互模仿，通過正反饋形成集體效應，在市場動力學的作用下最終崩盤。因此采用LPPL模型不但可以對金融市場的泡沫走向進行預測，還可以對泡沫破裂時間進行預測。Johansen和Sornette[1]對新興市場的投機性泡沫、以及全世界49個國家的股票市場崩盤之前的股票指數進行了研究，發現其中大部分可以利用 LPPL 模型進行分析。Sornette等[3]采用LPPL模型在后續的實證研究中成功預言了日經指數的反彈以及在2000年初的下跌。Sornette和Zhou Weixing[4]研究了2000-2002年美國股票市場在新經濟泡沫破裂后的走勢，在LPPL 模型下有著與2000年日經指數相似的反泡沫模式，發現了存在的全球性反泡沫機制。Sornette等[7]還對相關的研究做了總結，在分析市場泡沫的模型上遇到的問題做了闡述歸納。

在國內，溫紅梅，姚鳳閣[10]對房地產市場價格的泡沫進行了實證分析，計算了價格泡沫的變化量，檢測出泡沫持續增強的趨勢。李東[11]介紹了對數周期加速冪律模型是如何進行泡沫走勢預測和崩盤點的尋找，提出了基于網絡的預搜索Nelder-Mead Simplex的算法，并且進行了實證分析，其在利用恒生指數為數據來源測算其股市泡沫與崩潰的預測結果方面得到了較為理想的結果。周偉、何建敏[12]在分析后金融危機時代金屬期貨價格集體上漲的問題下，通過LPPL模型分析出了價格的上漲是由于市場需求且是投機泡沫，對不同的貴金屬價格模型分析，運用前向比較和后向敏感分析驗證了結論，并給出了相應的投資建議。方勇[13]同樣沿襲了物理金融學的研究思路和框架，對中國股票市場自組織臨界性和對數周期冪律進行了實證研究，實證數據分析表明中國股票市場還是一個新興的不成熟的市場，政策性特征和暴漲暴跌的特征比較明顯。因此研究自組織臨界性和對數周期加速冪律現象對于危機的預警和控制有著重要而深遠的影響。徐浩峰、朱松[14]研究發現由于機構投資者的交易風格具有“投機”特征，導致了證券價格偏離內在價值，引發中國股市泡沫。吉翔、高英[15]則在研究中國股市泡沫與反泡沫中，運用了對數周期加速冪律模型對中國股市進行實證檢驗。得出了我國股市具有分形特征、存在對數周期性冪律泡沫及反泡沫、滬深兩市轉制趨于同步等一系列結論，提出了中國應適時適當使用財政政策、完善股市對稱性等政策建議。扈文秀等[16]引入導致預期發生變化的三個影響因素(過度自信、資產缺乏彈性、流動性過剩)，擴展了現有的噪聲交易者(DSSW)模型，得出三個影響因素促使資產價格預期發生變化，進而導致非理性資產價格泡沫生成及膨脹的結論。Zhang Qunzhi等[6]則對美國股市標準普爾指數500(S& P 500)在200年間通過LPPL模型檢測出8個正向泡沫和2個反向泡沫，并做出了相關的分析。Li Chong[8]則基于中國股票市場的滬深300指數，建立了LPPLS模型，有效地檢測出了市場泡沫的產生，并對下一次泡沫破裂臨界時點做出了預測，并用時間跨度作為市場預警的指標。石建勛等[17]利用門限VAR模型發現股市大幅波動期間價量關系存在顯著的時間斷點效應，中國股市中價格顯著引導交易量的變動，是價格拉動型而非資金推動型市場，因此存在泡沫的說法并不準確。陳衛華，蔡文靖[18]則提出了基于LPPL模型的股市暴跌風險預警方法，結合了 Lomb譜分析和 O-U過程檢驗，對上證指數和創業板指數的暴跌時點均具有較好的預測效果。

