小學生數學關鍵能力研究：內涵、要素與培養策略

洪 亮

（蘇州工業園區星海小學，江蘇 蘇州 215024）

數學關鍵能力是指在數學學習的眾多能力要素中處于中心位置，最基本、最重要、最關鍵、能起決定作用的能力。其重要特點之一即結構性。小學數學學科關鍵能力的結構性體現在靜態結構與動態結構的統一。關鍵能力的要素構成是靜態的，有不同類型，從能力發展過程來看，每個結構是動態的，各個要素相結合的時候，能力結構才能得到發展與完善。本研究通過德爾菲法提煉小學數學培養學生應具備的能力，形成以下關鍵能力要素，并通過文獻分析使關鍵能力之間達到動態的結合。

一、小學生數學關鍵能力的內涵與要素分析

（一）數學抽象與表征能力

數學學習中的抽象能力十分重要，對此，有學者認為，“在數學中，抽象是思維的基礎，只有具備一定的抽象能力，才能從感性認識上升為理性認識，這既是一個獲取知識的過程，也是一個思維的研究過程。這對于學生的學習成長非常關鍵。”[1]數學抽象是一種特殊的抽象，表現為數學抽象的對象是數量關系與空間形式。其對象既可以是現實生活中的空間形式與數量關系，也可以是數學思維中的空間形式與數量關系。史寧中教授認為，“數學抽象，就是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程，主要包括從數量關系和空間圖形關系中抽取出數學概念及概念間的關系，或者一般規律和結構，并用數學符號或者術語予以表征。具有三個基本階段：簡約階段、符號階段和普適階段。”[2]簡言之，數學抽象就是從現實世界進入數學內部，“讓學生學會用數學的眼睛看世界”。數學抽象在義務教育階段主要表現為符號意識和數感。[3]關于數學表征的闡述，有的學者認為數學表征包含了內部表征和外部表征兩類[4]，還有學者提出，數學表征有形象表征系統和數學抽象表征系統兩類，這兩類系統構成一個完整的表征系統。[5]通過對小學生數學問題表征的研究發現，小學生對于數學問題的表征還處于低水平、以直觀的表面特征為主。

數學抽象與表征能力的內涵其實是相互關聯的兩個概念，數學抽象過程中一定有數學表征的過程，而表征的過程就是數學抽象的過程。對于學生的數學抽象和數學表征能力的理解，是在科學的心理學分析基礎上進行，從學生的心理發展規律來看待學生數學抽象和表征能力培養，讓學生在抽象與表征的過程中學會數學抽象和數學表征。

（二）數學猜想與推理能力

數學猜想是指在數學學習或問題解決時展開的分析、嘗試和探索，是對涉及數學問題的主導思想、方法以及答案的形式、范圍、數值等的猜測。數學猜想也是一種數學思維方法，是人的思維在探索數學規律和本質時的一種策略，是建立在事實和已有經驗基礎上的一種假定，是一種合理假設。數學猜想具有假定性、可行性和創新性三個基本特征。推理是由一個或幾個已知的判斷（前提），推導出一個未知結論的邏輯思維過程，是對判斷間的邏輯關系的認識。推理是思維發生變化的一個過程，在這個過程中表現出的能力就是推理能力。推理能力是相對穩定的個性心理特征的綜合，在推理活動中形成、體現與發展，并影響推理活動的效果。推理一般包括合情推理和演繹推理兩類。小學階段主要涉及合情推理，所謂合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；如學習過程中的發現規律、概括意義、導出特性、理解數量關系的學習等主要通過歸納類比解決數學問題，一般認為小學階段的推理主要指的是合情推理。

猜想是個體聯系已有知識與經驗做出符合一定經驗與事實的推測性想象的思維形式。它是一種合情推理。由此可以說猜想是推理的前奏。“猜想—驗證—猜想—驗證”這一反復的過程就是一種推理的過程（如圖1所示）。猜想被驗證是正確的，那么結論自然產生；猜想如果被否定，那么再一次的猜想因摒棄了首次猜想而離結論更近一步。因此，讓學生根據已有經驗，感受知識間的聯系產生的猜想推動著學生推理能力的發展。

（三）數學理解與運算能力

圖1 猜想推理過程流程圖

理解是學習過程的重要組成部分及重要環節。數學理解是數學學習的關鍵，學生通過對數學知識、技能、概念與原理的理解與掌握來發展他們的數學能力。“數學理解”作為一般“理解”的下位概念，其內涵具有“理解”含義的普遍性又具有針對數學這一學科學習的特殊性。數學學科有其自身的特點，如嚴密的邏輯性，高度的抽象性、系統性，知識的緊密連貫性，廣泛地運用符號等，因此，數學理解與其學科邏輯性、系統性、程序性密不可分。數學理解就是對數學知識的正確、完整、合理的表征，應該涵蓋對陳述性知識、程序性知識以及過程性知識的理解等三個方面。由此，數學理解是一種結構化的學習能力，是在學習過程中表現出的認識數學的個性特征。

