Matlab程序設(shè)計(jì)在黃金分割法教學(xué)中的應(yīng)用

李豐兵 李向利

【摘要】黃金分割法是一種簡(jiǎn)單而實(shí)用的一維搜索算法，是最優(yōu)化方法課程中的一個(gè)基本內(nèi)容。在黃金分割法的理論教學(xué)過(guò)程中，本文利用Matlab程序設(shè)計(jì)輔助解答了兩個(gè)有關(guān)黃金分割法收斂特性的教學(xué)問(wèn)題，使得課堂講解更加直觀、更加清楚，同時(shí)改變了以往枯燥乏味的課堂氣氛，吸引了學(xué)生的注意力，提高了教師的教學(xué)效率。

【關(guān)鍵詞】黃金分割法 ?Matlab 軟件 ?實(shí)驗(yàn)仿真

【中圖分類號(hào)】G42 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）51-0252-02

1.引言

黃金分割法[1，2，3]又稱為0.618法，是最優(yōu)化算法中一種基本的一維搜索算法，本質(zhì)上是一種用來(lái)求解單谷函數(shù)極值的方法，其算法思想是通過(guò)迭代的方式逐步縮小搜索區(qū)間，直到極小值點(diǎn)所在的區(qū)間長(zhǎng)度滿足所給定精度要求時(shí)算法終止迭代，具體步驟如下：

步1：給定初始搜索區(qū)間[a，b]，及計(jì)算精度eps>0;

步2：計(jì)算x1=a+0.382（b-a），x2=a+0.618（b-a）;

步3：若x2-x1

步4： 若f（x1）≥f（x2），則令a=x1，轉(zhuǎn)步2;

若f（x1）

盡管黃金分割法的算法步驟比較簡(jiǎn)單，但在課堂上僅僅依靠理論講解，很多學(xué)生對(duì)它的理解還是不夠深入，特別是對(duì)黃金分割法的各種收斂性能。本文利用Matlab程序設(shè)計(jì)輔助解答了課堂上碰到的兩個(gè)教學(xué)問(wèn)題：（1）如何結(jié)合實(shí)例介紹黃金分割法的迭代過(guò)程以及算法的收斂性能。（2）如何理解算法的精度要求與所需的迭代次數(shù)存在的關(guān)系。

2.實(shí)驗(yàn)仿真分析

為輔助解答上述兩個(gè)問(wèn)題，考慮以下實(shí)例

例：設(shè)f（x）=-（sinx）6tan（1-x）e6x，求f（x）

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，本文利用Matlab程序設(shè)計(jì)分析迭代次數(shù)與最優(yōu)解和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的關(guān)系，并由此了解算法的迭代過(guò)程以及收斂性能，編寫(xiě)程序如下：

程序中數(shù)組OPTXV及OPTYV分別用來(lái)存儲(chǔ)每次迭代后的最優(yōu)解和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，t為迭代次數(shù)，輸入?yún)?shù)值設(shè)為a=0，b=1，eps=0.00001，運(yùn)行程序即可得每次迭代后的最優(yōu)解和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，如下

OPTXV=0.5， 0.691， 0.80904， 0.88199， 0.92707， 0.89921， 0.91642， 0.90578， 0.91236 0.9083， 0.90578， 0.90734， 0.90638， 0.90578， 0.90615， 0.90592， 0.90606， 0.90598， 0.90603， ? ? ? ?0.906， 0.90602， 0.90601。

OPTYV=-0.13324， -1.3514， -3.5605， -4.9879， -4.9832， -5.1292， -5.1066， -5.1431， -5.1299， -5.1414， -5.1431， -5.1425， -5.143， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431， -5.1431。

為了更直觀地了解黃金分割法的收斂性能，利用Matlab的繪圖函數(shù)plot可以畫(huà)出最優(yōu)解和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的增大的變化曲線圖，如圖1所示。從圖1中可清楚看出，黃金分割法的收斂速度相對(duì)于迭代次數(shù)來(lái)說(shuō)，前期收斂較快，后期明顯收斂很慢。

對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，為了分析精度要求值與迭代次數(shù)的關(guān)系，分別取精度值eps為：10-10，10-9，10-8，…，10-1，利用Matlab的for循環(huán)語(yǔ)句及調(diào)用黃金分割法的自定義函數(shù)就可以算出每個(gè)精度值所需的迭代次數(shù)，具體程序如下：

運(yùn)行程序后可得到不同精度值對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)為：T = [46，42，37，32，27，22，18，13，8，3]。為了更直觀地分析精度值eps與迭代次數(shù)t的關(guān)系，先對(duì)eps取以10為底的對(duì)數(shù)，然后再利用Matlab的繪圖函數(shù)plot畫(huà)出精度值的對(duì)數(shù)值與迭代次數(shù)的關(guān)系圖，如圖2所示。

由圖2可清楚看出，精度值的對(duì)數(shù)值與迭代次數(shù)幾乎呈線性關(guān)系。

3.結(jié)論

本文利用Matlab程序設(shè)計(jì)，針對(duì)某一個(gè)實(shí)際問(wèn)題對(duì)黃金分割法進(jìn)行了兩個(gè)實(shí)驗(yàn)仿真，由仿真結(jié)果及其圖像直觀地展示了黃金分割法的算法特性，再結(jié)合理論講解，使得課堂上學(xué)生學(xué)習(xí)變得更加輕松、更加容易、學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)積極性都得到了提高。同時(shí)，教師的教學(xué)效果也明顯得到了改善，“教”與“學(xué)”不再是枯燥乏味的事情。

參考文獻(xiàn)：

[1]何堅(jiān)勇.最優(yōu)化方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

[2]馬昌鳳.最優(yōu)化方法及其Matlab程序設(shè)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[3]陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

作者簡(jiǎn)介：

李豐兵（1980.08-），男，苗族，貴州思南人，碩士，中級(jí)職稱，研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)及人工智能。