考慮初始宏細觀缺陷的裂隙巖體損傷本構模型研究*

李克鋼，秦慶詞，楊寶威，張雪婭，郭 文，王 庭

(昆明理工大學 國土資源工程學院，云南 昆明650093)

0 引言

天然地質體中的巖體受地殼運動、人類開挖工程的擾動以及風化侵蝕等作用，巖體內部難以避免地會生成各種不規則原生節理、裂隙網絡。節理、裂隙的幾何尺寸、物理特性以及空間分布位置的不同，劣化了巖體本身固有的抗壓、拉、剪能力，在降低工程巖體穩定性的同時，也給多物理場下的巖體物理力學行為研究帶來了極大的困難。隨著巖石斷裂力學和統計損傷力學理論的不斷完善與發展，近年來，已有許多學者基于唯象學角度，運用損傷力學理論對存在初始宏觀節理的裂隙巖體損傷本構模型開展了大量且卓有成效的研究，例如：陳蘊生等[1]針對宏觀裂隙和微觀孔隙2類不同層次損傷的演化特征，確定了表征這2類損傷的奇異損傷變量和分布損傷變量，推導出單向受壓條件下非貫通裂隙介質損傷本構方程；趙怡晴等[2]提出考慮宏觀和細觀缺陷耦合損傷的節理巖體本構模型，證實了初始節理的存在極大地削弱了巖體峰值強度和剛度，而增大了其柔性；袁小青等[3-4]基于Lemaitre 應變等效假設，建立了考慮宏細觀缺陷耦合的非貫通裂隙巖體在受載作用下的損傷本構模型；趙航等[5]基于不同加載方式下裂隙巖體中彈性波傳播特性，建立了用彈性波波幅來表征的宏細觀裂隙耦合損傷的巖體本構模型；曹文貴等[6]從受載條件下巖石孔隙率變化反映體積變化的角度出發，建立了考慮孔隙率變化的裂隙化巖體損傷本構模型；喬彤等[7]引入自然應變，對脆性巖石壓密段建立了脆性巖石微裂紋壓密段本構模型，壓密段存在的本質亦是初始宏細觀損傷存在的直觀體現。

然而，由于天然地質體節理裂隙的離散性、復雜性以及統計分布函數特征的局限性，以上建立的本構模型在表達巖石全應力應變本構關系中存在1個共性的不足：對于初始含有宏細觀缺陷巖石在應力環境中的耦合機制不明確。巖石裂隙的發育程度對巖石各強度特征的響應規律不同，準確定義巖石初始宏細觀損傷尤為關鍵[8-9]。雖然李樹春等[10]修正的裂隙巖石初始損傷系數對含有初始損傷的巖石本構有了體現，但其損傷演化機制仍然不夠明確。

綜上，本文基于weibull分布特征的唯象學觀點，運用統計損傷力學對巖石受荷前的宏細觀損傷進行定義，優化傳統的巖石損傷演化本構模型，通過定義初始損傷，引入初始損傷系數k，建立1種基于初始宏細觀缺陷的裂隙巖體損傷本構方程，以期彌補已有本構模型在不同環境下的巖石損傷狀態表達的不足，從而揭示初始宏細觀缺陷在受力過程中的耦合演變機制，這對多物理場耦合作用研究具有重要意義[11]。

1 考慮初始狀態損傷的裂隙巖體損傷本構模型

深埋地下的巖石長期經受多物理場耦合作用影響，使得巖石隨機分布著各種微觀缺陷，這些微觀缺陷以微孔隙、微裂縫及內部微裂紋形式存在。巖石統計損傷力學理論認為，這些隨機缺陷服從某種分布，可以通過巖石內部微單元強度變化進行量化，從而研究微缺陷的產生、擴展到損傷累積形成宏觀損傷致使巖石失效的過程，其反映的是材料失效的必然性，因此，巖石損傷統計理論得到了較好的發展與應用。

1.1 基于weibull 分布特征的完整巖石受壓損傷本構模型

假定巖石材料微單元強度服從weibull 分布[12]，則有：

(1)

式中：m和a均為常數；ε為材料壓縮產生的應變。

材料微單元強度服從weibull分布，則可認為材料的損傷D亦服從該分布[12]，則有：

(2)

式中：D為發生破壞的微元占總體微元的比例。

將式(2)帶入式(1)，求解得：

(3)

根據巖石損傷力學可知，巖石受壓損傷時，引入損傷變量D后的全應力-應變關系式為：

σ=Eε(1-D)

(4)

式中：σ為名義應力，MPa ；E為巖石材料彈性模量，MPa。

將式(3)帶入式(4)，有：

(5)

材料常數a，m計算公式如下[12]：

(6)

(7)