這一結構化的學習過程具有共性特點：一是過程性，學習者首先從表象上認識學習對象的外在屬性，再逐步嘗試將其納入已有的認知結構，通過重組或改造使個體的認知達到新的平衡，繼而反復體會、運用，深入理解內部屬性、提升其他認知對象的外延，開始對新學習對象的認知和理解；二是默會性，數學理解體現為隱含于學生學習背后的復雜思維活動；三是層次性，數學理解是結構化的，存在不同的層次或程度，知識積累水平和對原有知識結構的改進、豐富和整合能力可以使學生達到不同的數學理解層次。

但數學理解在具體內容上存在不同的具體表現，所以有必要討論學生數學理解的對象。經研究，數學理解的對象分為：數學概念、數學符號、數學命題、數學技能、數學方法和數學思想。學生不僅要理解概念、符號、命題等顯性的數學知識，還要體會數學中的思想，體會通過歸納得出猜想、通過抽象得出模式，其中，最重要的是培養學生的運算能力，運算能力是數學能力的核心要素，是數學學科獨有的能力，運算能力的形成對小學生整體數學能力的培養與提升起到了基石性的作用，進一步分析學生理解算理、發現算法、通過運算解決問題過程中的思維過程，發現運算能力發展過程中，蘊含著“抽象、推理、建模”等基本數學思想，能有效促進思維發展及加強學生對數學的理解。

（四）數據收集與處理能力

學生收集處理信息能力的提高，能有效提高運用數學工具解決實際問題的能力，其中，收集數據能力主要包括三個要素：數據意識、數據處理、設計收集數據計劃。

首先，要有數據意識，鍛煉學生對數據的敏感性，使其意識到數據的必要性，在具體的情境中意識到需要數據來解決問題。在具體情境中發現、提出運用數據解決具體問題，并根據問題的需要篩選鑒別有用數據。其次，數據的處理：在資料收集中，學生應該能夠正確鑒別和提取有用數據，從一堆雜亂無章的數據中提煉信息，進而運用信息進行決策、推斷是非常重要的數據分析能力。這要讓學生體會兩個方面：一是對同樣的事情每次收集到的數據可能會不同，二是只要有足夠的數據就可能從中發現規律，從而提高學生對數據隨機性的認識。最后，收集數據是一個不斷填充數據庫的過程，要提醒學生在收集數據時根據問題的需要設計與調整收集計劃。這不僅是數據意識的深化，反過來也將促進數據意識的發展。

（五）數學直觀與想象能力

直觀更多強調感性認識。心理學家認為，“直觀是從感覺的具體的對象背后，發現抽象的、理想的能力”。當代著名數學家徐利治教授認為，“直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識”。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應關系。而數學直觀就是以數學的直觀符號為基本構成要素，以信息加工過程的直觀性為形態的一種認知方式。數學直觀不僅包括各種直觀背景材料，如實物、圖表、插圖、物體模型等直觀教具，還包括與現實世界密切相關的情景問題和學生頭腦里的“數學現實”，以及概念圖、思維圖的外顯化、具體的數學模式等。

如果說直觀是對圖形的性質的理解，那數學學習中，不僅要給出具體圖形特點，也要根據實際需要分解和重新組合圖形，即在頭腦中進行操作，出現異于當前所給出圖形的一些新的圖形，這就是想象。數學想象是對數學特征的推理，事實上，數學的研究對象就是客觀世界的數量關系及空間形式。研究空間形式，從數學的角度講，就是研究幾何圖形的性質,即圖形的形狀、結構、圖形中基本元素的相互位置關系，這就必須運用空間想象能力。教學實踐表明,空間想象能力也是理解抽象的數學概念及原理所必需的能力。如圖形的周長、面積和運用畫圖的策略解決數學問題等。因此，探求空間想象能力的結構及其培養策略具有重要意義。

（六）問題分析和解決能力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準（2011年版）》）在闡述課程總目標時分為四個方面展開，即知識技能、數學思考、問題解決、情感態度；在描述總目標時指出讓學生“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。問題解決作為義務教育的課程目標之一，可見其對學生數學學習的重要價值。

