初中教師的數(shù)學(xué)推理信念：個(gè)案研究

杜宵豐，周 達(dá)，劉 堅(jiān)

（北京師范大學(xué)中國(guó)基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100875）

一、研究背景

近年來(lái)，數(shù)學(xué)課程改革及教育工作者均達(dá)成一個(gè)共識(shí)，他們都同意數(shù)學(xué)推理應(yīng)該成為學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的中心。這在美國(guó)（NGA&CCSSO,2010）、英國(guó)（Department for Education,2013）、新加坡（Singapore Ministry of Education,2013）、中國(guó)（中華人民共和國(guó)教育部,2011）等國(guó)家和地區(qū)最新的國(guó)家數(shù)學(xué)課程中都有所體現(xiàn)。特別是英國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)課程為所有年齡的學(xué)生設(shè)置了有關(guān)推理和證明的核心教學(xué)目標(biāo)。盡管數(shù)學(xué)推理在學(xué)校教育中的重要性越來(lái)越得到認(rèn)可，但不同國(guó)家的中學(xué)生在數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)上仍面臨著困難。此外，TIMSS1995—1999的錄像研究表明，很多國(guó)家的教師對(duì)于數(shù)學(xué)推理的理解和教學(xué)是存在問(wèn)題的，并且錯(cuò)誤地將數(shù)學(xué)推理置于學(xué)校教育的邊緣地位。[1]自2000年我國(guó)實(shí)行數(shù)學(xué)新課改以來(lái)，中小學(xué)數(shù)學(xué)課程形態(tài)正在逐步發(fā)生轉(zhuǎn)變，推理能力作為新課程明確提出的核心概念之一，現(xiàn)職的初中教師對(duì)于其是如何理解的？又是如何教學(xué)的？很多已有研究探討了關(guān)于數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，甚至于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的教師信念，但是數(shù)學(xué)推理相較之下就非常少。

在教師信念相關(guān)研究中，歐內(nèi)斯特（Ernest，1989）認(rèn)為影響數(shù)學(xué)教師教學(xué)實(shí)踐最主要的因素之一是教師對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的觀點(diǎn)。[2]湯普遜（Thompson，1992）分析了數(shù)學(xué)教師信念的相關(guān)研究文獻(xiàn)后指出，需要針對(duì)教師的數(shù)學(xué)信念、教師教學(xué)與學(xué)習(xí)信念進(jìn)行更深入的探討，以增進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的效果。[3]賽諾芬托斯（Xenofontos，2014）和安德魯斯（Andrews，2014）采用質(zhì)性訪談的方法，從數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)、教學(xué)、學(xué)習(xí)和自我效能上分析了教師數(shù)學(xué)解題的信念。[4]基于已有研究，筆者欲針對(duì)我國(guó)初中數(shù)學(xué)教師，從數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)、數(shù)學(xué)推理教學(xué)的信念以及數(shù)學(xué)推理學(xué)習(xí)的信念三個(gè)方面進(jìn)行深入探討。具體而言，本研究有如下兩個(gè)研究問(wèn)題：（1）初中數(shù)學(xué)教師認(rèn)為何謂數(shù)學(xué)推理？（2）初中數(shù)學(xué)教師認(rèn)為數(shù)學(xué)推理如何教與學(xué)？

二、研究方法

陳向明指出，質(zhì)性方法具有對(duì)教師教育研究的適切性。[5]教師信念是教師在教學(xué)情境和教學(xué)歷程中所持有的對(duì)課程、教學(xué)、學(xué)習(xí)等相關(guān)因素的思想和觀點(diǎn)，其范圍涵蓋教師的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與生活經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)成一個(gè)互相關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)，從而指引著教師的思考與行為過(guò)程。[6]在這個(gè)過(guò)程中，教師如何從“知”到“行”，個(gè)案研究方法提供了從資料收集到分析解釋、產(chǎn)生結(jié)論的基本途徑。

