從曲線坐標系的建立及其基矢特性的角度看待角速度、向心加速度的物理內涵

摘要：關于“角速度”“向心加速度”的關系、物理內涵及表達向來存在諸多爭論，各類論證普遍存在切入點不夠準確、剖析不夠深刻的問題.以三類常見的坐標系為切入點，通過對基矢進行物理及數學的特性分析，明確了“切向基矢對時間的一階導數是對速度方向變化率的直接描述”，同時指出“角速度是角位置矢量對時間的一階導數，自然坐標系由于不使用質點角坐標，從而天然地沒有角速度這一概念”“向心加速度本質是法向加速度在圓周運動中的習慣表示，不能隨意推廣至極坐標系”“線速度概念來源于自然坐標系，與角速度概念從本源上不是一對共軛物理量，其成對出現僅是一種基于圓周運動特殊性時使用上的習慣沿用”.

關鍵詞：角速度；向心加速度；切向基矢；法向基矢

作者簡介：何健（1980-），男，四川自貢人，碩士，講師，研究方向：大學物理教學、光學理論.

目前各類中學教材在討論圓周運動類問題時，坐標系的選擇使用存在較大問題：沿著已知軌道（圓周）進行速度的分析和分解，確定切向及法向兩個基矢方向，這是目前各類教材處理圓周運動的主流方法，但由此提出的“向心加速度”（本質是“法向加速度”）由于圓周運動的特殊性——力心固定于圓心這一特點，平面極坐標系這一工具被不自覺地同時引入.事實上兩類坐標系也僅在圓周運動時關系重疊，基矢兩兩關聯：法向與徑向相反、切向與橫向重合（如圖1），這便導致極坐標系中建立的“角速度”概念由此混入自然坐標系進而引發一系列反復的爭論[1-5]，這一爭論在由圓周運動推廣到一般曲線類運動時變得激烈，尤其在分析諸如“拋體問題”“勻速直線類問題”等恒力類[4，5]問題時達到頂峰.然而這些爭論過程中，雖然使得“真理越辯越明”，但由于切入點不夠準確，致使剖析未能直達物理本質，且普遍存在概念混亂、表達不夠嚴謹的問題.本文從基本概念的建立出發，牢牢抓住“曲線坐標系的基矢非恒定矢量”這一特性進行分析，指明易混淆的概念及其緣由，并將一些不正確但已成為習慣表達的物理名詞呈現出來，以供參考.

1基本概念的剖析

11運動學概念與曲線坐標系的關系

“位矢”“速度”“加速度”這些是質點運動學基本概念，相互以“對時間的變化率”進行關聯及定義，但“角速度”“線速度”“法向加速度”“切向加速度”“徑向加速度”“角向加速度”“角加速度”等物理量的建立及“線”“角”“法向”等修飾詞的引入實際上都源于坐標系的建立、矢量的分解這一操作的.存在這么多不同的修飾詞則是由于所選擇的坐標系為曲線坐標系，基矢之間并不平權.事實上我們也常常使用直角笛卡爾坐標系，此時各類矢量也會在三個基矢方向進行分解，得到諸如“x方向速度、y方向加速度、z方向位矢”等相應投影結果，但因為對直角笛卡爾坐標系而言，三個維度彼此平權，互相可通過簡單的旋轉操作進行互換，因此并不需要特別地給某個方向的分量取一特殊的名詞進行區分.但對于以運動軌道的切線、法線作為基矢的自然坐標系、以矢徑本身徑向及轉動角向為基矢的平面極坐標系，推廣到三維則為球（或柱）坐標系，首先，基矢之間從數學行為來講不對等、不能互相替換，因此給與一些定語進行描述，以幫助我們清楚地抓住其物理行為的特點就很有必要（事實上我們也確實這么做了）；另外一個要點在于，不同于直角坐標系中的三個基矢“，，”的恒定性（一旦坐標系建立，則與時間、空間都無關），曲線坐標系中的基矢均隨時空改變，因此在求導過程中會衍生出更多的項，導致表達式變得復雜，呈現各個基矢之間的交叉項、干涉項，這也是造成很多物理教師在理解過程中發生混亂的本質原因.

