Matlab程序設(shè)計在黃金分割法教學中的應用

李豐兵 李向利

【摘要】黃金分割法是一種簡單而實用的一維搜索算法，是最優(yōu)化方法課程中的一個基本內(nèi)容。在黃金分割法的理論教學過程中，本文利用Matlab程序設(shè)計輔助解答了兩個有關(guān)黃金分割法收斂特性的教學問題，使得課堂講解更加直觀、更加清楚，同時改變了以往枯燥乏味的課堂氣氛，吸引了學生的注意力，提高了教師的教學效率。

【關(guān)鍵詞】黃金分割法 ?Matlab 軟件 ?實驗仿真

【中圖分類號】G42 ?【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）51-0252-02

1.引言

黃金分割法[1，2，3]又稱為0.618法，是最優(yōu)化算法中一種基本的一維搜索算法，本質(zhì)上是一種用來求解單谷函數(shù)極值的方法，其算法思想是通過迭代的方式逐步縮小搜索區(qū)間，直到極小值點所在的區(qū)間長度滿足所給定精度要求時算法終止迭代，具體步驟如下：

步1：給定初始搜索區(qū)間[a，b]，及計算精度eps>0;

步2：計算x1=a+0.382（b-a），x2=a+0.618（b-a）;

步3：若x2-x1

步4： 若f（x1）≥f（x2），則令a=x1，轉(zhuǎn)步2;

若f（x1）

盡管黃金分割法的算法步驟比較簡單，但在課堂上僅僅依靠理論講解，很多學生對它的理解還是不夠深入，特別是對黃金分割法的各種收斂性能。本文利用Matlab程序設(shè)計輔助解答了課堂上碰到的兩個教學問題：（1）如何結(jié)合實例介紹黃金分割法的迭代過程以及算法的收斂性能。（2）如何理解算法的精度要求與所需的迭代次數(shù)存在的關(guān)系。

2.實驗仿真分析

為輔助解答上述兩個問題，考慮以下實例

例：設(shè)f（x）=-（sinx）6tan（1-x）e6x，求f（x）

對于第一個問題，本文利用Matlab程序設(shè)計分析迭代次數(shù)與最優(yōu)解和最優(yōu)目標函數(shù)值的關(guān)系，并由此了解算法的迭代過程以及收斂性能，編寫程序如下：

程序中數(shù)組OPTXV及OPTYV分別用來存儲每次迭代后的最優(yōu)解和最優(yōu)目標函數(shù)值，t為迭代次數(shù)，輸入?yún)?shù)值設(shè)為a=0，b=1，eps=0.00001，運行程序即可得每次迭代后的最優(yōu)解和最優(yōu)目標函數(shù)值，如下

OPTXV=0.5， 0.691， 0.80904， 0.88199， 0.92707， 0.89921， 0.91642， 0.90578， 0.91236 0.9083， 0.90578， 0.90734， 0.90638， 0.90578， 0.90615， 0.90592， 0.90606， 0.90598， 0.90603， ? ? ? ?0.906， 0.90602， 0.90601。

OPTYV=-0.13324， -1.3514， -3.5605， -4.9879， -4.9832， -5.1292， -5.1066， -5.1431， -5.1299， -5.1414， -5.1431， -5.1425， -5.143， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431。

為了更直觀地了解黃金分割法的收斂性能，利用Matlab的繪圖函數(shù)plot可以畫出最優(yōu)解和最優(yōu)目標函數(shù)值隨迭代次數(shù)的增大的變化曲線圖，如圖1所示。從圖1中可清楚看出，黃金分割法的收斂速度相對于迭代次數(shù)來說，前期收斂較快，后期明顯收斂很慢。

對于第二個問題，為了分析精度要求值與迭代次數(shù)的關(guān)系，分別取精度值eps為：10-10，10-9，10-8，…，10-1，利用Matlab的for循環(huán)語句及調(diào)用黃金分割法的自定義函數(shù)就可以算出每個精度值所需的迭代次數(shù)，具體程序如下：

運行程序后可得到不同精度值對應的迭代次數(shù)為：T = [46，42，37，32，27，22，18，13，8，3]。為了更直觀地分析精度值eps與迭代次數(shù)t的關(guān)系，先對eps取以10為底的對數(shù)，然后再利用Matlab的繪圖函數(shù)plot畫出精度值的對數(shù)值與迭代次數(shù)的關(guān)系圖，如圖2所示。

由圖2可清楚看出，精度值的對數(shù)值與迭代次數(shù)幾乎呈線性關(guān)系。

3.結(jié)論

本文利用Matlab程序設(shè)計，針對某一個實際問題對黃金分割法進行了兩個實驗仿真，由仿真結(jié)果及其圖像直觀地展示了黃金分割法的算法特性，再結(jié)合理論講解，使得課堂上學生學習變得更加輕松、更加容易、學習效率和學習積極性都得到了提高。同時，教師的教學效果也明顯得到了改善，“教”與“學”不再是枯燥乏味的事情。

參考文獻：

[1]何堅勇.最優(yōu)化方法[M].北京：清華大學出版社，2007.

[2]馬昌鳳.最優(yōu)化方法及其Matlab程序設(shè)計[M].北京：科學出版社，2010.

[3]陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京：清華大學出版社，2005.

作者簡介：

李豐兵（1980.08-），男，苗族，貴州思南人，碩士，中級職稱，研究方向為復雜網(wǎng)絡(luò)及人工智能。