有關《平行線的判定》教學引入的思考

北京市學科帶頭人，北京市海淀教師進修學校數學教研員，北京市規劃課題“基于創新能力培養的數學實驗教學研究”負責人，參與多項國家級、市級科研課題研究；北京師范大學訪問學者及高精尖項目外聘專家；國培計劃主講教師；參與北京市九年義務教育數學教材及教參第十七冊編寫工作；《中考數學專項練習》《中考數學實戰演練》主編；多篇論文及課例榮獲國家級、市級一等獎；多篇文章發表在《中學數學教學參考》《中學數學》《中小學數學》等雜志上，部分文章全文轉載在《初中數學教與學》雜志上。梁月梁月，北京市海淀實驗中學教師，榮獲北京市中小學新任教師第二屆“啟航杯”一等獎；多次參與校級公開課，獲得“優秀課堂”榮譽；在學校組織的“青藍工程”活動中，榮獲“優勝獎”。

一、教學背景

《平行線的判定》位于人教版數學教材七年級下冊第五章第二節第二小節的第一課時，是第五章《相交線與平行線》的重點內容，是圖形與幾何領域的基礎知識，更是今后學習其他幾何知識的前提和基礎。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確要求第三學段的學生應該“理解平行線的概念；掌握基本事實；探索并證明平行線的判定定理”。

公理是人們在長期實踐中總結出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據，是不需要證明的真命題。教材中把“公理”換成了“基本事實”，就是把深奧的理論換成一種通俗易懂、大眾化的表達，以便于學生理解及接受。雖然基本事實不需要證明，但可以啟發學生通過大量操作、直觀感受來探索結論的合理性。定理是根據一定事實依據經過推理證實的真命題，并可以進一步作為判斷其他命題真假的依據。圖形的判定討論的是確定某種圖形需要的條件，本節課中的同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補正是確定兩直線平行的條件。

本節課是在學生學習了“三線八角”、平行線、平行公理及推論的基礎上的繼續學習，為后續平行線的性質提供了條件和范式，起著承前啟后的作用，同時為三角形、四邊形甚至高中階段的立體圖形的學習做鋪墊。通過本節課的學習，學生將加深對“角與平行線”的認識，建立空間觀念，發展思維，并能在活動的過程中交流分享探索的成果，體驗成功的樂趣，提高運用數學的能力。

根據以上分析，本節課的教學重點確定為：探索并掌握平行線的判定方法。

二、學情分析

學生已經學習過“三線八角”、平行線的定義，平行公理及推論等基礎知識，具備了過直線外一點作已知直線的平行線的能力，在第四章《幾何圖形初步》的學習中，學生已經對幾何圖形有一定的自主探究能力，但對角的數量關系和直線的位置關系仍不能建立聯系。此外，學生對基本事實、判定等數學術語并不理解，對數學邏輯推理及符號語言的表述有所欠缺，所以處理好基本事實的呈現和定理的得出就成為教學的一個難點。

從年齡特點來看，這個年齡階段的學生好動、好表現，教師抓住學生特點，積極采用形象生動、形式多樣的教學方法激發學生興趣，有利于培養學生創新能力，促進學生個性發展。所以本節課通過動手實踐、動手操作，讓學生積累數學活動經驗，了解數學基本事實。

根據以上分析，本節課的教學難點確定為：探索得到“同位角相等，兩直線平行”。

教學設計

三、教學目標

根據本節課的課型特點，按照課標要求，結合學生已有的認知水平的年齡特征，確定本節課的教學目標如下：

（1）掌握平行線的判定方法，能夠結合圖形說出平行線的三種判定方法，并應用其解決簡單的問題；

（2）通過培養學生“觀察—分析—歸納—概括”的能力，進一步發展推理能力和有條理表達的能力，體驗歸納和轉化的數學思想方法；

（3）通過學生間的交流、探索，激發學生學習數學的熱情和求知欲望，體驗數學活動是充滿探索與創造的過程，感受數學的嚴謹性。

學習重點、難點如下：

（1）重點：探索并掌握平行線的判定方法。

（2）難點：探索得到“同位角相等，兩直線平行”。

四、教學活動

1.課前引入

活動1：什么是平行線？

師生活動：學生回顧平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。教師在黑板上畫兩條直線，讓學生判斷兩直線是否平行。