（一）研究對(duì)象的選擇

2016年10月，我國(guó)Z市122所初中的46951名八年級(jí)學(xué)生參加了北京師范大學(xué)“區(qū)域教育質(zhì)量健康體檢”項(xiàng)目的測(cè)試。數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，Z市X中學(xué)的學(xué)生在數(shù)學(xué)推理能力上的表現(xiàn)非常突出。因此，筆者在該校教研室主任的幫助和推選下，選擇了八年級(jí)的兩位數(shù)學(xué)教師：H老師（女，6年教齡）和S老師（女，19年教齡）。從學(xué)生數(shù)據(jù)和教研室主任的介紹來(lái)看，這兩位教師可以被認(rèn)為是“能夠有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力”的優(yōu)秀教師。

（二）資料收集

本研究資料收集的方式主要是半結(jié)構(gòu)式訪談。研究工具主要根據(jù)Xennfontos和Andrews針對(duì)數(shù)學(xué)教師對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教師信念的訪談提綱修改而來(lái)。以修訂的訪談問(wèn)題作為訪談內(nèi)容的主軸，再隨著研究對(duì)象的回應(yīng)繼續(xù)提問(wèn)或加以追問(wèn)，以深入收集研究對(duì)象的信息，每位教師皆以一對(duì)一的形式進(jìn)行訪談，地點(diǎn)均選擇在研究對(duì)象所在學(xué)校中安靜的會(huì)議室進(jìn)行，以便錄音作為訪談內(nèi)容的記錄，而在開(kāi)始訪談和錄音之前，筆者均得到兩位老師的授權(quán)。訪談最終總時(shí)長(zhǎng)為214分46秒，形成共計(jì)31526字的原始文本。

（三）資料分析

資料分析的步驟如下：首先，依據(jù)訪談問(wèn)題的三個(gè)維度進(jìn)行初步的分類(lèi)，分別以A、B、C代表，其中A代表數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)、B代表教師數(shù)學(xué)推理的教學(xué)、C代表學(xué)生數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)。其次，將分類(lèi)出來(lái)的資料以教師談?wù)摬煌摹⒂幸饬x的話題為界限，切割成更小的段落，這些單位化的資料在此稱為分析單位，這些分析單位可能是一句話、一段敘述或是一個(gè)舉例等，再根據(jù)分析單位的前后順序以阿拉伯?dāng)?shù)字依次編號(hào)，比如編碼A-H-10表示在數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)下，H教師的第10個(gè)分析單位。最后，將資料編碼，根據(jù)各分析單位中的關(guān)鍵字詞進(jìn)行初步分類(lèi)，經(jīng)過(guò)不斷的比較和調(diào)整，將類(lèi)似性質(zhì)的分析單位加以合并，或?qū)⒍嘀匾饬x的分析單位加以切割，逐漸形成類(lèi)別并命名。

三、結(jié)果與分析

（一）數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)

教師對(duì)于數(shù)學(xué)推理本質(zhì)的理解會(huì)影響他們對(duì)教材中推理任務(wù)的識(shí)別和應(yīng)用，會(huì)影響他們對(duì)學(xué)生推理的反饋，會(huì)影響他們對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)推理的期望。[7]因此，筆者首先對(duì)兩位教師對(duì)數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵和類(lèi)別認(rèn)識(shí)進(jìn)行描述。

1.數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵

在數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵下，筆者從結(jié)構(gòu)、思維和解決問(wèn)題三個(gè)角度來(lái)編碼。

（1）推理的結(jié)構(gòu)

“在一個(gè)背景材料下，我們根據(jù)事件之間的聯(lián)系，將整個(gè)過(guò)程進(jìn)行梳理，這個(gè)過(guò)程很重要，并且我們需要追問(wèn)自己推理的條件是什么？推出的結(jié)論又是什么？在這個(gè)過(guò)程中不斷地反思和追問(wèn)自己非常重要。”（A-H-6）

