導向深度學習的數(shù)學教學目標設(shè)計
——以“函數(shù)的單調(diào)性”為例

謝發(fā)超

（成都市玉林中學，四川 成都 610041）

一、問題的提出

當前，數(shù)學學科核心素養(yǎng)培育是數(shù)學教育界十分關(guān)注的重大問題。作為數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，數(shù)學學科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)。強調(diào)數(shù)學核心素養(yǎng)培育，實際上就是強調(diào)數(shù)學學習的內(nèi)涵、品質(zhì)和質(zhì)量的提升，而要提高學生的學習質(zhì)量，就要提升學生對數(shù)學本質(zhì)的理解能力，促進其知識的持續(xù)建構(gòu)能力，發(fā)展其解決實際問題的應(yīng)用能力，也就是要進行深度學習。

作為教學中師生預期達到的學習結(jié)果和標準，教學目標具有導向、激勵、評價和聚合功能，它既是對教師的教，也是對學生的學在達成度上的質(zhì)與量的規(guī)定性。[1]促進學生深度學習的數(shù)學課堂教學需要精心設(shè)置凸顯深度學習要求的教學目標，作為教學價值、活動與評價的導向。

二、導向深度學習的教學目標要求

高中數(shù)學課程以學生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)。[2]但是僅僅通過淺層學習無法實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的培育。與淺層學習相對，深度學習是在理解學習的基礎(chǔ)上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并把它們?nèi)谌朐械恼J知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進行聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延械闹R遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學習。[3]作為一種學習方式，學科教學視域下的深度學習具有高階思維、學科本質(zhì)、意義建構(gòu)和問題解決等內(nèi)涵特征。只有通過深度學習不斷提高學習質(zhì)量，才可以在數(shù)學核心素養(yǎng)的培育方面獲得進展。

深度學習需要確立深度教學目標。它是能夠建立適合學生的知識結(jié)構(gòu)，提高學生批判、運用能力，促進學生素養(yǎng)養(yǎng)成的教學目標。由于深度學習意味著理解與批判、聯(lián)系與結(jié)構(gòu)、遷移與應(yīng)用，根據(jù)布盧姆教育目標分類學（安德森等修訂），記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價和創(chuàng)造等六個水平中，機械記憶、淺層理解是屬于淺層學習的范疇，而應(yīng)用、分析、評價和創(chuàng)造則屬于較高認知水平的深度學習。深度學習與淺層學習在認知目標維度對應(yīng)關(guān)系，參見表1。

這就要求導向深度學習的目標設(shè)計需要關(guān)切以下幾個方面：一是價值維度上指向高階思維；二是內(nèi)容維度上聚焦學科本質(zhì)；三是在方法維度上強化問題解決；四是在評價維度上凸顯實踐創(chuàng)新。如此，方能兼顧三維目標，導向深度學習，聚焦核心素養(yǎng)的培育。

表1 深度學習目標與布盧姆目標分類學認知水平對應(yīng)關(guān)系[4]

三、導向深度學習的數(shù)學教學目標設(shè)計

數(shù)學教學目標所要表達的就是“誰來做？做什么？怎么做？在什么條件下做？做到什么程度？”，也即是包括目標的主體、目標的客體、達成目標的方式、實現(xiàn)目標的條件、目標的落實程度五個方面。[5]以下結(jié)合高中數(shù)學必修一“函數(shù)的單調(diào)性”教學內(nèi)容，具體闡明如何設(shè)計符合要求的數(shù)學教學目標。

（一）前端：做好三個深度分析

1.深度分析課程標準

數(shù)學課程標準詳細闡述了中學數(shù)學課程的性質(zhì)與基本理念、學科核心素養(yǎng)與課程目標、課程實施建議等，它是教材編寫、數(shù)學教學和考試評價的依據(jù)，也是教師確定課堂教學目標的上位準則，總的數(shù)學教學目標與下屬的數(shù)學教學目標的關(guān)系是自上而下的分解過程，是一個不斷細化、具體化的過程。因此，對數(shù)學課程標準的深度解讀，有利于教師整體把握數(shù)學學科學習的總體目標，并引導教師從思考自身“教什么”“教到什么程度”向思考學生“學什么”“學到什么程度”轉(zhuǎn)變。