師追問（1）：怎么判斷兩條直線是平行的？

師生活動：學生立刻想出可以利用平行線的定義來判斷兩直線平行。教師提示學生首先考慮直線的無限延伸性，再利用平行線的定義進行想象、判定，在遙遠的地方是否有交點？學生發現檢驗起來是非常困難的。學生還可以利用平行公理的推論來判定，但很快發現缺少與這兩條直線都平行的第三條直線，也不能用來判斷兩直線平行。即這兩種方法都不好用。

師追問（2）：除了以上兩種方法，是否還有其他的方法呢？

師生活動：教師引導學生思考是否還有其他辦法判斷兩直線平行。

【設計意圖】通過實際問題，學生先回顧上節所學知識，復習平行線的定義的同時，發現無法測定兩直線是否相交，也就不能利用定義來判斷兩直線是否平行。這時，再引導學生考慮平行公理推論，此時教師只需簡單地追問，就讓學生弄清問題未能解決，由此引入新課內容。

2.探究新知

活動2：上節課學習了過直線外一點作已知直線的平行線的畫法，你還記得是怎么畫的嗎？

師生活動：學生很快想到上節課所學的用三角尺平推。畫平行線的步驟是：一“落”（三角尺的一邊落在已知直線上），二“靠”（用直尺緊靠三角尺的另一邊），三“移”（沿直尺移動三角尺，直至落在已知直線上的三角尺的一邊經過已知點），四“畫”（沿三角尺過已知點的邊畫直線）。

師追問（1）：請你思考，在剛才的畫圖過程中，直尺和三角尺分別起了什么作用？

師追問（2）：在剛才的作圖過程中如果沒有直尺可以嗎？

師追問（3）：是不是只要保證了這兩個角相等，這兩條直線就一定是平行的呢？

師生活動：學生與教師回顧用直尺和三角尺畫平行線的過程，思考每一個工具的作用與價值。在平推的過程中，緊靠直尺的三角尺的邊在平移過程中始終在同一條直線上，即直尺相當于截線的作用，三角形的角始終保持不變。

【設計意圖】在動手操作的過程中，學生回想過直線外一點作已知直線的平行線的畫法。教師積極與學生互動，激發學生學習的興趣。分析操作過程中使用的每一個工具的作用，使學生思考在畫平行線的過程中每一個工具的必要性。

活動3：請各位同學用上節課使用過的工具（任意三角形）來畫“過直線外一點作已知直線的平行線”。

師追問：畫平行線與角的大小有關系嗎？

師生活動：學生動手畫平行線，并互相展示。學生動手操作過程中，教師提示學生直線的無限延伸性，并引導學生觀察畫平行線與角的大小無關。

【設計意圖】通過經歷不同的操作，讓學生體會幾何的基本事實，引領學生觀察操作結果，豐富學生的操作經驗。

活動4：如圖，請學生思考平移前后的角是什么位置關系。

師追問（1）：能否通過兩個角的數量關系找出兩直線的位置關系？你的猜想是什么？

師追問（2）：你能將手中的模型抽象成幾何圖形，并結合圖形用符號語言表述兩直線平行嗎？

師生活動：師生共同總結兩直線平行的判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。教師引導學生將圖形語言轉化為文字語言，進而轉化為符號語言。

活動5：我們再做一個數學實驗，一起來驗證我們的猜想吧！

教師活動：教師通過幾何畫板展示同位角的數量發生變化時的各種情況，學生描述兩直線的位置關系。

【設計意圖】培養學生的猜想和歸納總結的能力。引導學生將角度的數量關系和兩直線的位置關系建立聯系。多媒體的運用，不僅可以輔助教學，激活課堂，更可以突破難點，提高學習效益。