“我感覺(jué)是有這個(gè)題設(shè)或者有這個(gè)條件，然后通過(guò)相關(guān)的一些知識(shí)得到一些結(jié)論。”（A-S-16）

（2）邏輯思維的過(guò)程

“數(shù)學(xué)推理是經(jīng)過(guò)綜合性思考的過(guò)程。”（A-H-2）“我覺(jué)得邏輯性也得更強(qiáng)一些，你得發(fā)展學(xué)生邏輯性思維嘛。”（A-H-17）

（3）解決問(wèn)題的過(guò)程

“與一般推理不同的地方在于數(shù)學(xué)推理講究的是如何把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，并建立數(shù)學(xué)模型解決這個(gè)問(wèn)題。”（A-H-10）

“我可能想的是對(duì)于一個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程。”（A-S-7）

對(duì)于H和S老師而言，數(shù)學(xué)推理應(yīng)該包含條件（前提）和結(jié)論，并需要運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)建立二者之間的邏輯關(guān)系，顯然他們能清楚地識(shí)別數(shù)學(xué)推理的結(jié)構(gòu)；兩位教師還提到推理是問(wèn)題解決的過(guò)程，且H老師還提到了在一定背景材料下的數(shù)學(xué)化。這與學(xué)術(shù)界從問(wèn)題解決的視角關(guān)注產(chǎn)生推理的過(guò)程而不是結(jié)果的觀點(diǎn)非常相似。此外，H老師指出推理過(guò)程需要不斷地反思和追問(wèn)，說(shuō)明H老師對(duì)于推理的理解包含了元認(rèn)知的觀點(diǎn)。而已有研究指出，反思、評(píng)價(jià)、調(diào)節(jié)等元認(rèn)知活動(dòng)對(duì)于學(xué)生給出正確的推理具有重要意義。[8]綜上可知，兩位教師對(duì)于數(shù)學(xué)推理內(nèi)涵的把握是精準(zhǔn)的，而且是多角度的。

2.數(shù)學(xué)推理的類(lèi)別

在數(shù)學(xué)推理的類(lèi)別下，筆者從推理的形式和內(nèi)容兩方面去進(jìn)行編碼。

（1）推理的形式

對(duì)于S老師來(lái)說(shuō)，她對(duì)數(shù)學(xué)推理無(wú)法自行給出一個(gè)明確的分類(lèi)，因此筆者給予了適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。

筆者：您認(rèn)為找規(guī)律是數(shù)學(xué)推理嗎？

S老師：找規(guī)律是數(shù)學(xué)推理，需要探索其中的一般性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論。（A-S-26）

筆者：那您覺(jué)得數(shù)學(xué)里的證明和找規(guī)律有什么不同呢？

S老師：證明需要有充分的前提條件，為的是驗(yàn)證結(jié)論的正確性。而找規(guī)律是根據(jù)題目整體的變化趨勢(shì)，找到其中一個(gè)或多個(gè)變化的量。如果證明是依據(jù)一些定理、公理來(lái)推出結(jié)論，那找規(guī)律則是通過(guò)細(xì)致的觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的變化趨勢(shì)。（A-S-27）

其實(shí)，S老師清楚地知道演繹和歸納的不同，按照她的觀點(diǎn)，前者旨在驗(yàn)證，后者旨在探究，欠缺的僅僅是無(wú)法準(zhǔn)確地叫出二者的正式名稱。

（2）推理的內(nèi)容

“如果結(jié)合數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容來(lái)對(duì)推理進(jìn)行分類(lèi)，我覺(jué)得推理應(yīng)該包括圖形推理、代數(shù)推理、規(guī)律推理等。”（A-H-19）

顯然，H老師是根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)劃分推理的。雖然H老師表示對(duì)推理的形式（演繹和歸納）并不熟悉。但是在筆者向H老師展示了一道演繹和一道歸納的具體示例后，她能夠很快想到內(nèi)容分類(lèi)和形式分類(lèi)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系——“圖形推理更多的指向演繹，規(guī)律推理指向歸納，而代數(shù)推理相對(duì)比較綜合”（A-H-29）。