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》在必修階段和選修階段對函數(shù)的單調(diào)性內(nèi)容的學習提出了具體要求，參見表2。

同時，在教學提示中明確提出，“函數(shù)單調(diào)性的教學，要引導學生正確使用符號語言清晰的刻畫函數(shù)的性質(zhì)”，在學業(yè)要求中明確提出“重點提升數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)”。

由此觀之，數(shù)學課程標準決定了本節(jié)課教學目標的宏觀要求：從數(shù)學學科素養(yǎng)層面，要關(guān)切數(shù)學抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學運算素養(yǎng)等；在數(shù)學思想方法層面，要關(guān)切數(shù)形結(jié)合思想、模型化思想、特殊與一般思想等。

2.深度分析教材內(nèi)容

數(shù)學教材是數(shù)學教學內(nèi)容的基本依據(jù)，但教師不是用教材去教學生學習教材，而是用教材教學生學習數(shù)學，因而數(shù)學教材只是數(shù)學教與學的一種素材和資源，是一種有待教師去解讀的文本。其深度分析的關(guān)鍵在于對數(shù)學學科本質(zhì)的把握，包含把握數(shù)學知識的產(chǎn)生與來源、數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、數(shù)學知識的價值與意義等。為此，教師可以從“知識的類型”“知識的水平”和“知識的意義”三個維度對數(shù)學教材內(nèi)容進行解讀。“知識的類型”是指從知識維度對學習內(nèi)容所對應(yīng)的知識類型進行劃分；“知識的水平”是指從對不同類型的知識應(yīng)達到的學習水平層次進行分析；“知識的意義”是指從學生未來發(fā)展的維度對學習內(nèi)容的價值進行分析并進行取舍。

表2 函數(shù)單調(diào)性在《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》的學習要求[6]

從教材知識編排的角度講，中學階段對于函數(shù)單調(diào)性的學習共分為三個階段。第一階段是在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像后對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念；第三階段則是在高三以導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性。因此，本節(jié)課的知識，既是初中學習的延續(xù)和深化，又為高三的學習奠定基礎(chǔ)。

從知識學習的方法角度講，函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中第一個用數(shù)學符號語言來刻畫的概念。函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、周期性等一樣，都是研究自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)律；學生對這些概念的認識，都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和抽象定義三個階段，都經(jīng)歷了圖形語言、文字語言、符號語言之間的相互轉(zhuǎn)化，都經(jīng)歷了用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結(jié)果的過程。因此，函數(shù)單調(diào)性的學習為進一步學習函數(shù)的其他性質(zhì)提供了方法和依據(jù)。

從培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的角度講，在函數(shù)單調(diào)性概念的形成過程中，學生經(jīng)歷由具體到抽象的過程，經(jīng)歷三種語言的轉(zhuǎn)化，有利于數(shù)學抽象素養(yǎng)的培育。在把握函數(shù)單調(diào)性定義時，體會全稱量詞、存在量詞等邏輯用語的作用，有利于邏輯推理素養(yǎng)的培育。在函數(shù)單調(diào)性的證明過程中，可以發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng)。

由此觀之，本節(jié)課的教學目標不僅僅是要求學生掌握函數(shù)的單調(diào)性這一陳述性知識，更重要的是要主動參與這一概念的形成過程，知道為什么要研究這樣的性質(zhì)，如何研究這樣的性質(zhì)，這一性質(zhì)的研究對類似性質(zhì)的研究有什么借鑒意義。如此，方能獲得有助于數(shù)學素養(yǎng)形成的方法論意義上的數(shù)學知識。也只有基于這樣的認識，確立的教學目標才是有深度的。

3.深度分析學生

深度學習的教學目標最終指向?qū)W生的深度變化，這是衡量教學預期目標是否實現(xiàn)最為重要的標準。因此，導向深度學習的教學目標設(shè)計需要最大程度地走入學生的真實世界。這需要從三個方面進行深度分析：一是學生的前理解分析，深度分析學生的知識水平、學習能力、活動經(jīng)驗等，從中確定學生學習的關(guān)節(jié)點和困難處；二是學生的內(nèi)源性分析，深度分析學生的學習興趣、學習態(tài)度、學習習慣等，從中確定學生學習興趣的引發(fā)處、情感的共鳴處與思維的迸發(fā)處；三是學生的趨向性分析，深度分析學生可能發(fā)生的狀況與可能的發(fā)展，從中確定學生認知發(fā)展的層次序列。[7]