然而這此方法中都沒有考慮一維價格波動翻譯成反映市場泡沫微觀結構的多維變量，也沒有通過對多維變量的動態監測，充分利用變量信息來把握市場中泡沫的演變。雖然已有工作中利用LPPL對數周期冪律模型，對中國股票市場自組織臨界性和對數周期冪律進行了實證研究，或者研究價格的上漲是由于市場需求且是投機泡沫等實證，但是都沒有給出合適的統計計量方法，構建合適的統計量來預測泡沫破裂的臨界點。因此本文將考慮對多維變量的動態監測，通過修改LPPL對數周期冪律模型并給出合理且易于計量的方法，獲得把握市場中泡沫的演變過程，并預測泡沫破裂的臨界點，同時，分別使用上證綜指、四個期貨連續合約以及兩支個股檢驗LPPL模型效果及適用性進行實證研究。實證結果表明當金融資產價格序列呈現超指數加速震蕩上升或下降時，該模型能獲得穩定的估計效果，有效預測泡沫破裂臨界時點。充分說明LPPL模型在中國金融市場中的適用性具有一般意義，及獲得動態跟蹤估計LPPL模型的方式所估計出的參數具有穩定性和可靠性，能較為準確的獲得泡沫破裂臨界點等重要結論。

2 模型與估計方法

2.1 對數周期冪律模型(Log Periodic Power Law Model)

Sornette認為，金融市場是復雜系統(complex system)的一種，它與其它統計物理系統一樣具有“自組織”的特點，在趨于臨界點時有發生合作行為的潛在可能。如果將市場崩潰和臨界點相類比，意味著可以用冪律分布來擬合價格或者其對數值。冪律分布是自組織臨界系統在混沌邊緣，即從穩態過渡到混沌態的一個標志特征，利用它可以預測這類系統的相位及相變。它認為，由大量相互作用的成分組成的系統會自然地向自組織臨界態發展；當系統達到這種狀態時，即使是很小的干擾事件也可能引起系統發生一系列災變。而由于交易者之間的相互模仿，并通過正反饋形成集體效應，導致價格非線性振動，近似于對數周期性振動，因而使得市場最終的崩盤得到了市場動力學的解釋，這就是對數周期冪律模型的理論基礎。對數周期冪律模型(Log Periodic Power Law Model)正是這樣一個關于泡沫和崩盤的理性預期模型，該模型的結構如下：

lnp(t)=A

+B(tc-t)m{1+Ccos(ωln(tc-t)-φ)}

(1)

整理得：

lnp(t)=A

+B(tc-t)m+C(tc-t)mcos(ωln(tc-t)-φ)

(2)

(3)

g(t)

(4)

· lnp(t)為t時刻的指數或資產價格的對數；

·tc為泡沫破裂的時間，即市場最有可能發生崩盤的時刻；

·m是冪增長指數，代表了資產價格的加速度；m越小，資產價格上升的速度也就越快，存在泡沫的可能性也就越大；

·ω是泡沫期震蕩的角頻率；ω越大代表振蕩的頻率越大，泡沫崩盤的可能性也越大；0<φ<2π為震蕩的初相位；

·A>0，A為lnp(t)在臨界時間tc時刻的值；

·B<0，說明加速度是向上的，且表示C接近于零的時候lnp(t)在時刻tc之前的單位時間內的增長量；

·C為指數增長的波動振幅的比例因子。

其中公式中的B(tc-t)m刻畫了資產價格由于正反饋機制而出現的超指數特征，而C(tc-t)mcos(ωln(tc-t)-φ)則描述了對數價格的對數周期型振蕩，是對超指數行為的修正。

采用LPPL模型可以找到掩蓋在對數周期規律下的資產價格增長速度高于冪律的證據，現實中這種高速增長是不可持續的，不僅會催生泡沫并且會引發崩盤。在上述模型中，冪律形式代表了正反饋機制的作用，而對數周期規律反映了正反饋、負反饋和惰性機制之間的競爭關系。采用該模型對金融資產的價格時間序列進行擬合可以確定這些參數，并通過比較參數的穩定性和大小來確認資產泡沫并估計泡沫破裂的臨界時間。

