考慮視場角約束下的攻擊時間控制制導律

陳升富,劉 丹,常思江

(1.南京理工大學 能源與動力工程學院,江蘇 南京 210094;2.西北工業集團有限公司 設計二所,陜西 西安 710043)

隨著現代戰爭飽和打擊的需求與近防武器系統的發展,設計能夠實現攻擊時間控制的制導律正越來越受到學者的關注[1-5]。通過對導彈攻擊時間的控制,不僅能夠提高導彈在近防武器系統下的生存能力,還能使彈群各導彈之間無需進行數據交換就可實現聯合攻擊,完成對目標的飽和打擊。

比例導引法因其魯棒性和簡易性而廣泛應用于導彈制導[6-7],但傳統的比例導引法沒有考慮攻擊時間約束,無法實現攻擊時間的控制。為此,研究人員在傳統比例導引法的基礎上結合現代控制理論,通過設計偏置控制項[3-4]或時變比例系數[8-9]等方式實現攻擊時間的控制。文獻[4]針對非線性模型應用最優控制理論設計附加控制項,實現攻擊時間控制。文獻[9]提出一種修正比例導引法,通過時變的比例系數實現攻擊時間控制。

在研究攻擊時間控制制導問題中,為避免導彈機動可能造成的導引頭丟失目標的問題,需要考慮導引頭視場角限制下的攻擊時間制導問題[10-13]。文獻[10]在文獻[3]的攻擊時間控制制導律基礎上,提出了一種常前置角制導律邏輯轉換策略,實現視場角受限下的攻擊時間控制。文獻[12]通過附加控制項的方式設計出滿足視場角約束下的攻擊時間控制制導律,取得了較好的成果,但存在控制奇點,且末端制導指令變化較大。

本文針對上述問題,基于彈目相對運動數學模型,對考慮視場角受限的攻擊時間控制制導問題展開研究。在傳統比例導引法的基礎上,采用偏置控制項的形式,得到了滿足視場角約束且沒有控制奇點的攻擊時間控制制導律,并對制導律的性能開展研究,給出了仿真結果。

1 問題的描述

假設導彈的速度vm為常值,考慮平面內攔截靜止目標的情況,其導彈和目標的運動關系如圖1所示。

圖1中,M表示導彈;T表示目標;γ,θ,R分別為導彈彈道角、目標視線角以及彈目連線距離;φ為導彈速度矢量前置角(簡稱前置角)。導彈與目標之間的運動關系滿足如下運動學方程:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

θ=γ+φ

(6)

式中:am為制導指令。

忽略導彈的側滑角,則導引頭的視場角受限可看做導彈前置角受限[10,12]。此時,導引頭的視場角受限問題,可描述為|φ(t)|≤φmax,φmax∈(0,π/2),是由導引頭視場角邊界所確定的常數。

定義如下攻擊時間誤差ξ為

(7)

假設:①導彈的初始前置角滿足|φ0|≤φmax;②所需的攻擊時間td選取合適,使得ξ∈I。本文的問題可簡述為,設計一個制導指令am使得在所需的攻擊時間td內滿足如下方程:

(8)

2 攻擊時間控制制導律設計

由前文可知,為實現攻擊時間控制,制導律的設計需要用到剩余飛行時間tgo的估算。為簡便考慮,本文設計如下形式的攻擊時間控制制導律:

am=aPN+aξ

(9)

顯然,由方程(9)可知,應使用比例導引法下的剩余飛行時間估算公式對tgo進行估算。考慮到在視場角約束下導彈的前置角較小,因此可直接采用文獻[9]在小角度假設下推導的剩余飛行時間估算公式:

(10)

(11)

由式(11)可知,攻擊時間誤差的變化與偏置控制項aξ有關。為實現視場角約束下的攻擊時間控制,設計如下偏置控制項:

(12)

式中:K>0,定義如下的函數:

(13)

ξ可由式(7)和式(10)獲得。

因此,本文設計的攻擊時間控制制導律具體形式為

(14)

由方程(14),結合式(3)～式(6)和式(11)可得到R,φ和ξ的導數:

(15)

(16)

(17)

由式(15)～式(17)可知,在滿足假設①和假設②的條件下,式(15)～式(17)能夠使得式(8)成立,即制導指令(14)能夠實現視場角約束下的攻擊時間控制。

引理1在整個制導過程中滿足視場角受限,即集合S∈{φ:|φ|≤φmax}不變。

證明考慮如下Lyapunov候選函數:

