基于新四維混沌系統的復雜網絡的混沌保密通信及噪聲研究

付宏睿，董永剛，張建剛

(1.安陽學院建筑工程學院，河南 安陽 455000；2.蘭州交通大學數理學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

氣象學家Lorenz于1963年首次發現了一個三維自治系統中的混沌吸引子，從此混沌得到很快地發展，并在此基礎上構造出許多新的三維混沌系統.[1-3]然而三維自治混沌系統的帶寬比較窄，應用在保密通信中效果差，信號容易被破譯.但是四維超混沌系統動力學行為更復雜，它具有2個或2個以上的正Lyapunov指數，因此更難預測.將其應用在保密通信中將會大大提高信號傳輸的保密程度.

近年來，許多學者將混沌系統與復雜網絡結合在一起，將其表示為網絡的節點，則復雜網絡的同步就成為各個節點間的混沌同步問題[4-6].文獻[7]研究了非線性耦合網絡的時空混沌同步；文獻[8]研究了復雜網絡中具有相同結構節點之間的脈沖同步等；文獻[9]研究了復雜動力網絡的各個單變量之間相互替換耦合的同步；文獻[10]基于Lyapunov穩定性理論，研究了一類分數階復雜網絡混沌系統的有限時間混沌同步.已有文獻大部分都是對三維混沌系統的研究，很少將四維混沌系統應用到復雜網絡的同步中，并且主要都是對復雜網絡同步的理論研究，很少有對復雜網絡同步的應用.本文在提出一個新四維混沌系統的基礎上將其與復雜網絡相結合，由于該系統動力學行為的復雜性，因此非常有利于應用到保密通信中.

目前，許多研究都利用混沌信號帶寬頻譜的非周期性以及對初值的敏感性和具有非常好的隱蔽性等將其應用到保密通中.[11-13]以往都是對信號只實施一次加密，而本文提出一種新的混沌保密通信系統，將有用信息經過多次加密，可以大大提高信息傳輸的保密程度.但是在現實中信息傳輸總會受到噪聲的干擾，使有用信號發生畸變.因此，本文在保密通信的基礎上加入了高斯白噪聲[14-15]，使其對信號傳輸進行干擾，最后用小波變換原理對噪聲進行處理[16]，從Matlab數值仿真來看，有用信號可以被無失真地恢復出來.

1 數學模型

1.1 模型提出

選取一個新四維自治混沌系統，該系統的狀態方程為

(1)

其中：x=(x，y，z，u)T∈R4為系統的狀態變量；a，b，c，m∈R為系統的參數.運用Wolf算法可以計算出該系統的Lyapunov指數λ1=0.337 1，λ2=0.218 4，λ3=0，λ4=-26.436 1，并且該系統的Lyapunov維數DKY=3.020 65，則說明系統(1)處于超混沌狀態.

1.2 系統(1)的平衡點與穩定性

特征方程為(λ+5)(λ3+21λ2-680λ+140)=0，則特征根依次為λ1=-5，λ2=-38.68，λ3=0.207，λ4=17.468 5.因此它的平衡點不是穩定的鞍點，說明系統(1)存在超混沌現象.

1.3 系統(1)的耗散性與吸引子的存在

1.4 系統(1)吸引子的數值仿真

圖1 系統在不同空間的吸引子

2 基于系統(1)的復雜網絡的同步

選取由N個相同節點通過耦合而構成的全局耦合網絡，其中第i個節點的n維動力系統的狀態方程為

(2)

將系統(1)表示為網絡的各個節點，取節點數N=4，那么由該系統組成的4個節點的全局耦合網絡模型為：

(3)

(4)

(5)

(6)

運用Matlab進行數值仿真，由運行結果可以看出：當耦合函數d=2時，盡管系統的初始狀態不同，但還是可以較快地達到同步.圖2為系統(3)—(6)的同步誤差圖，其中：圖2(a)為節點1與節點2之間的誤差；圖2(b)為節點2與節點3之間的誤差；圖2(c)為節點3與節點4之間的誤差；圖2(d)為節點4與節點1之間的誤差.

圖2 系統(3)—(6)的同步誤差圖

3 基于復雜網絡的混沌保密通信

3.1 保密通信方案

圖3 混沌保密通信系統

為了提高網絡中信息傳輸的安全性，提出了一種基于復雜網絡新的混沌保密通信系統(見圖3).該系統由結構復雜的四維超混沌系統組成，它的每個節點的動力學行為會更復雜，并且具有2個或2個以上的正Lyapunov指數.因此它的動力學特性非常有利于混沌保密通信的加密，其混沌信號對初值極端敏感，并且在接收端有用信號必須經過兩次解調才能被恢復出來，所以該系統的保密程度比較高.

3.2 噪聲干擾下信號的傳輸與小波去噪

為了分析信道中噪聲對信息傳輸的干擾以及對信息解密時的影響，本文將5 dB的高斯白噪聲干擾信號加入了信息傳輸與加密、解密的整個過程中(見圖4).

圖5 小波閾值去噪原理

小波閾值去噪原理如圖5所示[17].因為有用信息被掩蓋在混沌信號中，而混沌信號在小波域中的能量譜中相對集中，但噪聲的能量譜卻比較分散，并且混沌信號在小波域中的分解系數絕對值比噪聲中的大.因此，可以利用小波變換原理對信號進行多尺度分解，然后選擇適當的閾值，過濾掉絕對值相對小的小波系數，從而進行分層分尺度去噪，達到降低噪聲的效果，最后把去噪處理后的信號進行重構，則可得到原有用信號.

選取如圖3所示的保密通信方法，選用離散信號h(t)進行傳輸，則傳輸的混合信號s(t)=h(t)+x22(t)+n(t)，其中n(t)是5 dB的高斯白噪聲信號.

令節點1為發射系統，有：

令節點2為接收系統，有：

圖6為加入高斯白噪聲后含噪信號的傳輸與小波去噪的Matlab數值仿真結果.其中：圖6(a)為x22的時間序列；圖6(b)為有用信息h(t)；圖6(c)為信道中第一次加密后傳輸的含噪信號s(t)；圖6(d)為信道中第二次加密后傳輸的含噪信號s′(t)；圖6(e)為第一次恢復的信號h′(t)；圖6(f)為第二次恢復的信號h″(t)；圖6(g)為采用小波閾值去噪處理后的有用信號h1(t).

圖6 離散信號去噪示意圖

從圖6(f)可以看出，在加入高斯白噪聲影響的情況下，盡管有用信息可以被大致恢復出來，但是由于它在傳輸中受到噪聲干擾而發生了變化，波形振蕩不夠光滑.而圖6(g)是在選取合適的閾值后，經過小波變換處理，使有用信號可以很好地恢復出來，去噪效果比較良好.

4 結論

本文提出了一個新的四維混沌系統，并驗證了其吸引子的存在.研究了基于該系統的全局耦合網絡的漸近同步問題.在此基礎上將其同步應用到保密通信中，研究了2個節點之間進行多次加密的新保密通信系統，并且在信息傳輸中加入高斯白噪聲的干擾.最后，在小波變換的作用下，經過調節閾值對有用信息進行去噪處理，最終有用信息能夠很好地無失真地恢復出來.