2.2 對數周期冪律模型的估計方法

LPPL模型的形式比較復雜，共有7個待估參數 (A,B,C,tc,m,ω,φ)，其中前3個為線性參數，后4個為非線性參數，擬合這么多參數的公式不僅會浪費很多自由度而且會產生很大的擬合誤差。

minQ(A,B,C,tc,m,ω,φ)=

(5)

因此最佳的步驟是將最小二乘目標函數(公式(5))中的線性參數由非線性參數來表達，這樣目標函數就只剩下(tc,m,ω,φ)4個非線性參數了，再進行最小二乘擬合可以提高擬合精度，節約自由度。

基于數據的帶噪特性及擬合函數至少具有4個參數且高度非線性的事實，最小二乘目標函數公式(5)具有多個局部最優解。為了尋找全局最優而不是局部最優，最佳策略是先建立參數的網格，對網格中的每個點，利用Nelder-Mead Simplex搜索過程尋求最優參數。

為了檢驗模型估計方法的有效性，本文以上海綜合指數2007年3月12日為起點，2007年10月10日為終點構建樣本數據，進行了實證研究。為了獲得全局最優解，分別嘗試采用了算法復雜度很高的Nelder-Mead Simplex搜索過程，遺傳算法、模擬退火算法等對模型進行擬合，結果表明，上述方法均能估計出模型中的參數，但上述方法存在的問題是由于模型的待估參數過多，導致估計程序耗時較長，且由于估計程序受初始值影響較大，存多個局部最優解(如圖1所示)，可能還需進行反復多次估計。(使用遺傳算法估計參數，開啟MATLAB并行計算，在6核CPU的服務器配置上，擬合日數據需要大概1～3分鐘，擬合小時數據需要10～20分鐘。)，由于對模型的參數估計及計算中存在較多的挑戰，需要對模型參數推斷進行適當修改。

2.3 LPPL模型的最新改進

對金融時間序列建立LPPL模型最重要的就是最優參數的估計，但非線性優化中的待估參數越多，結果越不穩定，且容易陷入局部求解。因此，通過對原有模型的變形將原模型中的4個非線性參數降低為3個，改寫后的模型如下：

lnp(t)=A+B(tc-t)m+C1(tc-t)mcos(ωln(tc-t))+C2(tc-t)msin(ωln(tc-t))

(6)

模型(6)中的待估參數(A,B,C1,C2,tc,m,ω,φ)，其中前4個為線性參數，后3個為非線性參數，能提高模型估計速度，降低誤差，并獲得全局最優解(如圖2所示)

經過算法上的修改，容易獲得模型參數的估計并提高計算的速度及精確度，并容易獲得泡沫破裂的時間tc估計及預測，為此模型的應用提供了強有力支撐。

圖1 四個非線性參數的最小二乘估計值交叉分布圖(樣本為上證綜合指數)(2007/3/12-2007/10/10)

圖2 三個非線性參數的最小二乘估計值交叉分布圖(樣本為上證綜合指數)(2007/3/12-2007/10/10)

2.4 LPPL模型的適用性及優缺點

國內外股市泡沫研究中形成的另外兩種理論是理性泡沫理論和非理性泡沫理論。理性泡沫理論最主要的貢獻是Blanchard和Weston提出的動態預測模型，理性泡沫理論在此基礎上開始傳播開來，該理論的建立為后來的非理性泡沫理論的提出奠定了基礎。該理論需要滿足三個前提條件，即理性預期、投資者風險中性以及投資者主觀貼現率為正，這與實際的經濟系統不符，現實中很難找到滿足這三個假設條件的市場，因此這三個前提條件過于理想化。

