行程問題中的圖象信息題處理技巧

圖象是進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要語言，以行程問題為載體構(gòu)建的數(shù)學(xué)題稱為行程問題中的圖象信息題.解決此類問題第一要靠敏銳觀察，捕捉信息；第二要靠有效思維，整合信息.現(xiàn)舉例說明如下：

例1：甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行登山比賽，圖中表示甲同學(xué)和乙同學(xué)沿相同的路線同時(shí)從山腳出發(fā)到達(dá)山頂過程中，各自行進(jìn)的路程隨時(shí)間變化的圖象，根據(jù)圖象中的有關(guān)數(shù)據(jù)回答下列問題：①分別求出表示甲、乙兩同學(xué)登山過程中路程s （千米）與時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)解析式；（不要求寫出自變量t的取值范圍）。②當(dāng)甲到達(dá)山頂時(shí)，乙行進(jìn)到山路上的某點(diǎn)A處，求A點(diǎn)距山頂?shù)木嚯x；③在（2）的條件下，設(shè)乙同學(xué)從A處繼續(xù)登山，甲同學(xué)到達(dá)山頂后休息1小時(shí)，沿原路下山，在點(diǎn)B處與乙相遇，此時(shí)點(diǎn)B與山頂距離為1.5千米，相遇后甲、乙各自按原來的路線下山和上山，求乙到達(dá)山頂時(shí)，甲離山腳的距離是多少千米？

分析：①由圖可知，甲、乙兩同學(xué)登山過程中路程s與時(shí)間t都成正比例函數(shù)，分別設(shè)為S甲=k1t，S乙=k2t，用待定系數(shù)法可求解。②由圖可知，甲到達(dá)山頂時(shí)路程為12千米，即山腳到山頂?shù)木嚯x為12千米，代入S甲可求得所花的時(shí)間，再把時(shí)間代入S乙即可求得A點(diǎn)離山腳的距離，則A點(diǎn)與山頂?shù)木嚯x可求。③由圖象知：甲到達(dá)山頂并休息1小時(shí)后點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，12），點(diǎn)B的坐標(biāo)也可求，則線段DF所在直線的一次函數(shù)表達(dá)式可求，而乙到達(dá)山頂?shù)臅r(shí)間可求，則題目可求解。

解：①解析式分別為： ；②甲到達(dá)山頂時(shí)，由圖象可知，當(dāng) 時(shí)，有 ， ，12-8=4（km）。答：當(dāng)甲到達(dá)山頂時(shí)，乙距山頂?shù)木嚯x為4（km）。③由圖象知：甲到達(dá)山頂并休息1小時(shí)后點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，12）由題意得，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為12-1.5=10.5，代入 設(shè)過B、D兩點(diǎn)的直線解析式為 ，由題意得： 解得： ，∴直線BD的解析式為： ，當(dāng)乙到達(dá)山頂時(shí)，得t=6，把t=6代入 中，得s=6（km）。答：乙到達(dá)山頂時(shí)，甲距山腳6千米。

點(diǎn)評(píng)：本題意在考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)關(guān)系式，并利用關(guān)系式求值的運(yùn)算技能和從圖象中提取信息的能力，是道綜合性較強(qiáng)的代數(shù)應(yīng)用題，有一定的能力要求。

例2：一輛快車從甲地駛往乙地，一輛慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，勻速行駛.設(shè)行駛的時(shí)間為x（時(shí)），兩車之間的距離為y（千米），圖中的折線表示從兩車出發(fā)至快車到達(dá)乙地過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系。①根據(jù)圖中信息，求線段AB所在直線的函數(shù)解析式和甲乙兩地之間的距離；②已知兩車相遇時(shí)快車比慢車多行駛40千米，若快車從甲地到達(dá)乙地所需時(shí)間為t時(shí)，求t的值；③若快車到達(dá)乙地后立刻返回甲地，慢車到達(dá)甲地后停止行駛，請(qǐng)你在圖中畫出快車從乙地返回到甲地過程中y關(guān)于 x 的函數(shù)的大致圖像。

分析：整個(gè)行駛過程有4個(gè)階段：①快車與慢車相遇，圖中的點(diǎn)B；②快車到達(dá)乙地，圖中的點(diǎn)C；③快車返回時(shí)，慢車到達(dá)甲地，要確定的點(diǎn)D；④慢車停下后，快車到達(dá)甲地，要確定的點(diǎn)E。分別求出這4個(gè)階段中行駛的時(shí)間和兩車之間的距離，從而確定出B、C、D、E各點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出圖形。

解：① ；②設(shè)快車的速度為m km/h，慢車的速度為n km/h，由題意得： 解得： ，∴快車從甲地到達(dá)乙地所需時(shí)間為： ，快車到達(dá)乙地時(shí)，兩車相距的距離為：（3.5-2）×（80+60）=210，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（210，3.5）此時(shí)慢車還沒有到達(dá)甲地，若要到達(dá)甲地，整個(gè)過程慢車所用時(shí)間為： ，當(dāng)慢車到達(dá)甲地時(shí)，此時(shí)快車已經(jīng)駛往甲地的時(shí)間為： ，此時(shí)距甲地 ，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為 再一直行駛到甲地用時(shí)3.5×2=7（h），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7，0），故圖象如圖所示。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，用函數(shù)解決實(shí)際問題，作圖時(shí)應(yīng)該仔細(xì)。

總之，在處理圖像信息題時(shí)，要達(dá)到“眼里看著圖象，腦里放著‘電影'，心里做著思考，手里忙著運(yùn)算”，完成圖象與生活（或其他數(shù)學(xué)）情境的互釋。下面兩題供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考。

例3：在一條直線上依次有A、B、C三個(gè)港口，甲、乙兩船同時(shí)分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終達(dá)到C港.設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為y1、y2（km），y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示。①填空：A、C兩港口間的距離為 km，a= ；②求圖中點(diǎn)P的坐標(biāo)，并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義；③若兩船的距離不超過10km時(shí)能夠相互望見，求甲、乙兩船可以相互望見時(shí)x的取值范圍。

例4：一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為x（h），兩車之間的距離為y（km），圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：信息讀取：①甲、乙兩地之間的距離為km；②請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義；圖象理解：③求慢車和快車的速度；④求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；問題解決：⑤若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同.在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇.求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時(shí)？