“圖形的運動”錯解剖析

王云峰

圖形的運動有三種方式：平移、翻折、旋轉，習慣上分別將它們稱為平移變換、對稱變換、旋轉變換。初學這部分內容，同學們常因觀察不仔細，想象不豐富，思考不全面等原因出錯。下面我們舉例說明。

例1 如圖1，4個小三角形的形狀與大小都相同，其中可以通過平移三角形ABC而得到的三角形一共有（）。

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

圖1 圖2

【錯解】D。

【錯因】有些同學由條件“4個小三角形的形狀與大小都相同”，誤認為這4個三角形可以通過相互平移得到，錯在沒有考慮平移的方向。實際上，三角形ACE是由三角形ABC沿AC翻折得到的。

【正解】C。

【點評】兩個圖形間的運動方式為平移變換，它們不僅形狀、大小相同，而且方向也要一致;翻折變換實際上是反向平移。

例2 “飛流直下三千尺”“坐地日行八萬里（只考慮地球自轉）”，如果只從數學角度看，它們分別蘊含的圖形變換是（）。

A.平移、平移 B.平移、翻折

C.平移、旋轉 D.旋轉、翻折

【錯解】A。

【錯因】一些同學是這樣思考的：人在地面行走可看成是平移變換，因此從數學角度看，“坐地日行八萬里”是平移變換。其錯在沒有關注括號中的條件“只考慮地球自轉”。它表達的意思是：人在地球上不動（“坐地”），地球自轉導致人“日行八萬里”。因此這是旋轉變換。

【正解】C。

【點評】審題要仔細、全面，要關注題中的每一個條件。數學中許多式子會采用括號的形式表示，若不考慮全面，則容易出錯。如：n=a（a≥0）寫成n=a，就是錯的。

例3 如圖2，正方形ABCD繞某個點（記為點O）旋轉后能與正方形CDEF重合，則點O的位置有個。

【錯解】2。

【錯因】一些同學觀察圖形，發現點O在點C（或點D）處時，正方形ABCD旋轉后能與正方形CDEF重合，錯在僅關注了圖中有字母的點，忽視了其他的點。實際上，繞CD的中點旋轉，正方形ABCD旋轉后也能與正方形CDEF重合。

【正解】3。

【點評】由圖形的位置可知，正方形ABCD繞點C（或點D）旋轉90°能與正方形CDEF重合。考慮完這種情形后，再考慮旋轉90°的整數倍后結論是否也成立，這是解答這類問題的一個重要策略，可防止出現遺漏。繞CD的中點將正方形ABCD旋轉180°能與正方形CDEF重合。

例4 如圖3，是一個長為4cm、寬為3cm的長方形紙片。若將此長方形紙片繞邊所在的直線旋轉一周，求所形成的幾何體的體積。

圖3圖4 圖5

【錯解】如圖4，是長方形紙片繞一邊所在的直線旋轉一周形成的幾何體，這是一個圓柱，它的底面半徑為3，高為4，所以它的體積為π×32×4=36π。

【錯因】審題不清。“將此長方形紙片繞邊所在的直線旋轉一周”并沒有指明是繞長邊旋轉還是繞短邊旋轉，因此要分兩種情形求解。

【正解】當長方形紙片繞長邊旋轉一周，如圖4，它的體積為36π。

當長方形紙片繞短邊旋轉一周，如圖5，這個幾何體是圓柱，它的底面半徑為4，高為3，所以它的體積為π×42×3=48π。

綜上，所求幾何體的體積為36π或48π。

【點評】對于沒有指明對象的問題，要考慮進行分類討論。

例5 圖6是3×3正方形方格，將其中兩個方格涂黑，并且使得涂黑后的整個圖案沿某條直線翻折，直線兩旁的部分重合。約定正方形ABCD繞某點旋轉能重合的圖案都視為同一種圖案，如圖7中的四幅圖就視為同一種圖案。則得到的不同圖案共有（）。

A.4種 B.5種 C.6種 D.7種

圖6 圖7

【錯解】B。

【錯因】一些同學設計的圖案如圖8所示，忽視了題目中范例的情形。根據題意，范例也應當包含在答案中。

圖8

【正解】C。

【點評】利用翻折設計圖案，可先確定所有可能的“折線”，然后在“折線”的兩側進行設計。本題的圖案是正方形，而正方形的“折線”有4條，如圖9所示。由于第1、2個圖繞某點旋轉重合，第3、4個圖繞某點旋轉也重合，所以只需在第1、3個圖中設計即可。由第1個圖可設計出范例及圖8中前兩個，由第3個圖可設計出圖8中后三個。這樣就能防止出現遺漏了。

圖9

（作者單位：江蘇省鹽城市葛武初級中學）