活動6：兩條直線被第三條直線所截，除了得到同位角，還有內錯角和同旁內角。由同位角相等，可以判定兩條直線平行，那么能否利用內錯角、同旁內角判定兩條直線平行？你們有何猜想？

師生活動1：學生小組討論，得到“內錯角相等，兩直線平行”的猜想，用數學語言描述問題并回答，教師規范板書。教師與學生共同合作完成判定方法2的簡單推理過程。

【設計意圖】培養學生的邏輯推理能力，學會將圖形語言、文字語言和符號語言互相轉化。

師生活動2：學生小組討論后，提出“同旁內角相等，兩直線平行”的猜想，此時教師鼓勵學生證明自己的猜想，當學生發現行不通時，教師引導學生重新建立角的數量關系和兩直線的位置關系的聯系。

師追問：如果同旁內角相等，兩直線有可能平行嗎？

師生活動：學生思考并回答，當截線分別垂直于兩條直線時，此時同旁內角相等，這兩條直線平行。

【設計意圖】學生獨立思考，自主探索出判定方法2和3，培養學生的簡單推理和歸納總結能力。教師鼓勵學生大膽猜想，學會由未知轉化為已知或已解決問題的方法。

3.課堂總結

（1）通過什么方法得到第一種判定方法？

（2）到目前為止，你學到了幾種判定兩條直線平行的方法？

（3）三種判定方法之間有什么樣的關系？

【設計意圖】借助第三條直線研究兩直線平行的判定方法，將角之間的關系轉化為兩直線之間的平行關系。引導學生對已有的過程操作進行反思，培養了學生的邏輯推理能力和歸納總結能力。

五、教學特色

本節課的最大特點是依據《義務教育數學課程標準（2011年版）》的要求，立足于學生的認知水平來確定適當的學習目標。

通過認真研讀、充分利用教材，設置了遞進關系的問題鏈。基于對基本事實的理解，對操作的分解、分析，將本節課的教學活動分為兩個層次。第一個層次：判定方法1的學習是通過動手實踐，積累活動經驗來歸納基本事實，并將動手操作的過程用數學語言表達出來。第二個層次：由判定方法1通過簡單推理得到判定方法2。當學生提出“同旁內角相等，兩直線平行”的錯誤猜想時，教師并不是一帶而過，此時鼓勵學生大膽證明自己的猜想，當學生發現行不通時，教師引導學生重新建立角的數量關系和兩直線的位置關系的聯系，遵循啟發、引導、探究的原則，培養學生探究的好習慣。

內容安排從動手操作“畫平行線”出發，確定每一個使用工具的作用，做到步步有據，進而用兩個角之間的數量關系刻畫兩直線位置的關系，再到平行線的三個判定方法的猜想、探索、證明和運用，逐步展示知識形成的過程，使學生對“判定”有初步的認識，思維層層遞進。

六、教學反思

《平行線的判定》是圖形與幾何領域的基礎知識，更是今后學習其他幾何知識的前提和基礎。探索結論的合理性便成為本節課的重點內容，那么如何設計課堂的引入才能使學生理解判定方法1也就成為本節課的教學難點。

在進行教學設計時，筆者開始時準備了課上用的學具：紙板、硬紙條、工字釘，將兩個硬紙條a，c交叉固定，旋轉紙條b，提問：將紙條b旋轉至什么情況時，紙條a與紙條b是平行的？學生通過觀察、猜想，很快利用測量的方法就得到了：當硬紙條a與硬紙條c的夾角和硬紙條b與硬紙條c的同側夾角相等時，紙條a與b是平行的。再根據上節所學“三線八角”的知識，可以判斷出“同位角相等，兩直線平行”。

專家提出一個問題：這個環節有必要嗎？如果沒有這個學具行不行？思考良久，筆者設計的初衷并不是為了設計而設計，這個年齡階段的學生好動、好表現，抓住學生特點，積極采用形象生動、形式多樣的教學方法激發學生興趣，有利于培養學生創新能力。正是抓住了這個特點，筆者才讓學生們動手操作，一是鍛煉學生們的動手操作能力，二是為了讓學生體會兩條直線平行的第一種判定方法的合理性。但筆者經過慎重思考后發現，要利用已有的知識——平推三角尺來確定紙條a與紙條b是平行的也是沒問題的，但紙板比較粗糙，而且紙條的一端或者兩端被固定，在學生操作的過程中誤差非常大，所以最后決定取消這個環節，改用一個操作起來比較方便的方法引入。

