復雜氣井套管力學分析與可靠度評價*

趙 壘，閆怡飛，王 鵬，周曉奇，馮耀榮，閆相禎

(1.中國石油大學(華東)機電工程學院，山東 青島 266580；2. 中國石油大學(華東)油氣CAE 技術研究中心，山東 青島 266580；3. 中國石油天然氣集團石油管工程重點實驗室，陜西 西安 710065；4. 中原油田分公司 石油工程技術研究院，河南 濮陽 457000)

0 引言

當前，氣井管柱的設計多使用安全系數法[1-2]，該方法屬于經驗取值法，并不能給出按指定安全系數設計的套管安全程度。隨著各種深井、超深井的不斷建立，地應力對套管安全可靠性的影響不容忽視，而地應力影響下現有設計標準中安全系數取值范圍的適用性以及如何選取氣井管柱的安全系數成為了油氣工程領域迫切需要解決的關鍵問題[3]。

建立安全系數與可靠度之間的關系為以上問題的解決提供了很好的思路[4-5]。已有學者對套管強度可靠性評價進行了研究[4-6]，但這些研究多以單一套管作為研究對象，沒有考慮地層參數隨機性的影響。楊秀娟等[7]通過建立三維數值模型，研究了地層、水泥環以及套管參數的隨機性對套管可靠性的影響，但由于隨機抽樣次數多、單次求解時間過長等原因，使得該方法在現場的應用受到一定的限制。因此，有必要建立一種快速、可靠并且可以同時考慮地層和套管影響參數及其隨機性的可靠度評價理論方法。現有氣井管柱強度設計標準要求套管承受均勻外擠載荷，當考慮非均勻地應力的影響時，套管受到的外擠載荷是非均勻的(尤其是深井、超深井)，因而不能直接使用現有標準中的強度計算公式，而這一問題也是建立可靠度評價理論方法的關鍵問題。

基于此，建立非均勻地應力和內壓共同作用下套管非均勻外擠力轉為等效均勻外擠力的方法，并通過力學分析進行有效性驗證，在此基礎上，建立套管抗擠、抗內壓可靠度計算和評價方法，進而求取安全系數與可靠指標之間的關系，以期為指定安全系數下的套管實際安全水平進行量化，對于套管(尤其是深井、超深井套管)的設計和評價具有重要意義。

1 套管強度和載荷的確定

由于根據API標準抗拉強度公式得到的值比較保守[8-9]，并且在固井良好的條件下，套管、水泥環和地層會形成良好的組合體，因此，固井后不再對套管的軸向抗拉強度進行分析和評價。

1.1 套管強度的計算方法

1.1.1 套管抗擠強度計算

套管三軸抗外擠強度比單軸抗外擠強度更符合實際情況，因此采用三軸抗擠強度公式[1-2]：

(1)

式中：pca為考慮軸向應力和內壓力后的抗擠強度，MPa；pi為套管內壓力(取鉆完井階段套管實際有效內壓力，也可以取固井后環空靜液柱壓力)，MPa；σa為套管軸向應力，MPa；Ypc為套管材料屈服強度，MPa；Dc為套管外徑，mm；δc為套管壁厚，mm。

1.1.2 套管抗內壓強度計算

與抗外擠強度類似，抗內壓強度使用三軸抗內壓強度公式[1-2]：

(2)

式中：pba為考慮軸向應力和外擠力后的套管抗內壓強度，MPa；pbo為套管生產廠商給定的抗內壓強度，也可以根據文獻[1-2]中給定的計算公式求取，MPa；ri為套管內半徑，mm；ro為套管外半徑，mm；po為套管外擠力(取管外鹽水柱壓力)，MPa；其他參數同上。

1.2 套管外載的計算方法

1.2.1 套管外擠力計算

《鉆井手冊(甲方)》建議不考慮水泥環的卸載作用[10]。理論分析和實際實驗結果表明，水泥環對套管抗擠毀能力的提升有限，前者提升不超過10%，后者小于5%[11]。因此，研究中主要考慮套管—地層組成的平面應變系統(即不考慮軸向分量)，根據文獻[8-9]并考慮到內壓的影響，套管的應力分量表示為：

(3)

式中：s1，s2，s3為不考慮內壓力和軸向應力影響的套管外擠力系數[9]，計算方法如式(4)所示：

(4)

