例談“數學歸納法”在物理問題中的應用

陳蒙

摘 要：題目往往要求學生結合已知條件，進行多次過程分析，然后再進行歸納，合理推導，進而得到結論。高考物理題中也數次出現了這樣的情景，在處理多過程問題時，很多情況下可以用數學歸納法來分析解決。

關鍵詞：歸納法；多過程；舉例

“數學歸納法”是一種研究問題的方法，特征一般是從個別的、特殊的現象和規律出發，推出具有一般原理性和普遍適用的結論或規律。數學歸納法對學生邏輯分析能力和數學應用能力有較高的要求。題目往往要求學生結合已知條件，進行多次過程分析，然后再進行歸納，合理推導，進而得到結論。高考物理題中也數次出現了這樣的情景，在處理多過程問題時，很多情況下可以用數學歸納法來分析解決。

在此，通過舉幾個典型例說明這一方法在處理多過程物理問題中的應用。

例1 有一彈性小球讓其從4.9m高處自由落下（不計空氣阻力），已知，小球與水平地面每次碰撞后，由于機械能的損失，速率減小為碰前的7/9，不考慮小球與地面碰撞的時間，求出小球從開始下落一直到運動停止所用的總時間。

解析：小球第一次落地時的速度為：v0=■=■=9.8m/s

第一次下落時間為：t0=■=■=1s

第一次碰后速度為：v1=v0×■

第一次碰后，上升再落回地面時間為：2t1=2v1/g=2×■s

第二次碰后速度為：v2=v1×■=v0×（■）2

第二次碰后，上升再落回地面的時間為：2t2=2v1/g=2×（■）2s

可以推知，第n次碰后，上升再落回地面的時間為：2tn=2vn/g=2×（■）ns

故，所求總時間可以表示：T=t0+2t1+2t2+…+2tn

進而求和可得：T=8s

例2 通過對前兩次過程分析后顯示出來結論的規律，然后通過數學歸納法得出多次后的結論，最后由數列求和，數學思想滲透較多。下面再分析一道多過程的碰撞問題，此題為一道高考原題，體會一下歸納法在處理多過程碰撞問題上的應用：例2.質量為m絕緣球與質量為M=的金屬球并排懸掛在一起，如圖所示。質量關系：M=19m，如果將絕緣球拉到與豎直方向成θ=60°的位置，然后讓其自由釋放，當其擺到最低點后會與金屬球發生碰撞。假設碰撞為彈性碰撞。在最低點周圍分布有一定范圍內的垂直于紙面的磁場。由于磁場阻尼，再次碰撞前金屬球將靜止于最低點。如果讓某次碰撞后，絕緣球偏離豎直方向的小于45°，那么至少需要幾次碰撞才能實現？

解析：假設絕緣球的擺長為L，并且在這里規定向左為速度方向為正方向，第一次碰撞前、后絕緣球的速度為v0、v1，金屬球的速度為：V1。

分析第一次碰撞，根據動量守恒定律列式得到：mv0=MV1-mv1

機械能守恒定律列式得到：■mv02=■MV12+■mv12

解出：v1=■v0，V1=■v0

分析第二次碰撞，同樣道理可以列式：

mv1=MV2-mv2，■mv12=■MV22+■mv22

解得：v2=（■）2v0，V2=（■）2v0

分析第三次碰撞，同理可列式：mv2=MV3-mv3，■mv22=■MV32+■mv32

解出：v3=（■）3v0，V3=（■）3v0，

由此，可以推知，第n次碰撞后，絕緣球的速度為：vn=（■）nv0，而金屬球速度為：Vn=（■）nv0

分析第一次碰前絕緣球的動能可以表示為：E0=■mv02=mgl（1-cosθ0）

第n次碰后絕緣球的動能為：

■=■mvn2=■m（■）2nv02=0.81nE0=mgl（1-cosθ）

整理得到：0.81n=0.586，我們已知：0.813=0.531，0.812=0.656

故可以分析得到結論，經過3次碰撞后滿足題意。

例2對學生的物理邏輯思維要求比較高，而后來的處理用數學歸納法比較巧妙地簡化了思考的難度，為一道典型的歸納法在高考題中的應用。

在處理關于多過程物理問題很多情況需要應用數學歸納法，這需要學生對物理情景準確把握，正確分析，合理推知，最終得出結論。

參考文獻：

[1]鄒鵬.07年高考新題型之“物理條件的相關性”知識的應用[J].高考（理化生），2007.

[2]黃慧.物理過程·對比鑒別·鞏固提高[J].佳木斯教育學院學報，2012.

編輯 高 瓊