在隨后的訪談中H老師還提到了有關(guān)數(shù)學(xué)推理的作用——“每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都可以有它自己的推理”（A-H-22），“每一塊知識(shí)內(nèi)容也都會(huì)有其內(nèi)在的邏輯性關(guān)系”（A-H-24）。即，推理有助于理解數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于建立知識(shí)之間的聯(lián)系，將所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化。

綜上可以看出，在沒(méi)有提示和引導(dǎo)的情況下，兩位教師都無(wú)法準(zhǔn)確說(shuō)出演繹和歸納兩種推理形式，而這在課程標(biāo)準(zhǔn)中是有明確描述和體現(xiàn)的。但與此同時(shí)，兩位教師都能夠結(jié)合自己的實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)給出他們對(duì)于推理類(lèi)別的合理劃分。

（二）教師的數(shù)學(xué)推理教學(xué)與學(xué)習(xí)信念

在資料整理和分析的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)教師通常提到教學(xué)時(shí)，也會(huì)提到學(xué)生的學(xué)習(xí)，二者相互穿插，因此筆者將教師的教學(xué)信念與學(xué)習(xí)信念合并在一起，統(tǒng)稱為教師的數(shù)學(xué)推理教學(xué)與學(xué)習(xí)的信念。

1.H老師

在推理的教學(xué)與學(xué)習(xí)部分，首先，H老師提到了學(xué)生的個(gè)體推理，即學(xué)生需要親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理建構(gòu)的獨(dú)立探究過(guò)程。

“在課堂教學(xué)中，我往往不會(huì)讓學(xué)生直接去證明對(duì)的結(jié)論，而是呈現(xiàn)給學(xué)生正確未知的結(jié)論，由此激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與推理活動(dòng)的積極性。（B-H-7）數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)需要靠學(xué)生自己去切身感受，因此，我在課堂上會(huì)給予學(xué)生一定的自主空間。（B-H-3）不同的學(xué)生從不同的角度給出推斷的理由，而我的工作就是對(duì)學(xué)生的推理給出相應(yīng)的評(píng)判，指出其優(yōu)點(diǎn)或不足，發(fā)現(xiàn)一些隱含的想法。（B-H-14）”

其次，H老師強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的集體推理，即學(xué)生要以小組合作的方式通過(guò)討論與互動(dòng)去共同構(gòu)建數(shù)學(xué)推理，在合作推理的過(guò)程中精細(xì)化個(gè)體的推理策略知識(shí)。

“在復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，學(xué)生可能不知道應(yīng)該使用哪些定理和性質(zhì)來(lái)進(jìn)行推理，或者推理出很多零碎的結(jié)論卻不知道應(yīng)該聯(lián)系哪些推論才能真正解決問(wèn)題。（B-H-29）我所教的班級(jí)一般采用ABBC的小組模式，A是優(yōu)秀生，B是中等生，C是較差生，人數(shù)一般在4—5人。由優(yōu)秀生擔(dān)任學(xué)習(xí)小組的組長(zhǎng)，對(duì)小組的討論與合作起到帶動(dòng)的作用（B-H-31）。在小組合作的推理活動(dòng)中，學(xué)生會(huì)受到或給予別人指導(dǎo)，相互借鑒和學(xué)習(xí)，了解好的策略是什么樣的，發(fā)現(xiàn)自身的不足又在哪里，從而優(yōu)化自己的解題思路。（B-H-46）”

接著，H老師指出學(xué)生常常依賴于教師等外部權(quán)威去判斷數(shù)學(xué)推理的有效性，因此在課堂的展示交流環(huán)節(jié)需要著重強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)推理的理解和評(píng)價(jià)能力。