(18)

由方程(16)可知,式(18)在整個制導過程中關于時間的導數為

(19)

(20)

顯然,由不等式(20)可知,V1(φ)在集合S的邊界值附近為負定函數。因此,對于滿足|φ0|≤φmax條件下的攻擊時間控制制導,整個制導過程中滿足視場角受限要求。

引理2在整個制導過程中,其攻擊時間誤差ξ和前置角φ均收斂到0。

證明考慮如下的Lyapunov候選函數:

(21)

式中:C為常數,滿足C≥4[(N-1)|sinφ|-ε0]/[K(2N-1)esinφ];ε0為常數,滿足0<ε0<(N-1)|sinφ|。由引理1可知,方程(21)為正方程。其導數為

(22)

需要指出的是,對于φ∈S,以下不等式成立:

sinφs(φ)=|sinφ|

(23)

(φ-sinφ)s(φ)≥0

(24)

由不等式(24)可得:

(25)

對于ξ≤0的情形,不等式(25)滿足:

(26)

(27)

(28)

綜上所述,當選取合適的比例系數N、參數K以及所需的攻擊時間td時,本文所設計的制導律能夠實現視場角受限下的攻擊時間控制。需要指出的是,文獻[10]推導了較為完善的視場角約束下的攻擊時間可控范圍的計算方法。本文不再進行介紹。

3 仿真分析

為驗證所提出的攻擊時間控制制導的性能,本節將在不同條件下進行仿真驗證并與文獻[12]所提出的帶視場角約束的攻擊時間控制制導律進行對比分析,即:

(29)

仿真的統一參數為:導彈速度vm=300 m/s,加速度限制為amax=5g,g=9.81 m/s2,視場角限制為φmax=45°,初始彈目連線距離R0=10 km,初始彈目視線角θ0=0,比例系數N=3,參數K取4。

首先,在導彈的初始前置角φ0=-35°,攻擊時間td分別為33.6 s,38 s和42 s的情況下進行仿真,需要指出的是,此時導彈僅在比例導引法下制導的飛行時間為34.62 s。所得結果如圖2所示。

由圖2可知,本文所提出制導律能夠實現視場角受限下的攻擊時間控制。由圖2(a)可知,制導指令在初始階段達到最大以調整攻擊時間。由圖2(b)和圖2(c)可知,對于攻擊時間減小的控制(即ξ<0),前置角不會達到視場角邊界值。對于攻擊時間增大的控制(即ξ>0),導彈前置角將先增大到視場角邊界值,然后隨攻擊時間誤差ξ趨向于0而逐漸收斂到0,驗證了前文的分析。

在其他仿真條件不變的情況下,取初始前置角φ0=-5°,所需攻擊時間td=42 s,并與文獻[12]所提出的制導律進行對比,所得結果如圖3所示。

由圖3可知,本文所提出的制導律和文獻[12]所提出的制導律都能實現視場角受限下的攻擊時間控制。對比圖3(a)可知,本文所提出的制導律在末端的加速度變化較為平滑,且沒有達到過載限制。此外由圖3(b)本文所提方法在視場角達到邊界值的時間較文獻[12]要短。這表明本文所設計的制導律具有一定的最優性。

為進一步研究本文所提出制導律的性能,考慮φ0=0和td=38 s的極端條件,并與文獻[12]進行對比,所得結果如圖4所示。

由圖4可知,本文所提出的制導律在φ0=0的情況下能夠完成視場角受限下的攻擊時間控制,而文獻[12]控制失敗。這是因為當φ0=0時,由式(29)可知,文獻[12]所提出的制導律為控制奇點,無法進行攻擊時間控制。而本文所提出的制導律不存在控制奇點,能夠實現攻擊時間的控制。

4 結束語

本文以導彈-目標相對運動模型為基礎,對考慮視場角約束下的攻擊時間控制制導問題開展了深入研究。通過理論推導與仿真分析,可得到如下結論:

①本文所提出的攻擊時間控制制導律能夠較好地實現視場角約束下的攻擊時間控制;

②無論是攻擊時間增大(ξ>0)的控制或攻擊時間減小(ξ<0)的控制,攻擊時間誤差ξ都能先于前置角φ收斂到0,且制導指令最終收斂為0;

③本文所提出的攻擊時間控制制導律,不存在控制奇點,且控制結果具有一定的最優性。