開發課本習題，設計變式題組

摘 要：教材中許多例題、習題具有較高的開發價值，作為教師，在解題教學中不能就題論題，要充分挖掘出例題、習題中蘊含的價值。善于開發教材中的例題、習題（一題多變或引申拓展）應該是教師具備的教學能力之一.

關鍵詞：習題；開發；價值；數學思想

教材中的例題、習題一般都具有典型性、示范性、遷移性，它們或是滲透了某些數學方法，或是體現了某些數學思想，或是提供了某些重要結論.因此，它們具有較高的開發、應用價值.許多中考試題都是由教材例題、習題的直接引用或稍作變形引申而來的.因此教師要深入研究教材中的每一道題目，充分挖掘其潛在的價值.筆者在近幾年初三總復習中糾正了過去就題論題的教法，注意對教材中一些典型例題、習題進行開發、引申、變式，取得了良好的效果，以下就是其中一例.

原題：（北師大版數學九年級上冊第21頁隨堂練習第2題，略有改動）如圖1，在正方形ABCD中，點O為對角線BD上一點，連接OA，OC.你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其中一對進行證眀.

開發1：根據圖1，盡可能多地寫出結論.（把原題改為開放題，使學生對正方形的性質有更完整的認識）

開發2：（讓圖1中的點O動起來）點O在直線BD上運動，連接AO，CO，如圖2，請盡可能多地寫出結論.

結論：△OAB≌△OCB，△OAD≌△OCD，OA=OC.

當點O在正方形內部時，S△AOB+S△COD=S△AOD+S△BOC=12S正方形ABCD.

當點O在正方形外部時，S△AOB+S△BOC-S△AOD-S△COD=S正方形ABCD或S△AOD+S△COD-S△AOB-S△BOC=S正方形ABCD.

結論OA=OC用文字語言敘述就是：正方形對角線所在直線上一點到相對兩個頂點的距離相等.針對此結論，筆者設計了問題1：如圖3，已知E，F分別是正方形ABCD的邊BC，CD上的點，AE，AF分別與對角線BD交于點M，N，若∠EAF=50°，求∠CME+∠CNF.

分析：連接AC，由圖2的結論有AM=CM，AN=CN，所以∠CME=2∠CAM，∠CNF=2∠CAN，于是∠CME+∠CNF=2（∠CAM+∠CAN）=2∠EAF=100°.

開發3：如圖1，在△BCD中（不在△BCD邊上）找一條等于OC的線段，并證明.

思路1：如圖4，在BD上取點E，使DE=OB，連接AE，CE，則CE=OC.（證明略）

思路2：如圖5，過點O作OE⊥BC于點E，OF⊥CD于點F，連接EF，則EF=OC.（證明略）

思路3：如圖6，過點O作OE⊥AO交CD于點E，則OE=OC.

簡證：過點O作OF⊥AD于點F，OG⊥CD于點G，則OF=OG，∠FOG=90°.

又∵∠AOE=90°，∴∠AOF=∠EOG.

又∠AFO=∠EGO=90°，

∴△AOF≌△EOG，∴OE=OA=OC .

針對圖5，筆者又開發出以下題組：

開發4：在圖5中，判斷OA與EF的關系.（OA=EF，OA⊥EF，利用平移法求解）

開發5：在圖5中，若點O在DB的延長線上，其他條件不變，則OA與EF又有何關系？（OA=EF，OA⊥EF）

開發6：在圖5中，求證：OB2+OD2=OA2+OC2=2OA2.反過來，O是正方形ABCD內一點，且OB2+OD2=2OA2，求證：點O一定在對角線BD上.

分析：（1）在圖5中，OE= 22OB，OF= 22OD.

又∵OE2+OF2=EF2，即 22OB2+ 22OD2=EF2，

∴OB2+OD2=2EF2=2OC2=2OA2 =OA2+OC2.

（2）可用旋轉法.

開發7：在圖5中，當點O位于何處時，BD與過點O，E，F的圓相切于點O？（O為BD的中點）

開發8：在圖5中，設正方形的邊長為1，OB=x，當x為何值時，四邊形OECF的面積最大？并求出最大值.