“問題解決”是《課程標準（2011年版）》對“解決問題”內容的進一步豐富和延伸。在小學數學教學中，學生“問題解決”能力結構可以分為三個基本層次：第一層次是小學生數學問題解決能力，第二層次包括發現問題的能力、提出問題的能力、分析問題的能力與解決問題的能力，而第三層次則是對第二層次中各能力的進一步細化。其中，發現問題能力包括理解問題情境、提取和概括信息；提出問題能力包括數學語言表征與問題情境數學化；分析問題能力包括理解數量關系與空間關系、變換數學問題、調控已知與未知方向以及數學直覺思維；解決問題能力包括數學計算與推理、數學結果檢驗與評價、數學知識遷移。發現問題的能力是提出問題、分析問題以及解決問題能力發展的基礎和前提，提出問題和分析問題的能力是能力培養的關鍵，而解決問題的能力的提高，反過來又促進其他能力的培養，形成一個螺旋上升的循環體，提高學生數學能力。

二、小學生數學關鍵能力的培養策略

（一）以數學基本思想為指引

對數學教學而言，其本質關鍵是促進學生思維的發展；對具體教學內容而言，其本質既表現為隱藏在客觀事物背后的數學知識、數學規律，又表現為隱藏在數學知識背后的本質屬性，還表現為統攝具體數學知識與技能的數學思想方法。其中，數學基本思想承載了獨特、鮮明的學科育人價值，可教、可學，名副其實的數學學科核心素養，為數學關鍵能力培養起到基本的奠基作用。教師只有對知識正確理解，洞悉知識的意義內涵、知識的來龍去脈、知識的整體結構、知識背后的思想，才能在教學中聚焦數學的本質。

考慮到數學抽象既是一種能力，也是一種思想的滲透，本研究進一步探究如何讓學生在學習中逐步學會抽象的思維方式，需要我們引領學生經過層次化的思維過程，感受到抽象的數學思想，形成抽象的數學能力。例如，二年級兩位數加一位數的進位加法教學中，我們可以借助“十個雞蛋一盒”這一現實生活經驗，來引起27+5怎么加的思考。27表示兩盒雞蛋，另一盒不滿只裝了7只缺3只。要加上5只，肯定先將不滿的這一盒補滿，即把5分成3和2，3只與7只補成一盒，這樣一共有3盒雞蛋再加余下的兩個雞蛋，得到答案是32。這一教學片段巧妙地借助一盒十個雞蛋滿十進一的加法法則思維，具有實物思維的顯著特點。

數學抽象的本質，就是讓學生在親身經歷數學抽象的過程中接受數學抽象化的思維訓練在數學學習的過程中，進而提升數學抽象能力。這種階段性和層次化的過程，在實際教學中要注意根據學生的年齡特征恰到好處地安排和使用，做到循序漸進，實現數學知識的邏輯順序和學生的認知發展規律高度協調與統一，在此基礎上方能取得最佳的教學效果。

（二）以數學核心內容為載體

教育部辦公廳印發的《中小學幼兒園教師培訓課程指導標準（義務教育數學學科教學）》中，對小學數學的學科價值分析時，指出實際教學內容要點應分析小學數學核心內容的科學價值，如數的認識、數的運算、圖形的認識、圖形的測量等核心內容的學科本質與學科價值的經典案例進行分析。理解這些核心內容的育人價值，并在教學中有所體現。在學科教學時，重視對數學直觀觀念的培養，要通過學生的自主探索，形成初步的直觀需要，展開數學活動，建立完整的直觀學習方式，運用現代信息技術，全面而深入地“熟悉基本幾何圖形，正確地讀圖，并在頭腦中分析基本圖形的基本元素之間的位置關系和度量關系，從復雜的圖形中分解出基本圖形。建立已知圖形和需要構造的圖形，數、式和圖形，平面圖形和立體圖形的對應關系，以此，培養學生的空間想象能力。例如，“圓柱和圓錐特征的認識”的教學中，目標在于探索平面圖形和立體圖形之間的關系，培養學生的空間觀念。我們可以先讓學生對長方體、正方體、圓柱和圓錐根據面的特點進行分類，初步感知圓柱和圓錐是由曲面和平面圍成的幾何體，然后要求學生自主畫出圓柱和圓錐的示意圖，進一步理解圓柱和圓錐高的含義，這是對圓柱和圓錐這個概念的再認識，最后通過想一想、轉一轉、滾一滾、堆一堆讓學生發現由平面圖形轉成的立體圖形之間的聯系。