作為高一的學生，通過前面函數(shù)概念和初中常見初等函數(shù)的學習，學生已經(jīng)基本了解了映射觀念下的函數(shù)及其三要素，但對于函數(shù)有一些什么樣的性質(zhì)，只有一些感性的、模糊的認識，還沒有涉及嚴格的數(shù)學意義上的探討，這是學生學習的現(xiàn)實基礎(chǔ)。學生通過初中一些常見初等函數(shù)的學習，能夠感受函數(shù)圖像的變化趨勢，這說明學生具有了探究函數(shù)單調(diào)性的條件。但對于一般的數(shù)學意義上的描述，是學生所不能的，也是迫切需要知道的。因此，認識函數(shù)的單調(diào)性這一核心任務(wù)就正處于學生心理的最近發(fā)展區(qū)，這是學生學習的心理基礎(chǔ)。

由此觀之，基于學生對函數(shù)性質(zhì)的探究欲望，本節(jié)課的教學目標要體現(xiàn)通過對函數(shù)單調(diào)性概念的探究活動，培養(yǎng)學生合作交流的意識和大膽猜想、樂于探究的良好品質(zhì)。基于學生具有一定的推理能力，本節(jié)課的教學目標要體現(xiàn)學生對概念生成過程的深度參與，充分經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認識函數(shù)單調(diào)性的過程。基于學生數(shù)學語言表達的難點，本節(jié)課的教學目標要體現(xiàn)對觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力等高階思維能力的培養(yǎng)。

（二）中端：注意科學陳述與適度調(diào)整

經(jīng)過前述三個方面的深度分析，我們對于本節(jié)課課堂教學目標的主體、目標的客體、目標的落實程度等已經(jīng)有了初步的認識，但還需要將這些粗淺的、分散的教學目標科學地整合到一起，用恰當?shù)姆绞奖磉_出來，并做逐步調(diào)整，才能使確定的目標有效地導引學生深度學習。

1.教學目標的初步建構(gòu)

經(jīng)過前述認識，確定本節(jié)課需要達到以下一些教學目標：

（1）能從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念。

（2）初步掌握函數(shù)單調(diào)性的證明方法。

（3）經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認識函數(shù)單調(diào)性的過程。

（4）通過對函數(shù)單調(diào)性概念的探究，培養(yǎng)自己觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力。

（5）通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高自己代數(shù)推理論證能力。

（6）通過對函數(shù)單調(diào)性概念的探究，培養(yǎng)合作交流的意識和大膽猜想、樂于探究的良好品質(zhì)。

2.認知過程的深度分析

顯然，上述教學目標本質(zhì)上是以“三維目標”的方式進行表述的，未能充分體現(xiàn)學生達成該目標所應(yīng)有的條件與方式，故顯得比較空泛，無法真正導引學生的深度學習。而導向深度學習的教學目標是基于前述三個深度分析，將教學內(nèi)容逐步分解在教學過程中的，是一個根據(jù)教學實際情況逐步實現(xiàn)深度學習的過程。因此，需要對學生的認知過程進行剖析，才能尋找到達成目標的方式和實現(xiàn)目標的條件。

在高一階段，學生將在初中經(jīng)驗感知的基礎(chǔ)上，通過圖形化理解（即學生通過函數(shù)圖像來判斷單調(diào)性）、關(guān)系化理解（即通過自變量和因變量的關(guān)系來理解單調(diào)性）、離散化理解（即將兩個變量的整體關(guān)系離散為任意兩個點對應(yīng)變量的關(guān)系來理解）三個層次來理解函數(shù)單調(diào)性的概念。具體而言，需要經(jīng)歷“感知”“想象”“概括”“固化”“應(yīng)用”“結(jié)構(gòu)”六個環(huán)節(jié)。[8]