分析：四邊形OECF為矩形，設四邊形OECF的面積為y，

則y=OE·OF= 22x1- 22x=-12x2+ 22x0

當x= 22 時，y最大=14.

開發9：在圖5中，取OD的中點Q，連接AQ，EQ，如圖7，判斷AQ，EQ的關系.（AQ=EQ，AQ⊥EQ）

開發10：在圖5中，過點E作EG⊥OB于G，EH⊥OD于H，如圖8，點O在BD上運動的過程中（O不與B，D重合），四邊形EFHG的面積是否改變？（不變，S四邊形EFHG=14S正方形ABCD）

【點評】上述題組對圖5進行由淺入深的挖掘、拓展，對于克服學生孤立看問題的習慣，拓寬學生解題思路，培養良好的思維品質和創造性思維是十分有益的.

鏈接中考：有幾個省市的中考題就是從圖6引申、開發出來的.

題1：操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q，設A，P兩點間的距離為x.探究：

（1）當點Q在邊CD 上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察到的結論.

（2）當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍.

（3）當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應x的值；如果不可能，試說明理由.

答案：（1）PQ=PB.

（2）y=12x2-2x+10≤x≤22.

（3）△PCQ可能成為等腰三角形.

①當點P與點A重合時，點Q與點D重合，這時PQ=QC，此時x=0.

②當點Q在邊DC的延長線上且CP=CQ時，△PCQ是等腰三角形，此時x=1.

題2：如圖9，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A，C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB.

（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD.

（2）設AP=x， △PBE的面積為y.

①求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

②當x取何值時，y取得最大值？并求出這個最大值.

答案：（1）證PE⊥PD時，要分點E在線段BC上（E與B，C不重合）、點E與點C重合、點E在BC的延長線上三種情形.

（2）①y=-12x2+ 22x0

②當x= 22時，y最大=14 .

題3：如圖10（1），正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PF⊥CD于點F，當點P與點O重合時，顯然有DF=CF.

（1）如圖10（2），若點P在線段AO上（不與A，O重合），PE⊥PB且PE交CD于E.

①求證：DF=EF.

②寫出PC，PA，CE之間的一個等量關系，并證明你的結論.

（2）若點P在線段OC上（不與O，C重合），PE⊥PB且PE交直線CD于點E，請完成圖10（3）并判斷（1）中的結論①②是否分別成立.若不成立，寫出相應的結論（不要求證明）.

答案：（1）①連接PD求證.

②PC-PA= 2CE.

（2）結論①仍成立，結論②不成立，此時PA-PC= 2CE.

【點評】以上幾道中考題的共同點是讓對角線上的點動起來，動靜結合，蘊含了變中有不變的辯證思想.

小結：1.教師可以通過一題多變培養學生思維的靈活性，通過題目的引申、拓展培養學生思維的深刻性，讓學生感受圖形的豐富變化，從而激發學生的好奇心和求知欲，提高學生學習數學的興趣，增強學生解題的信心.

2.對教材中的例題、習題進行變式、引申、拓展是使學生鞏固知識、發展能力、掌握數學思想方法的重要渠道，能使學生的前后知識融會貫通，能達到“做一題，通一類，會一片”的效果，達到既能讓學生跳出“題海”，又能培養學生觀察、猜想、歸納、證明等能力的目的.

3.通過題組教學，使學生理解：（1）中考題的基本原則之一就是源于課本而又高于課本，所以應重視對課本中例題、習題的學習、探討，不能拋開課本而陷于題海之中.（2）聯想是重要的思維方法，遇到問題不僅要聯想已學過的定理，還要善于聯想已學過的例題、習題的結論，這樣就可以簡化思維過程，提高解決問題的能力.（3）復雜問題中往往包含著若干個基本問題，復雜圖形往往包含著基本圖形，因此要善于從復雜問題中分解出基本問題，從復雜圖形中提煉基本圖形，從而使問題（圖形）變得簡單.