（三）以數學理性思維為旨趣

數學知識的產生與發展，總是有其源和流的區分，在其內化抽象的過程中，必然會出現一系列的“是什么”“為什么”“怎么做”的疑難困惑。這需要教學對具體內容進行深入挖掘，理性地追問隱藏在客觀事物背后的規律，統攝具體數學知識與技能的數學思想方法，用辨析的眼光來了解和分析數學本質的源和流，構建活的數學知識結構，對學生而言具有特殊的作用和意義。

（四）以數學基本活動為途徑

在數學教育中，活動始終貫穿于其中。它是激發學生學習興趣的常規方式，是學生經歷探索規律、掌握知識的重要過程，更是發展學生數學核心素養的必要條件。關于數學直觀（圖形與幾何）的學習內容，可以與學生經驗和興趣相結合，對課堂教學重難點突破起到關鍵作用的數學活動，在數學教學過程中，采用學生喜愛的“看一看、擺一擺、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、畫一畫”等具體、實際的活動方式，引導學生通過親自觸摸、觀察、測量、制作和實驗，把視覺、聽覺、觸覺、動覺等協同起來，強有力地促進心理活動的內化，從而使學生掌握圖形特征，更好地感知幾何直觀。

在培養學生數據分析與處理能力時，首先讓學生親歷數據的收集、整理、描述、分析以及做出決策的全過程。如教學折線統計圖，課堂上并不直接呈現或者教學折線統計圖畫法，而是通過創設情境，引導學生進行思考交流，制定計劃，進而收集數據，收集數據時學生實地詢問、查問、收集，通過學生交流、出示收集數據，自由創造——用自己的方式表示數據變化，如手勢比劃或畫條形圖等，通過比較做出選擇哪種數據表現形式最適宜，最后進一步實施。在此過程中，學生經歷了提出問題、制定計劃、收集數據、選擇合適方法描述數據及做出推斷、解決問題的全過程。在自己的經歷中更加深對數據收集、數據處理、數據的奧秘等的感悟。

（五）以數學核心素養為目標

教學目標是教學活動的起點和終點，制定恰當的教學目標是教師開展教學的重要前提。數學核心素養在教學中的落實程度關乎學生核心素養的形成與發展，因此，本研究的教學活動設計就是基于核心素養為數學教學的目標，站在學生學習發展的角度，激發問題意識，開展數學活動，發展數學思維，滲透數學思想，用核心素養來統領整個的教學活動。

例如，理解與運算能力的培養時，本研究提倡算法多樣化、算法最優化，以此發掘每個學生的潛能，真正體現“不同的人在數學上得到不同的發展”，從而提升每個學生的數學素養。傳統運算教學“計算方法過于單一、技能培養過于側重”，而且，這樣做學生的持續發展潛力較低。為了提高學生的運算能力，同時提升學生的數學素養，教師要密切關注學生的個性差異，尊重學生獨立思考，鼓勵他們探索不同計算方法。“多中選優，擇優而用”的思想方法是學生的學習和生活中不可缺少的，也是發展學生數學思維、培養學生創新意識的重要方法。因此，當出現多種運算方法后，教師要幫助學生優化算法。值得注意的是，本研究雖提倡算法多樣化，指向是希望學生自主探索，運用原有經驗探尋答案、拓展思路，培養分析推理能力，但并不是說每次計算一定要有很多方法，一定要把可能的算法都掌握。只要是學生能在原有基礎上拓寬解決問題渠道，靈活遷移所學方法，培養發散思維足以。在教學中，教師應因材施教，對學有余力的學生鼓勵掌握兩種或兩種以上自己喜歡的方法，以開闊視野；對學困生，只要能掌握一種適合自己的方法即可。

三、結論

總之，兒童核心素養的培養是小學數學課程實施的重要目標，核心素養培育中數學學科關鍵能力的培養是重點。數學學科關鍵能力在數學知識的積累、方法的掌握、運用和內化的過程中，以數學的視角發現問題、用數學的思維分析問題、用數學的方法解決問題。數學學科關鍵能力是數學學科素養的核心組成部分。基于核心素養培育目標下的數學教學，應當始終站在學生未來發展的視角，從數學基本思想為指引、以數學核心內容為載體，重視激發數學思維、以數學理性思維為旨趣、以數學基本活動為途徑，以實現數學核心素養培育目標為宗旨。本研究在探索與實踐中，逐步明確了要以培養學生的核心素養為基準來重新審視我們的課堂，努力增強學生們的課堂學習活力，這對于我們開展適合的教育具有極大的推動效應，更有利于推動教師突破課改瓶頸，落實課改理念，構建以發展學生數學關鍵能力為核心目標的課堂教學。