借鑒于第一種思路，筆者采取了誤差比較小的幾何畫板。在幾何畫板上畫出直線AB，CD，EF，直線AB和直線EF的夾角固定，拖動直線CD的另一端進行旋轉，當直線CD旋轉至什么情況時，直線AB與直線CD是平行的？學生們通過觀察、旋轉，可以得到：當直線AB，EF的夾角和直線CD，EF的同側夾角相等時，直線AB與直線CD是平行的。但這個很快又被否定了，這種方案容易使學生混淆兩直線平行的判定和性質。

而兩直線平行的判定方法是初中階段學生們接觸的第一個判定方法，所以這節課對于學生的意義很重大。筆者認真研讀了教材和課程標準，重新確立了本節課的難點：兩直線平行的判定方法1的呈現。判定方法1是基本事實，而基本事實并不需要證明，是人們在長期實踐中總結出來的。既然不需要證明，那怎么才能讓學生去接受并理解呢？這是專家再次提出的問題，不需要證明的基本事實如何讓學生理解呢？通過上網查資料得知，教材中把“公理”換成了“基本事實”，就是把深奧的理論換成一種通俗易懂、大眾化的表達，以便于學生接受并理解。雖然基本事實不需要證明，但教師在教學中可以啟發學生通過大量操作、直觀感受來探索結論的合理性。于是設計一個即可以讓學生可以動手操作，又可以讓學生容易理解的方法：利用小學已有的平行線的畫法經驗，使學生利用直尺和三角尺進行平推，為使學生充分感受基本事實，讓學生利用三角尺的各個角進行平推。

這個引入得到了各位老師的認可，但是并沒有做到“大量”，三角尺有30°，45°，60°，90°角，對于這些特殊的角成立，那么非特殊的角也同樣成立嗎？基于此，筆者將引入環節又更改為讓學生任意制作一個三角形，利用三角形的任意一個角進行平推，小組再合作交流，互相展示，這樣就做到了“大量”。而這個三角形的角就是起到了“一個角”的作用，實際上也可以通過量角器來完成，但是由量角器、直尺與三角尺三個工具放在一起，學生們并不好實際操作。

當教學設計的引入環節完成后，專家又給出了全面的分析，這才使筆者意識到，這并不是一節獨立的課。概念課、命題課等都是有各自的教法的，對此，筆者好像突然明白了自己在講什么，學生在學什么。本節課是命題課教學，探究的主要內容是兩直線平行的三種判定方法，它們分別從同位角、內錯角和同旁內角的角度說明兩直線平行。

最后一步工作是完善，本節課開篇用畫“過直線外一點作已知直線的平行線”引入，分析作圖過程中使用的每一個工具的作用進行展開，探索出“同位角相等，兩直線平行”的判定方法，通過簡單推理得到兩直線平行的判定方法2和3。學生可能還提出“同旁內角相等”的猜想，此時教師鼓勵學生大膽證明自己的猜想，當學生發現行不通時，教師引導學生重新建立角的數量關系和兩直線的位置關系的聯系，使學生自主探索出判定方法3。

通過本節課的講授，筆者發現教學中還存在一些問題，比如：在鞏固新知環節中，學生不能有意識地將圖形語言、文字語言轉化成符號語言。原因可能是本節課是學習簡單推理的開端，學生還沒有形成將三種語言互相轉化的意識，沒有養成說理的習慣。所以在后面的教學中，筆者需要加強這方面的引導。

以上是筆者在《平行線的判定》這節課當中的一點體會，作為青年教師，如果能夠對數學教學的每一節課都進行如此細致的研究，用心為后續的教學做鋪墊，設計學生喜歡的教學環節，那么學生一定可以養成良好的學科素養，對數學也更加感興趣。