則可得完整巖石受荷過程損傷本構關系：

(8)

式(8)中m與式(1)中材料常數意義等同，從物理學意義上，m值越大，反映出材料越接近彈性或脆性狀態，反之則越接近于塑性狀態；從統計學角度，m值越大，反映出材料越均勻，反之則越離散。因此，可利用形狀參數m反映巖石材料的塑性特征。

1.2 考慮初始狀態損傷的裂隙巖體損傷本構模型

1.2.1 巖體初始損傷變量的定義

對于完整巖石定義初始損傷變量D=0，即巖石內部不存在宏細觀缺陷。事實上室內試驗中取芯機所取巖樣在試驗前均存在宏細觀缺陷，裂隙巖體更是如此。為此本文在定義初始狀態含宏細觀缺陷損傷變量中作出以下假設：

1)試驗過程中不存在宏細觀缺陷的巖石材料始終為線彈性材料。

2)對于宏細觀缺陷的區別以肉眼可見和不可見為基準；研究表明：宏觀裂隙的存在導致巖體力學特性顯現出明顯的各向異性，細觀缺陷則顯現出各向同性特征[13-15]，初始宏細觀損傷對巖石的力學響應特性不同，因此有必要展開初始存在宏細觀缺陷對巖石的響應機制研究。

3)將巖石試樣試驗前存在的損傷狀態定義為靜態損傷，靜態損傷巖石材料即表征含有宏細觀缺陷的巖石，采用D1表示試驗前含有初始宏觀缺陷巖石損傷，D2表示試驗前含有初始細觀缺陷巖石損傷；將由應力環境改變引起的新附加損傷定義為動態損傷，動態損傷為因受力狀態、加載方式以及加載方向等外部條件變化引起的損傷。采用D3表征巖石在受荷載過程中產生的附加損傷，即動態損傷。

4)含有缺陷的巖石在受荷過程中損傷不斷累積，直至發展成宏觀損傷破壞。從集合的角度，如圖1所示，D1表示為試驗前巖石試樣中宏觀缺陷的集合，D2表示為試驗前巖石試樣中細觀缺陷的集合，受力過程中D3均與受力前存在的初始宏細觀缺陷發生貫通交互作用，用全集Ω表示無損巖石材料，則受荷載過程中宏細觀耦合損傷之間的關系可用集合D123表示為：

D123=D1∪D2∪D3-[(D1∩D3)∪(D2∩D3)]

(9)

圖1 裂隙巖體受荷損傷機制示意Fig.1 Schematic diagram of the damage and damage mechanism of fractured rock mass

由圖1中的集合關系可知，試驗前巖石的損傷程度(即初始存在的宏細觀損傷)可用損傷變量D12表示：

D12=D1+D2

(10)

試驗過程中受荷載時，D3與試驗前存在的初始損傷發生耦合關系，根據損傷原理和Lemaitre應變等效假設可知，試驗前含有損傷的巖石彈性模量可等效為：

E12=E(1-D12)

(11)

受力過程中巖石的損傷是漸進連續的，則連續耦合損傷巖石材料的彈性模量為：

E123=E12(1-D3)

(12)

將式(10)、(11)帶入式(12)可得：

E123=E(1-D1-D2-D3+D2D3+D1D3)

(13)

式中：E123為裂隙巖石彈性模量，MPa；E為完整巖石彈性模量，MPa。

則巖石在受力過程中初始宏細觀缺陷耦合損傷變量D123：

D123=D1+D2+D3-(D1+D2)D3

(14)

試驗前，當巖石只含初始宏觀缺陷損傷而無細觀缺陷損傷時(D2=0)，巖石耦合損傷D123=D1；當荷載環境變化產生動態損傷D3耦合作用時，D123=D1+D3-D1D3。同理，當只有初始細觀缺陷損傷而無宏觀缺陷損傷時(D1=0)，在受力環境下D123=D2+D3-D2D3，與實際情況吻合。并能夠解釋劉紅巖等[16-17]認為文獻[5]提出的宏細觀耦合損傷變量D23=D2+D3-D2D3缺乏理論基礎的原因，在于其將宏細觀損傷簡化為宏觀可視損傷，即文獻[5]的定義方式為本文中單純考慮存在初始宏觀缺陷時在受壓試驗過程中的耦合損傷，文獻[13-15]已述細觀損傷對巖石的影響與宏觀不同，因此本文定義的損傷變量是合理的，且更全面、具體，物理意義更加明確。