通過這樣的深度分析，教師不僅再次梳理自己初步預設(shè)的教學目標是否準確、合理，還能思考教學目標達成是否有可落實的具體活動，是否具有促進目標達成的條件支持，避免教學目標實際達成過程中的虛設(shè)或落空。唯有如此，才能有效地導向深度學習。

3.教學目標的精細加工

至此，經(jīng)過前述工作，對目標的主體、目標的客體、達成目標的方式、實現(xiàn)目標的條件、目標的落實程度等有了深度的認識，接著需要將教學目標科學、準確地表達出來。當前，課堂教學目標的陳述方法主要包括馬杰行為目標陳述法、格倫蘭內(nèi)外結(jié)合陳述法和艾斯納表現(xiàn)目標陳述法。三種方法各有優(yōu)劣，因此，在實際操作中要靈活選擇陳述技術(shù)，找到最合適的表達方式。

“函數(shù)的單調(diào)性”教學目標：

（1）結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)，說明函數(shù)的變化趨勢（理解層次）。

（2）能借助具體函數(shù)的圖像直觀，經(jīng)歷符號化過程，抽象出函數(shù)的單調(diào)性概念（分析層次）。

（3）能利用函數(shù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能利用定義證明一次、二次函數(shù)和反比例函數(shù)在某個區(qū)間的單調(diào)性（應(yīng)用層次）。

（4）積極參與同學間、師生間的交流活動，知道符號化表達數(shù)學定義的意義，體會數(shù)學概念學習的基本方法（評價層次）。

（三）后端：凸顯教學活動中的目標意識

教學目標不僅是一節(jié)課的起點與終點，還貫穿整個教學過程。如果設(shè)計出的教學目標在后續(xù)教學設(shè)計和教學實施中不能起到引領(lǐng)和導向作用，那么我們的教學實際將會游離于教學目標之外，更談不上導引學生的深度學習了。為此，在教學目標設(shè)計時要對認知過程進行深度分析，對實現(xiàn)教學目標的具體教學活動有充分預設(shè)，同時，在教學活動設(shè)計和教學實施中，教師要緊扣教學目標，將教材內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)樯疃葐栴}，利用深度問題的解決促進學生的深度參與，將知識傳遞的學習方式轉(zhuǎn)變?yōu)橹R創(chuàng)造及其有目的的使用，能較好地培育學生高階思維。

在函數(shù)的單調(diào)性教學設(shè)計中，我們可以通過觀察股票曲線、天氣變化曲線，畫一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像等活動，調(diào)動學生原有基本活動經(jīng)驗，提出本節(jié)課擬解決的深度問題（任務(wù)）：“研究函數(shù)圖像變化趨勢，并用符號語言表達這種變化”，然后將這一問題分解為若干子問題，每一個子問題都會充分調(diào)動學生活動——“看”（學生看圖像的變化趨勢）、“說”（學生用文字語言表達變化趨勢）、“固”（學生在教師搭建的腳手架下用符號語言表達函數(shù)單調(diào)性的概念）、“用”（學生在函數(shù)單調(diào)性的證明中深化概念的理解）、“思”（反思回顧，厘清知識結(jié)構(gòu)，并提煉數(shù)學概念學習的基本過程）。

深度學習是數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展的基本路徑。導向深度學習的數(shù)學教學目標在教學設(shè)計中至關(guān)重要，它既指導著教師的教學設(shè)計與實施，又規(guī)定著學生學習的方向和學習需要達到的水平，是促進學生對數(shù)學學科本質(zhì)的深度理解，提升學生知識建構(gòu)能力和問題解決能力，培育數(shù)學學科核心素養(yǎng)的應(yīng)然之選。本文從理論層面根據(jù)對深度學習和數(shù)學核心素養(yǎng)培育的理解，力圖闡明導向深度學習的數(shù)學教學目標設(shè)計的基本要求，結(jié)合具體案例，從實踐層面闡釋了如何設(shè)計能導向深度學習的數(shù)學教學目標。而設(shè)計促進深度學習發(fā)生的數(shù)學教學，包含教學目標的確立、問題情境的創(chuàng)設(shè)、學生活動的設(shè)計、教學目標的達成檢測等，理應(yīng)成為當前數(shù)學深度教學理論與實踐聚焦的核心。