12向心加速度與角速度關系的剖析

由上述分析可見，“法向加速度”是基于坐標系基矢選擇所做的概念建立，表示加速度矢量沿軌道法線方向的分量，“向心加速度”則僅是一個并不嚴格的習慣表達，僅在圓周運動時，具備與“法向加速度”相同的含義.但巧合之處在于此時向心的“心”雖為圓心，卻由于選擇的習慣往往同時成為平面極坐標系的原點，“向心”此時與“徑向”剛好是相反關系，從矢量角度來講僅僅差一個負號，具備互相轉換的條件——這便產生了從自然坐標系向極坐標系進行過渡的可能（圖1）.另一個因素與“角速度”概念有關：角速度是質點角位矢對時間的變化率=ddt，作為一矢量，確定一參考軸（例如通常平面極坐標中所選擇的x軸）后其大小便可表示為角坐標θ，方向則由右手螺旋定則確定（例如平面極坐標中，逆時針旋轉為正向，故其方向為垂直于該平面的方向），此時=θ.但自然坐標系中是沒有采用角度作為基本坐標的，因此在該坐標系中似乎并不天然地存在“角速度”這一概念，然而由于對一任意連續光滑可導的軌道，以平面軌道為例，此軌道形態總可以用函數y=y（x）表達，其每一段微元曲線均可對應某一曲率半徑為1+y′232y″的大圓的一部分圓弧[6]（如圖2），因此在該點附近的曲線運動確實可用對應大圓上的圓周運動進行描述，相應地vρ便常被誤稱為“角速度”了.后面將會分析這里的“角參量”依然存在，但與前述極坐標的情形已經相去甚遠，因此認為 “兩類角速度共存”是造成理解混亂的另一原因.本文所提到的關于前述基本概念所有認知上的錯誤都來源于這一場景：圓周運動中兩類坐標系表述上的等價相關概念任意混用導致對一般曲線運動的分析產生邏輯障礙及物理量選擇的困惑.

2速度方向的變化率在不同坐標系中的具體表示

現在我們嘗試著將“速度方向的變化率”這一抽象的矢量表達借助于三類常見坐標系進行詳細的展開，將相關的易混淆的概念進行剖析并挖掘相互轉換的關系.

21自然坐標系

在自然坐標系中，速度沿軌道切線方向，其矢量描述為：=v[6]，切向基矢便是速度（矢量）方向的唯一描述，故其時間一階導數便描述了速度方向隨時間變化的所有信息.注意到作為基矢，身份依然是矢量，故其對時間導數也必為矢量，因此這一變化率應當有大小和方向的兩重含義.

由圖2可得：

=cosφ+sinφ，=-sinφ+cosφ

·

=dτdt=-sinφ+cosφ=n=vρn，（注：此處及后續均沿用理論力學求導表示符號[6]：=dAdt）

由上述分析便能辨明一些模糊易混的說法，如：“速度方向大小的變化快慢”，這即為切向基矢絕對值對時間的一階導數，顯然由于基矢為單位長度矢量，故=ddtτ=0；“速度方向的變化率”則應當為vρn （或n的形式），包括大小和方向兩部分；“速度方向變化的快慢”則僅指vρ（或）.因此在不引發概念混淆的情況下，用自然坐標系中的“切向基矢與參考軸（水平向x軸）夾角參量（方向為z軸向）給出的角參量φ”定義的“角速度”的大小來描述速度方向的變化快慢很方便的，也似乎是可行的，然而這一做法正折射出目前我們的教材體系中不夠嚴謹之處：按照定義，速度（角速度）是描述質點位置（角位置）矢量隨時間變換情況的物理量，極坐標系中的角參量確實描述了質點的角位置，滿足這一定義要求，但自然坐標系中的方位角φ表達的卻是切向基矢的方向，并不直接與質點位置相關聯，因此將定義為角速度的大小至少在運動學范疇是不正確的.事實上包括質點、質點組動力學，討論角速度、角動量等概念中所對應的“角”均對應極坐標系中的角坐標，與φ唯一的關聯僅存于圓周運動.

為此我們將兩類坐標系中關于角參量對時間變化率的表達式進行對比：

=ddt=dθdt=dθdt=，·=dτdt=n，由此可以很清楚地看到兩者區別：

是速度方向變化率除掉法向基矢的結果·n，而則是角速度矢量的絕對值（平面定軸轉動情形），在一般曲線運動中兩者的物理意義完全不同.因此，我們常常使用的“線速度”“角速度”這一對看似共軛物理量實際從邏輯上講是行不通的，“線速度”的大小實質是“速率”，方向沿切向，這一概念來源于自然坐標系；而“角速度”如前分析，來源于極坐標系，兩者本不應同時出現于同一描述場景，但由于圓周運動中的等價特殊性，學者們還是保留了這一并不合邏輯的習慣表達.因此筆者希望大家在保留這一習慣表達的同時，能從本源上認清上述各類描述方式的實質，再不用糾結于這些細碎問題，反復爭論無休.