“我在課上和課下發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在解答正確的情況下，經(jīng)常找我或班里的好學(xué)生去判斷他們的推理是不是對(duì)的，當(dāng)?shù)玫轿业目隙〞r(shí)，他們才會(huì)覺(jué)得自己做對(duì)了。（B-H-42）為了避免學(xué)生簡(jiǎn)單依靠教師的權(quán)威來(lái)被動(dòng)地接受推理，在課堂的展示交流環(huán)節(jié)，當(dāng)不同的小組或?qū)W生表達(dá)自己的解題思路時(shí)，我會(huì)要求一些學(xué)生在黑板上邊聽(tīng)邊寫(xiě)出別人的推理過(guò)程。我自己也會(huì)非常仔細(xì)地聽(tīng)，發(fā)現(xiàn)其中隱含的觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生去理解別人的想法，并通過(guò)說(shuō)理去反駁別人或堅(jiān)持自己的主張，而不是簡(jiǎn)單地接受誰(shuí)的觀點(diǎn)。（B-H-43）”

最后，H老師強(qiáng)調(diào)應(yīng)該通過(guò)方法遷移來(lái)深化學(xué)生的數(shù)學(xué)推理技能，而體現(xiàn)對(duì)所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用的綜合與實(shí)踐活動(dòng)為此提供了契機(jī)。

“實(shí)踐的主題一般是我結(jié)合課堂的學(xué)習(xí)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)的。主題選定后，我鼓勵(lì)學(xué)生分組討論出很多有意思的方案。（B-H-56）我不會(huì)干涉學(xué)生的推理活動(dòng)，但我會(huì)穿插其中詢問(wèn)學(xué)生一些問(wèn)題，比如‘使用以前學(xué)過(guò)的推理方法可以解決這個(gè)問(wèn)題嗎？請(qǐng)你解釋一下為什么這個(gè)數(shù)學(xué)推理中使用的觀點(diǎn)不能用到這個(gè)問(wèn)題里？’等，然后學(xué)生進(jìn)一步修訂方案后，步入現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查，最后形成實(shí)踐成果后貼到班級(jí)的墻面上，這樣其他學(xué)生也可以從所解決的問(wèn)題中受益。（B-H-63）”

2.S老師

在推理的教學(xué)與學(xué)習(xí)部分，兩位教師有很多相同之處，畢竟同屬一所學(xué)校、一個(gè)年級(jí)，兩位教師也經(jīng)常在一起交流和探討。比如，S老師也談到學(xué)生要通過(guò)個(gè)體探究、集體互動(dòng)的方式來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)推理。“學(xué)生首先要通過(guò)自己的學(xué)習(xí)去摸索，然后他們才會(huì)經(jīng)過(guò)自己的腦袋去思考問(wèn)題。”（B-S-34）“為了推動(dòng)班級(jí)的互動(dòng)，我會(huì)記錄學(xué)生典型的錯(cuò)誤解法和正確解法，第二天在班上匿名展示，雖然學(xué)生可以辨別哪種思路是自己的，但事實(shí)可能是班級(jí)中的其他學(xué)生也是用同樣的方式解決這個(gè)問(wèn)題。正因?yàn)槿绱耍瑢W(xué)生才不會(huì)注意誰(shuí)的想法被批評(píng)了，這使得討論能夠聚焦在如何更好地推出結(jié)論上。”（B-S-36）

此外，S老師為了幫助學(xué)生書(shū)寫(xiě)推理，采用了如下很有特點(diǎn)的方式。“我會(huì)用白色粉筆寫(xiě)下標(biāo)準(zhǔn)的證明，同時(shí)用紅色粉筆寫(xiě)下與這個(gè)證明有關(guān)的想法。這些想法不一定是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模膊灰欢ㄊ亲C明本身一定要有的，而是證明過(guò)程中所涉及的思維發(fā)展脈絡(luò)，可以是逆向考慮的想法，也可以是其他有助于構(gòu)造有效證明的內(nèi)容。”（B-S-43）

