一階常微分方程的初等解法

摘要：常微分方程屬于數(shù)學(xué)分析的一部分，是數(shù)學(xué)中與應(yīng)用密切相關(guān)的基礎(chǔ)學(xué)科，其自身也在不斷發(fā)展中，學(xué)好常微分方程基本理論和實際應(yīng)用均非常重要。因此本文對一階常微分方程的初等解法進(jìn)行了簡要的分析，同+時結(jié)合例題，演示了初等解法在解題過程中的應(yīng)用。

一、一階常微分方程的幾種常見解法

（1）分離變量法。形如，的方程，稱為變量分離方程，，分別是，的連續(xù)函數(shù).這是一類最簡單的一階函數(shù)。

如果，我們可將改寫成，這樣，變量就分離開來了。兩邊積分，得到.這里我們把積分常數(shù)明確寫出來，而把， 分別理解為，的原函數(shù).常數(shù)的取值必須保證有意義，如無特別聲明，以后也做這樣理解。

因式不適合情形.但是如果存在使，則直接驗證知也是的解.因此，還必須尋求的解，當(dāng)不包括在方程的通解中時，必須補上特解

齊次方程是可分離的變量，分離變量后得，兩邊積分得"，

（2）齊次微分方程。形如，的方程，稱為奇次微分方程，這里是的連續(xù)函數(shù).作變量變換，即于是。代入原方程可得，整理后，得到。因是一個變量分離方程.則可依照變量分離方法求解，然后代回原來的變量，即可獲到原方程的解。

（3）常數(shù)變易法。①一階線性微分方程其中在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù)，如果，方程變?yōu)榉Q其為一階齊次線性微分方程，如果稱其為一階非齊次線性微分方程。變易分離方程，易求得它的通解為這里是任意常數(shù)。②非齊次線性方程的通解

不難看出，是它的特殊情形，兩者既有聯(lián)系又有差別，因此可以設(shè)想它們的解也應(yīng)該有一定的聯(lián)系而又有差別，現(xiàn)試圖利用方程的通解的形式去求出方程的通解，顯然，如果方程中恒保持為常數(shù)，它們不可能是的解.可以設(shè)想在中將常數(shù)變易為的待定函數(shù)，使它滿足方程，從而求出為此，令兩邊同時微分，得到代入原方程，得到即

兩邊同時積分，得到

這里是任意常數(shù)，求得到就是方程的通解.

三、小結(jié)

由于常微分方程在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有著重要作用，所以無論是教師、學(xué)校還是社會都非常重視培養(yǎng)學(xué)生的一階常微分方程的解法.本文旨在系統(tǒng)梳理常微分方程的初等解法，為學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程奠定基礎(chǔ)。