22極坐標系

如果一定要使用具備基矢意義的矢量，引入極坐標系，則速度矢量可表為[6]，如圖3所示.

=r+r

=r2+r2rr2+r2+rr2+r2

因此可知rr2+r2+rr2+r2部分即為速度方向在極坐標系中的表示（等價于自然坐標系的），其對時間變化率為：

ddtrr2+r2+rr2+r2=ddt1r2+r2=ddt1r2+r2+1r2+r2

=1r2+r2{[r2-2r22-r34-r2]+[23-r+r23+r2]}

這一非常復雜的表達式，由此可見速度方向矢量的時間變化率對矢徑、角坐標及各自對時間的1、2階導數均有依賴性（因此包括角速度的大小），用此式可在極坐標系中計算一般曲線運動的變化細節.對圓周運動而言，有，均為零這一特點，故上式簡化作：

1r3-r34=-，此時-=，=ω=vρ.而關于直線類運動問題是否存在角速度及速度方向問題的爭論正是混淆了非圓周運動中的與vρ關系，實際上對勻速直線運動例子，應當使用約束式（例如直線平行于x軸時用rsinθ=h）帶入上式進行討論，經過計算可得其速度方向變化率為0.

23直角坐標系

同樣可給出直角坐標系中的表示（此處僅討論平面情形）：

此處箭頭有誤=+=2+22+2+2+2

=2+2+2+2

ddt=2+2-2+2+232

+2+2-2+2+232

上式便是使用速度及加速度的x、y分量形式給出的對于速度方向變化率的表達形式，這一形式既不關聯角速度，也不關聯法向加速度，在具體描述及使用中缺乏實際意義.

3結論與分析

（1）速度方向的時間變化率是一矢量，嚴格表達為：dτdt，采用不同的坐標系可有各類具體形式，其大小表示這一變化的快慢程度，在自然坐標系中可用速率與該點曲率半徑的比值：vρ進行描述，這一表達對應于方位角對時間的變化率，但并非“角速度”.速度方向的時間變化率作為矢量，其方向指明引發該變化的力的方向.

（2）圓周運動具有特殊性，若選擇圓心為極坐標系原點，則極坐標表示與自然坐標表示天然等價，此時方位角對時間的變化率從量值來講等于角坐標對時間變化率，此時使用“角速度”“線速度”進行描述不會引發困難，但僅限于此.

（3） 理解曲線坐標系的基矢性質，把握速度矢量內涵.否則易導致兩類錯誤：①認為速度大小和方向是

相互獨立的兩部分（=v+），從而認為大小和方向的變化率也互相獨立，進而認為切向加速度描述速度大小變化而法向加速度則單獨描述速度方向的變化（=·=+·=τ+n），這類認知實際屬于數學層面的認知錯誤，沒能看清v、兩項是乘積關系，且不同于直角坐標系中的基矢恒定的特征，此處v、均為時間的函數，因此對時間求導過程所得的兩項實際是交叉關聯的：=·=ddtv=+v·，除前面分析的“法向加速度在描述速度方向變化的同時還關聯著速率”這一情形外，速率項的變化率也需保留對方向的說明：.②沒有理解曲線坐標系建立的起始要求和約定，任意分解矢量.如將速度在自然坐標系中按照兩個基矢方向進行分解，得出=τ+n，

=·=·τ+·n=τ+n進而得出“向心加速度是法向速度對時間變化率”這樣的謬論.事實上自然坐標系在建立之初便明確規定其切向基矢與速度的同向性，由此速度矢量在法線方向投影值恒為零.

（4）法向加速度按照定義為n=v·=vvρn，可見其內含上并不僅僅描述速度方向的改變情況（·），其包含的速率項v同時表達了這種速度方向的改變情況與所需維持的速率大小有關.

4啟示

自然坐標系適用于已知質點運行軌道的情形（例如約束體類問題），采用的基矢為法向、切向，基本坐標只有曲線長度（或路程），不直接給出位矢、角位矢，相應地，也不存在“角速度”.平面極坐標適用于含有心力類型的問題（如萬有引力、庫侖力等），采用的基矢為徑向、橫向（或稱“角向”“轉向”），基本坐標為徑向長度、角度，有“角速度”“角向速度”“徑向速度”的概念，但并無“線速度”.使用這些曲線坐標系時，須把握上述特性，明了速度的法向分量為零、位矢的角向分量為零這些特征，具體推算時不能忘記這類基矢隨時間會改變.因此，進行受力分析應用牛頓第二定律時，基于其瞬時性特點，上述坐標系都能直接使用，但對于由時間（及空間）累積效應呈現的動量定理、動能定理等，則無法給出分量方程.

參考文獻：

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