式中：σr，σθ，τrθ依次為套管徑向應力、環向應力和切向應力，MPa；r為套管壁上任意一點與套管軸線的垂直距離，mm；θ為套管壁上一點至套管軸線的連線與最大水平主應力方向的夾角，(°)；vc，vs依次為套管和地層的泊松比，無量綱；Ec，Es依次為套管和地層的彈性模量，MPa；σ為平均地應力，MPa；s為偏差地應力，MPa；σH，σh分別為地層最大和最小水平主應力，MPa；mc為套管內外半徑之比，無量綱；C11，C12，C21，C22為中間變量，與Ec，Es，vc，vs和mc有關；R為中間變量，與Ec，Es，vc，vs，mc以及s有關；n1，n2，n3，n4為中間變量，與mc，s2和s3有關；其他參數同上。

根據Tresca屈服準則有：

(5)

因此，非均勻地應力下，考慮內壓影響的套管外壁等效外擠力pco為：

(6)

根據Mises屈服準則有：

(7)

式中：pco為非均勻地應力和內壓載荷聯合作用下的套管等效外擠力，MPa；σs為r處套管的米塞斯應力值，MPa，該值在最小水平主應力方向上取得最大值，并且在套管內壁(r=ri)上取得最大值。因此，對于套管設計或評價而言，當按照內壁屈服條件進行設計時，只須將r=ri，θ=90°，結合地層、套管參數按照式(3)即可計算套管應力分量，之后聯立式(5)、式(6)和式(7)即可計算出pco的值。當按照套管其他位置屈服進行設計時(如外壁屈服)，只須將相應的r(ri≤r≤ro)值重新帶入以上各式即可，其他參數保持不變。

為驗證以上方法的可行性，采用COMSOL軟件對相同條件下的套管等效應力進行計算(取套管內壁危險點處等效應力)。鑒于模型的對稱性，取1/4模型進行研究，數值計算模型、網格和邊界條件如圖1所示，其中，對套管區域使用四邊形單元劃分并進行加密處理，其他區域使用三角單元自動劃分，整體區域網格單元共計2 696個，套管區域為200個。根據某氣田直井現場地層壓裂和測井資料得知，某層位地層平均深度約5 000 m，水平最大、最小原位主應力依次為132和126.25 MPa，彈性模量5 GPa，泊松比0.45。該層位使用的套管性能參數如下(由現場提供)：鋼級TP140V，外徑206.40 mm，壁厚17.25 mm，彈性模量210 GPa，泊松比0.3，屈服強度965.26 MPa。圖2為不同內壓下，數值模擬法得到的套管等效應力云圖以及數值模擬法與理論法得到的最大等效應力的相對誤差(這里為相對理論值的相對誤差，用Rer表示)。從中可知，隨著內壓的增加，相對誤差不斷增加，當內壓為90 MPa時，兩者的相對誤差為11.28%，可見在內壓小于90 MPa時文中計算套管等效外擠力的方法可行。

圖1 研究用模型、網格和邊界條件Fig.1 Model, grid and boundary conditions for research

1.2.2 套管內壓力計算

氣井表層套管、技術套管和生產套管的內壓力按照文獻[2]中的方法計算，這與油井套管內壓力的計算方法有所不同。

2 套管強度和載荷的影響因素分布類型和統計參數

根據Adams等[4]、Galambos等[12]的研究工作，套管幾何和材料屬性分布類型均服從正態分布。根據文獻[13-14]的研究工作，套管外載的各種影響因素(包括誘導因素)同樣具有隨機性，并且符合正態分布規律。要說明的是，當隨機變量為非正態分布時，可以將非正態隨機變量當量化為正態變量[15]。

圖2 不同內壓下，套管等效應力云圖與最大等效應力相對誤差(Rer)Fig.2 The equivalent stress nephograms and relative errors (Rer) of maximum equivalent stresses for the casing under different internal pressures

文中符合正態分布的各變量標準值一律使用名義值。在參考相關文獻資料、現場統計數據的基礎上[12-14]，統計了套管強度和載荷影響因素的統計均值與標準值的比值以及變異系數，見表1。

3 套管可靠度計算與評價方法

套管結構功能函數Z用以下線性函數表示：

Z=R-S

(8)