S老師與H老師最大的不同之處是她反復(fù)提及“訓(xùn)練”這樣的本土概念。“訓(xùn)練”在S老師的陳述中出現(xiàn)的頻率為21次，遠(yuǎn)高于H老師的3次。進(jìn)行深度挖掘后發(fā)現(xiàn)其隱含著S老師對(duì)于傳統(tǒng)教學(xué)和新式教學(xué)有機(jī)融合的期待。

“雖然探究、合作都是非常好的教學(xué)方式，但是初中學(xué)生的學(xué)習(xí)還是不能離開(kāi)訓(xùn)練。首先我們處在應(yīng)試教育的大背景下，訓(xùn)練必須要有；其次我們的訓(xùn)練教學(xué)使我們學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功非常扎實(shí)。（B-S-67）在課堂上強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)性和合作性是我們以前所忽視的，因此我們正在努力彌補(bǔ)這方面的不足，但同時(shí)我們不能完全丟棄訓(xùn)練，我認(rèn)為應(yīng)該將它們結(jié)合起來(lái)，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，共同促進(jìn)學(xué)生推理能力的提高。（B-S-82）”

由上述可知，兩位教師數(shù)學(xué)推理的教學(xué)與學(xué)習(xí)信念呈現(xiàn)出多樣性。H老師注重自主、探究、合作、實(shí)踐等新式教學(xué)，而S老師注重傳統(tǒng)教學(xué)和新式教學(xué)相結(jié)合，不排斥訓(xùn)練和模仿。

四、結(jié)論與討論

（一）推理的教學(xué)與學(xué)習(xí)首先需要“重知”

教師的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)對(duì)其課堂教學(xué)實(shí)踐具有重要的影響。[9]我們常說(shuō)行為由觀念決定，其實(shí)教師的推理信念也是如此。如果教師對(duì)于推理知識(shí)的認(rèn)知具有科學(xué)性和先進(jìn)性，那么其推理教學(xué)行為的實(shí)施，才能夠取得更好的教學(xué)效果。已有研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師的推理知識(shí)會(huì)影響他們?yōu)閷W(xué)生提供推理學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。[10]數(shù)學(xué)推理的知識(shí)，最直接的問(wèn)題就是“推理是什么”的答案，由編碼結(jié)果可知，兩位教師對(duì)于推理內(nèi)涵的認(rèn)知沒(méi)有僅僅局限在前提—結(jié)論的結(jié)構(gòu)層面，更是體現(xiàn)出了推理與思維過(guò)程、問(wèn)題解決的聯(lián)系，H老師甚至關(guān)注到了數(shù)學(xué)推理的元認(rèn)知方面。由此可見(jiàn)，兩位教師對(duì)于推理內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)是多角度的，雖然存在對(duì)推理的某些認(rèn)識(shí)沒(méi)有上升到學(xué)術(shù)知識(shí)的層面，比如對(duì)推理形式的劃分問(wèn)題，兩位教師卻可以結(jié)合自己的實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)去區(qū)分二者的不同。但本研究的后續(xù)問(wèn)卷調(diào)查卻得到令人震驚的結(jié)果，Z市515名數(shù)學(xué)教師中有多達(dá)72.4%的教師錯(cuò)將考查歸納的題目理解為演繹。由此，為了幫助教師提升課堂中的推理教學(xué)，首先需要幫助他們對(duì)推理形成更好的理解。[11]正如鮑爾（Ball）所指出的，對(duì)專(zhuān)門(mén)化的數(shù)學(xué)知識(shí)性質(zhì)的不透徹理解，將使世界范圍內(nèi)改善教師教育質(zhì)量的良好意圖受挫。[12]