由于理性泡沫理論不能夠很好的應用到現實的投資行為中，因此發展出了非理性泡沫理論，以行為金融理論為基礎探尋泡沫產生的機理。如De Long等人首先提出了噪聲交易模型，這是泡沫理論一個全新的突破，通過一個簡化的迭代模型，描述了具有外生有偏信息稟賦的投資者交易行為，并分析了這些噪聲交易者的生存能力。股市泡沫的產生和膨脹正是由于股市中大量投資者非理性的投資行為造成了噪聲交易以及大量投機套利者的風險規避行為。雖然以行為金融理論為基礎的非理性泡沫模型雖然比理性泡沫模型更加適用于現實經濟環境，解釋了股市中眾多非理性的投資行為，但是卻不能將資產價格泡沫產生演化的機制描述出來，這是非理性泡沫理論的不足之處。

而本文所用的LPPL模型則將以金融物理學為基礎，將基于資產價格離散尺度不變性推導而來的對數周期性冪律理論運用到資產價格泡沫破滅的檢測與分析中來。資產價格泡沫在不斷的累計過程中會產生崩盤的結果，而在趨向崩盤過程中價格的振蕩過程會呈現對數周期性振蕩。LPPL模型很好的描述了這種泡沫產生演化的機制，同時也在前人的研究工作及本文的實證研究分析中得到了很好的印證。但LPPL模型需要估計的參數較多，對算法的要求度較高。本文針對金融時間序列將一維價格波動翻譯成反映市場泡沫微觀結構的多維變量。通過對多維變量的動態監測，并對原LPPL模型中的參數進行簡化，降低了模型的不穩定性，提高了估計的精確度。通過參數的估計值大小，有效地探測出了泡沫破裂的臨界時間點。進一步，通過對模型參數的分析也可以對未來泡沫形成及破裂的臨界時間做出預測，有效地降低風險。

3 實證研究

3.1 對上證綜指泡沫破裂臨界點的識別

Johansen和Sornette曾經指出，泡沫或崩盤的出現必須包含兩個條件：第一，是價格曲線存在突出最高點；第二，過去一段時間價格呈現出趨勢性特征。按照這個標準，中國上證綜指自1993年以來，經歷了兩次比較巨大的泡沫崩盤事件：第一次是上證指數從2005年6月6日的998.2點繼續上漲至2007年10月6124點后開始下跌；第二次是上證指數從2014年3月12日的1974.38漲至2015年6月11日的5178.19隨后迅速下跌至2850.71。

圖3 1993/01/-2016/01上證綜合指數月線圖

為了檢驗基于LPPL模型在中國金融中的有效性，在趨勢泡沫延續了60個交易日后，本文將該段金融時間序列納入LPPL模型的監測范圍，本文采用固定起點的移動終點的方式逐日增加樣本點，進行持續跟蹤并每天輸出模型特征參數，以預測該趨勢的破裂臨界時點。

(1)以上證綜合指數2014年11月17日為觀測樣本的起點，在上漲趨勢延續了60個交易日后2015年2月10日，本文采用LPPL模型，逐日估計該模型的參數至2015年8月24日，模型估計的結果如下：

從模型參數的逐日估計結果來看，在從2014/11/17日起，直至2015/4/23日開始(即從初始樣本期移動46期后開始)，模型估計結果趨于穩定，擬合優度值R2開始上升，模型誤差SSE值保持低位平穩，冪律指數m保持低位，而ω值保持高位，說明泡沫正在產生且振蕩加劇，LPPL模型對該趨勢的擬合較為貼近，同時基于該模型所估計出的泡沫破裂時點tc的值也穩定在2015/5/12-2015/6/5之間，與泡沫破裂的實際時間2015/6/12較為接近，應屬于左側信號。特別地，也注意到在2015/6/12之后，模型的擬合優度直線下降，冪律指數m值上升，說明泡沫已經破裂。

