結合穩態卡爾曼濾波的永磁同步電機滑模觀測器

莫麗琴

(江蘇海事職業技術學院，南京211170)

0 引言

隨著稀土材料和功率電子的發展，永磁同步電機(以下簡稱PMSM)近年來在工業機器人、電動汽車等新興領域獲得了廣泛的應用［1］。相比于異步電機，PMSM的功率密度更大、效率更高，而且少了轉差之后控制也更加簡單。

PMSM的矢量控制需要獲得準確的轉子位置，而機械位置傳感器存在造價高以及在惡劣環境中無法使用的問題，因此越來越多的學者研究了無位置傳感器控制，采用PMSM的電壓和電流對轉子位置進行估計。無位置傳感器算法可以分為兩類［2－4］，即基頻反電動勢類和高頻注入類。由于高頻注入算法會引入噪聲和損耗，因此實際使用中應用廣泛的還是基頻反電勢類算法，包括滑模觀測器、卡爾曼濾波器和模型參考自適應算法等。其中，滑模觀測器由于魯棒性好、響應快和算法簡單而特別備受關注［5－6］。

滑模觀測器將定子電流和電壓信號作為輸入，實時觀測反電動勢信息，進而得到轉子位置。但傳統滑模觀測器由于滑模面的切換而存在高頻抖振，會在反電動勢中引入高頻噪聲，普通的低通濾波器也難以完全濾除反電動勢信息中的高頻噪聲，嚴重影響了觀測器的精度。對此，有學者采用了鎖相環(以下簡稱PLL)技術來抑制噪聲［7］。將滑模觀測器估計到的反電動勢作為PLL的輸入，利用PLL的低通濾波特性和跟蹤特性，完成轉子位置的準確快速跟蹤。在此基礎上，為了提高PLL的性能，文獻［8］采用改進的分數階PLL，采用分數階PI代替了PLL中的傳統PI，從而在動態上獲得了比傳統PLL更好的跟蹤性能，但分數階PI的實現較困難。

本文針對PMSM的滑模觀測器抖振問題，采用了穩態卡爾曼濾波器(以下簡稱SSEKF)來抑制高頻噪聲。SSEKF是將EKF算法中的卡爾曼增益矩陣視為常數，從而極大地簡化了濾波器的形式［9］，在運算量很小的同時，能達到比PLL更好的性能。實驗結果表明，SSEKF能夠有效減小滑模觀測器的位置估計誤差。

1 PMSM滑模觀測器

滑模觀測器是一種變結構的設計，通過設計合理的滑模切換函數，使得觀測誤差沿著滑模面變化，最后收斂到零。本文將PMSM的定子電壓和電流作為觀測器的輸入，用于觀測反電動勢信息。首先考慮PMSM在兩相靜止坐標系下的數學模型:

式中:uα，uβ，iα，iβ分別是 α，β 軸的定子電壓、定子電流，Ls是定子電感;Rs是定子電阻;ω是轉子轉速;ψf是永磁體磁鏈。

當獲得α，β軸的反電動勢后，可以計算得到轉子位置:

根據滑模理論，以觀測電流與實際電流的誤差構建滑模切換函數:

采用符號函數sign(x)構建滑模觀測器:

由式(2)和式(4)得到電流誤差方程:

當滑模增益K滿足式(6)條件時，式(4)能夠準確估計出反電動勢的值。通常情況下，K取值較大才能滿足條件，因此觀測器會有很大的抖振噪聲。為此，采用低通濾波器對觀測值進行濾波，得到連續的反電動勢信息。為了減小低通濾波器引起的相位滯后，其截止頻率較高。

考慮到由式(4)得到的反電動勢信息中高頻噪聲較大，低通濾波器也難以將其完全濾除，因此有學者將滑模觀測器和PLL結合起來，利用PLL的跟蹤特性和濾波特性獲得更準確的轉子位置信息，其框圖如圖1所示。

圖1 結合PLL的PMSM滑模觀測器

PLL在穩態時有較好的濾波效果，能夠有效消除滑模觀測器的高頻抖振。但是由于PI參數的限制，PLL的帶寬較小，因此動態性能較差，在轉速變化時會產生較大的估計誤差。對此，本文采用穩態卡爾曼濾波器SSEKF來代替PLL。

2 穩態卡爾曼濾波器

考慮如下的電機運動模型:

式中:T是采樣周期;θk是轉子位置;ωk是轉子轉速;wk是零均值的白噪聲。可以看到，式(9)將電機運動形式看成加速度是恒定的。

將滑模觀測到的反電動勢作為觀測相量，即:

將狀態相量選擇xk=［θkωkak］T，就能獲得如下的狀態空間方程:

在建立狀態空間模型之后，狀態相量xk就可以由下面的遞推公式得到:

式中:R1和R2分別是模型誤差和觀測誤差，Hk是h的一階近似，即:

經過式(17)的變換，所有的Hk變成了常數矩陣H，從而Pk+1也成為了時不變的，最終Pk會收斂到一個穩態矩陣 P－，P－可以由Riccati方程求得。此時，卡爾曼增益Kk雖然是時變的，但可以由以下計算得到:

式中:k1，k2，k3是常數。

從而，對于式(15)，有:

將式(20)代入到式(15)中，就可以獲得如下的SSEKF遞推公式:

式(21)的SSEKF算法形式簡便，計算量小，容易實現，但是動態性能卻優于PLL。結合了SSEKF的PMSM滑模觀測器框圖如2所示。

圖2 結合SSEKF的PMSM滑模觀測器

3 仿真和實驗驗證

3．1 SSEKF和PLL的仿真對比

本文在滑模觀測器的基礎上，結合了SSEKF算法用于高頻抖振的抑制。為了表明SSEKF相對于PLL的優越性，本文首先進行仿真驗證。

仿真中，電機處于加速狀態，其運行頻率從10 Hz逐漸增大到40 Hz，此時反電動勢也隨著轉速升高而增大。利用PLL和SSEKF分別解算出轉子位置，其仿真結果如圖3所示。

PLL 的參數設置為kp=0.2，ki=0．02;SSEKF 的參數設置為 k1=0．2，k2=0．02，k3=0．006。可以看到，當反電動勢信息中包含有高頻噪聲時(信噪比SNR=34 dB)，直接用式(8)的arctan函數計算得到的轉子位置中也包含了高頻誤差，其誤差峰峰值約為4°。若采用PLL對反電動勢波形進行處理，則轉子位置結果的誤差會減小，但是在加速過程中會出現估計位置偏離真實位置的情況，PLL的轉子位置估計誤差能達到3°。同時，PLL的轉速估計誤差也達到了80 r/min。當采用SSEKF處理反電動勢信息時，不會出現由于速度變化產生的動態誤差，同時高頻誤差峰峰值減小到2°，SSEKF的轉速估計誤差也一直在零附近波動，誤差約為5 r/min。仿真結果表明，SSEKF能有效削弱高頻抖振帶來的誤差，同時能夠保證不會產生動態誤差。

圖3 SSEKF和PLL對比仿真結果

3．2 SSEKF 實驗結果

為了驗證本文結合SSEKF的PMSM滑模觀測器的性能和優越性，在一臺兩對極隱極型SPMSM上進行了實驗，實驗平臺如圖4所示。電機的參數如表1所示。

圖4 實驗平臺

表1 實驗用PMSM電氣參數

如圖5所示，使用滑模觀測器觀測到的轉子位置作為反饋，進行PMSM的調速控制，負載轉矩維持在0．15 N·m不變，轉速從1500 r/min升到3 000 r/min再降到1500 r/min，編碼器的信號僅用于比較而非閉環反饋。由圖5可以看到，在此過程中，使用結合SSEKF的滑模觀測器位置估計誤差控制在10°以內，即使在高速段誤差也維持在15°以內，此時的轉速誤差約為80 r/min。而如果采用傳統的滑模觀測器，則誤差達到25°，在高速段誤差則更大。因此，實驗結果表明，采用本文的改進滑模觀測器能夠實現PMSM的調速控制，且其觀測性能要優于傳統滑模觀測器。

圖5 實驗結果

4 結語

針對PMSM的無傳感器控制，本文研究了一種結合穩態卡爾曼濾波的滑模觀測器。在傳統滑模觀測器的基礎上，利用SSEKF對反電動勢信息進行濾波處理，從而有效削弱了滑模觀測器的抖振噪聲。由于SSEKF將增益矩陣視為常數，因此具有簡潔的表達形式，便于工程實現。仿真結果表明，在調速過程中SSEKF具有比PLL更小的動態誤差。最終的實驗結果也表明，本文的結合SSEKF的滑模觀測器能夠更準確地獲得轉子位置，能夠完成PMSM的無傳感器調速，由此驗證了算法的可行性和有效性。