（二）推理的教學(xué)與學(xué)習(xí)需要構(gòu)建支持推理的課堂文化

許多學(xué)者的研究都表明，為了培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，教師應(yīng)該鼓勵(lì)他們?nèi)ベ|(zhì)疑別人的想法、理解自己或者別人的思路、提出猜想并對(duì)這些猜想進(jìn)行探究。[13]由此，構(gòu)建問(wèn)題解決、探究和猜想的課堂文化以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的興趣顯得至關(guān)重要。在H和S老師的課堂上，學(xué)生有機(jī)會(huì)體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理建構(gòu)的獨(dú)立探究過(guò)程，也能夠在小組或班級(jí)中公開(kāi)自己的想法并進(jìn)行辯解和論證。同學(xué)或小組之間還可以互相品評(píng)對(duì)方的推理步驟，并在教師的引導(dǎo)下圍繞不同觀點(diǎn)的潛在沖突展開(kāi)頭腦風(fēng)暴。由此可見(jiàn)，在一個(gè)適合學(xué)生發(fā)展推理的課堂環(huán)境中，教師應(yīng)該為學(xué)生提供有趣的探究任務(wù)，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立建構(gòu)證明，敢于表達(dá)自己的想法，并積極回應(yīng)別人的質(zhì)疑以及主動(dòng)尋求別人的反饋。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂文化中，數(shù)學(xué)被看作是一種只需要記憶的算術(shù)技能和程序并依此來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)成就，這種教學(xué)觀念與推理的教學(xué)目標(biāo)顯然是背道而馳的。目前的一個(gè)良好態(tài)勢(shì)是，強(qiáng)調(diào)推理的課堂文化得到了數(shù)學(xué)教育改革的支持，但教師面臨諸多挑戰(zhàn)，比如，他們需要理解適合不同學(xué)生學(xué)習(xí)的推理水平，知道如何通過(guò)搭建腳手架幫助學(xué)生形成更復(fù)雜的推理，等等。只有當(dāng)教師能夠把這些知識(shí)融入課堂教學(xué)實(shí)踐并真正形成推理的課堂文化，才能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。[14]

（三）推理的教學(xué)與學(xué)習(xí)需要形成基于問(wèn)題互動(dòng)的學(xué)習(xí)共同體

學(xué)習(xí)共同體是由學(xué)習(xí)者及其助學(xué)者共同構(gòu)成的團(tuán)體，彼此經(jīng)常在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)行溝通、交流，分享各種學(xué)習(xí)資源，因而在成員之間形成相互影響、相互促進(jìn)的人際關(guān)系。[15]在一個(gè)主動(dòng)表達(dá)和交流想法的學(xué)習(xí)共同體中，個(gè)體的學(xué)習(xí)是最有效的。[16]這種合作學(xué)習(xí)為不同想法的交流和比較提供了機(jī)會(huì)，從而將不同個(gè)體的學(xué)習(xí)有效地聯(lián)結(jié)在一起。從編碼結(jié)果來(lái)看，兩位教師不僅重視學(xué)生個(gè)體的探究推理，更注重學(xué)生間互動(dòng)合作的集體推理。學(xué)生一起探討各種典型的問(wèn)題解決手段，并試圖在實(shí)踐活動(dòng)中合作解決有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這使得學(xué)生在不斷的互動(dòng)交流中構(gòu)建和細(xì)化了自己的判斷和推理過(guò)程，他們的推理模式也隨之變得越來(lái)越精確，越來(lái)越有推理的味道。從社會(huì)學(xué)的角度來(lái)看，學(xué)習(xí)可以被視為共同開(kāi)發(fā)和享有的課堂教學(xué)過(guò)程與個(gè)人建設(shè)性活動(dòng)之間互動(dòng)關(guān)系的結(jié)果。[17]因此，在問(wèn)題解決的合作活動(dòng)中，一個(gè)人的認(rèn)知方式可能會(huì)對(duì)其他人產(chǎn)生影響，同時(shí)也可能受到別人的影響。這種相互的分享有助于新的數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建，有助于加深對(duì)數(shù)學(xué)想法的理解，有助于推進(jìn)數(shù)學(xué)推理的精細(xì)化程度。