表1 上證綜合指數2014/11/17-2015/2/10起至2015/8/24逐日估計LPPL模型參數值

(2)以上證綜合指數2007/3/12為觀測樣本的起點，在上漲趨勢延續了60個交易日后2007/6/8，本文應用LPPL模型，逐日估計的結果如下：

從模型參數的逐日估計結果來看，在從2007/03/12-2007/07/18日開始(即從初始樣本期移動28期后開始)，模型估計結果趨于穩定，擬合優度值R2大于0.9，模型誤差SSE值保持低位平穩，冪律指數m到達低位，說明泡沫正在產生且振蕩加劇，LPPL模型對該趨勢的擬合度較高。基于該模型所估計出的泡沫破裂時點tc的值在第28-49期都穩定在2007/09/20-2007/10/24之間，與泡沫破裂的實際時間2007/10/17較為接近，應屬于左側信號。同樣的，也注意到在2007/10/17之后，模型的擬合優度直線下降，冪律指數m值上升，模型估計殘差值SSE也增加，說明泡沫已經破裂。

3.2 對期貨市場泡沫破裂臨界點的識別

相比較證券市場，商品期貨市場的波動更為劇烈(圖4)，許多大宗商品自2011年步入下跌通道至2015年，本文將采用與前文相同的方式對商品期貨的泡沫演變及破裂進行估計和預測。

以螺紋鋼近月合約2015/05/05為觀測樣本的起點，在下跌趨勢延續60交易日后2015/07/28日開始，應用LPPL模型，逐日估計的結果如下：

圖4 2000/02/-2016/01 Wind商品指數月線圖

從模型參數的逐日估計結果來看，LPPL模型對商品期貨的下跌趨勢也同樣適用，從初始樣本期移動78期后，模型估計結果趨于穩定，擬合優度值R2逐日遞增，模型誤差SSE值保持低位平穩，LPPL模型對該趨勢的擬合度較高，隨著時間的推進冪律指數m由低轉高，說明下跌速度趨緩?；谠撃Ｐ退烙嫵龅呐菽屏褧r點tc的值在第72-84期都穩定在2015/11/18-2015/12/03之間，與泡沫破裂的實際時間2015/12/02日非常接近，應屬于左側信號。同樣的，也注意到在2015/12/02之后，模型的擬合優度直線下降，冪律指數m值上升，模型估計殘差值SSE也增加，說明泡沫已經破裂。

4 結語

使用對數周期冪律模型，對資產泡沫的崩盤點和負泡沫的反轉點進行預測，分別使用上證綜指、四個期貨連續合約(IF期指、滬銅連一合約、螺紋鋼近月合約、白糖近月合約)以及兩支個股(平安銀行、恒生電子)檢驗模型效果(限于篇幅，在此略去了部分實證結果，如有需要可向本文作者索取)。實證研究表明，采用動態跟蹤估計LPPL模型的方式所估計出的參數具有穩定性和可靠性，能較為準確的獲得泡沫破裂臨界點等參數，該技術方法的應該可以作為其它趨勢策略進出場時的一個補充判斷。

另一方面，必須要強調的是并沒有放之四海而皆準的模型，LPPL模型描述的是市場價格以超過指數的加速不斷震蕩上升或下降的過程，因此只有當市場價格序列符合這種規律時，才能得到較好的預測結果。在實際應用中，應仔細確認并結合模型所估計出來的擬合優度值R2以及對于模型殘差的檢驗，來進一步判定該模型對于樣本序列的適用性和結果的可靠性，從而過濾擬合不佳的時段，減少偏誤。

在本文的研究基礎上，還可以進行更加深入的研究。

第一，優化序列參數估計結果。已有的研究表明，含有泡沫的LPPL模型殘差應為平穩序列，且具有一階自回歸性，同時模型殘差還可能存在ARCH 效應，通過對這些效應的檢驗，可以進一步確認所估計序列中是否存在泡沫。

第二，可以進一步考慮通過對不同時間周期上趨勢序列的估計，尋求基于大小時間周期的一致性交易機會。

第三，可以進一步研究，基于動量或均線等趨勢策略的不同開倉方法，結合LPPL模型作為出場策略，是否存在穩定的獲利機會？