當Z>0時，套管可靠；當Z<0時套管不可靠，當Z=0時，套管可靠性處于臨界狀態。式(8)中，R泛指套管強度；S泛指套管載荷。

套管可靠度的計算使用蒙特卡洛(Monte Carlo，MC)模擬法。利用建立的套管強度和載荷計算方法、強度和載荷影響因素的分布類型以及統計參數、結合結構功能函數以及“應力—強度干涉”理論，通過一定次數的隨機抽樣即可求取套管的可靠度，這里默認隨機抽樣100萬次(套管對應的失效概率在10-5量級[15])。可靠度計算的具體流程如圖3所示，其中，num用于統計套管失效次數；k為第k次抽樣；N為總體抽樣次數；XRik為第k次抽樣，第i(i=1,2,…,m)個強度影響因素的抽樣值；XSjk為第k次抽樣，第j(j=1,2,…,n)個載荷影響因素的抽樣值；Rk為第k次抽樣得到的套管強度值；Sk為第k次抽樣得到的套管載荷值；Zk為第k次抽樣的功能函數值；Ypck為套管屈服強度的第k次抽樣值；σsk為第k次抽樣得到的套管最大等效應力值；Pr為套管可靠度。

表1 套管載荷和強度影響因素的統計參數和分布類型Table 1 Statistical parameters and distribution types of impact factors of casing load and strength

注：μ1為套管載荷或強度影響因素的統計均值；μ2為套管載荷或強度影響因素的標準值。

圖3 套管抗擠和抗內壓可靠度計算流程Fig.3 Computation flow chart of anti-squeeze and anti-inner pressure reliability of casing

套管安全系數定義為強度R標準值與載荷S標準值的比值，套管可靠度Pr與可靠指標β之間有如下關系：

β=Φ-1(Pr)

(9)

式中：β為套管可靠指標；Φ-1為標準正態分布函數的逆函數。

根據JCSS《概率模式規范》中推薦的目標可靠指標選取原則，研究中選擇失效后果嚴重，采取措施成本高的目標可靠指標βT(即βT=3.7)作為評價指標，這與文獻[16]中，一類韌性結構確定的目標可靠指標一致。實際設計和評價過程中，應保證套管可靠指標滿足β≥βT。

4 實例應用

以某氣井(直井)套管評價為例。由測井井史資料(實際測量的名義值)可知，該井在2 963～3 572 m井段的巖層巖性相近(套管三開技術套管穿越該段地層)，測得的地層彈性模量和泊松比均值分別為19.3 GPa和0.35，根據壓裂測井資料，該段地層的水平最大、最小主應力與井深成線性關系，對應的梯度值分別為0.024和0.022 MPa/m，其他參數數據均來自現場，匯總于表2。利用以上建立的可靠度計算方法和評價指標，參考表1和表2中數據，對該井段的三開技術套管進行評價。經過計算可知，井深3 500 m處的套管抗擠和抗內壓可靠指標均大于8(對應的安全系數分別為1.37和6.45)，遠遠高于給定的評價指標。API 5C3標準[1]將套管抗擠安全系數范圍規定為1.000～1.125，抗內壓安全系數范圍規定為1.05～1.15。因此，無論是從常規設計角度還是可靠性角度，選擇的套管都是安全可靠的。

表2 測試數據Table 2 Test data

為說明指定條件下套管抗擠和抗內壓安全系數與可靠度以及可靠指標之間的關系，將表2中套管鋼級換成N80，其他參數保持不變，得到如圖4和圖5所示的關系。從圖4可知，套管抗擠設計的安全系數越大，可靠指標(或可靠度)越大，并且當可靠度接近1時，可靠指標快速增加，當選擇N80綱級套管時，套管的下深不應超過3 087 m(考慮地層后設計的套管安全系數應大于1.2)；套管抗內壓可靠指標始終大于3.7，對應的可靠度始終為1。因此，相同條件下，安全系數與可靠指標以及可靠度之間存在一定的對應關系。

圖4 抗擠安全系數與可靠度以及可靠指標之間的關系Fig.4 Relationship between the reliability as well as reliability index and anti-aqueeze safety factor

圖5 抗內壓安全系數與可靠度以及可靠指標之間的關系Fig.5 Relationship between the reliability as well as reliability index and anti-internal pressure safety factor

5 結論

1)推導建立了考慮非均勻地應力和內壓影響的套管實際等效均勻外擠力理論計算方法，理論和數值模擬法得到的套管最大等效應力表明兩者具有較好的一致性。

2)建立了考慮地層和套管參數隨機性的套管可靠度計算和評價方法，實例應用表明該方法能夠用于套管的可靠度評價。

3)相同條件下，套管安全系數與可靠度以及可靠指標之間存在對應關系，可以對指定安全系數下的套管安全程度進行量化，同時根據評價結果可以合理確定套管的安全系數。

4)鑒于地層參數的復雜性，相關參數的隨機性還有待于根據具體地層結構和屬性作進一步的統計積累。