1.2.2 含初始缺陷損傷巖石本構模型

當不考慮初始細觀損傷影響時，式(14)表征的是考慮初始宏觀損傷影響的耦合損傷變量；當不考慮初始宏觀損傷影響時，其表征的是考慮初始細觀損傷影響的耦合損傷變量。而對于宏觀裂隙，其影響為各向異性，需將其進行張量化(即將損傷變量標量化)，張量化后D1=Disin2β[2]。對于細觀損傷D2的確定，由于其產生的影響為各向同性，則張量化后結果相同，即D2=D2。因肉眼難以看見，不便于測量和量化，目前則更多依賴于無損檢測儀器(如核磁共振弛豫測量、CT等)以及實驗數據的擬合求解。初始損傷系數表征巖石試驗前巖石的完整程度，則：

k=1-(D1+D2)

(15)

式中：k為初始損傷系數；D1，D2均為張量化后結果。

將式(15)帶入式(14)，可得到試驗過程中考慮初始狀態宏細觀損傷缺陷的耦合連續損傷D123：

D123=1-k+kD3

(16)

式中：D3為由受力引起的巖石內部發生破壞微元與巖石總體微元的比例。

由于微元破壞發生的隨機性，假設巖石微元強度服從weibull隨機分布，則D3可等效為完整巖石受力發生破壞的微元占總體微元的比例，即：

(17)

結合式(4)和式(16)，同理可得出對試驗前含有初始宏細觀缺陷損傷的巖石受壓過程應力應變本構關系：

σ=E123·ε·(1-D123)

(18)

式中：σ為名義應力，MPa；E123為裂隙巖石材料彈性模量，MPa；D123為試驗時受力過程中巖石內部破壞微元占總體微元的比例。

將式(16)、(17)帶入式(18)可得裂隙巖石受荷載過程中全應力應變本構方程：

(19)

設微單元破壞前服從廣義虎克定律，即可將考慮初始狀態損傷全應力應變損傷本構方程推廣至三維：

(20)

式中：E為巖石單軸壓縮彈性模量，MPa；k為初始損傷系數；μ為巖石泊松比；σ2，σ3為圍壓，MPa其他符號意義同上。

該方程表征了復雜應力條件下，基于唯象學觀點建立的服從weibull分布特征裂隙巖體全應力應變損傷本構關系，m表征裂隙巖石材料微元強度的離散性或宏觀塑性強弱特征。

2 初始宏細觀缺陷損傷演化特征

2.1 基于weibull分布特征的宏細觀損傷參數演化特征

上述確定了含初始宏細觀缺陷巖石受荷過程損傷與力學的關系，式中初始損傷系數k和微元強度分布參數m反映了受力作用時巖石的力學特征以及損傷狀態。由式(16)可知耦合損傷與靜態損傷、動態損傷的耦合關系，如圖2所示。

圖2 靜態損傷與動態損傷耦合關系Fig.2 Static damage and dynamic damage coupling curve

由圖2可知，巖石所能承受的臨界損傷Dcr是一定的，在受力過程中，動態損傷D3以同等速率增加，則初始損傷越大，其達到臨界損傷所需時間越短，即所需破壞時間越短，這與實際是吻合的。假設耦合損傷達到某一定值，將式(15)帶入式(16)可得初始損傷在此過程中的演化過程，演化曲線如圖3所示。

或

(21)

同理：

(22)

(23)

圖3 受荷過程損傷演化Fig.3 Damage evolution curve of the loaded process

圖3顯示出宏細觀損傷在受荷過程中的演變過程，巖石在受荷過程中經歷了4個損傷演化階段：

1)初始的“無損”階段。并不是真正“無損”，而是由于孔隙、微裂隙的壓密過程并未產生或很少產生新附加損傷。

（2）雖然當前世界局勢以和平為基調，各個西方大國的社會形勢相對穩定，但是石油儲量最為豐富的非洲一些國家近年來國內政局并不穩定，領導人經常更替，不利于勝利油田海外業務的發展。

2)彈性損傷階段。該階段宏細觀損傷穩定擴展，且擴展緩慢，意味著彈性變形對巖石的損傷影響較小，其損傷主要來自于微元強度較弱的基元。

3)塑性損傷階段。巖石受壓發生塑性損傷，塑性變形使得損傷面積快速增長，顯現為損傷加速擴展。

4)峰后損傷破壞階段。峰后巖石主要發生塑性變形，巖石損傷表現為迅速擴展，巖石完整性隨之迅速下降，最終導致巖石破壞。

此演化過程與楊永杰等[18]的物理試驗結果吻合。

2.2 weibull分布參數m力學響應分析

前文已經敘述了weibull分布參數m變化帶來的響應變化，分布參數m是表征微元強度離散性大小的綜合指標，也是宏觀強度差異存在的直觀表征。因此，分析分布參數m在本文本構方程中帶來的力學響應及其損傷演變過程，可揭示巖石受荷損傷過程宏細觀缺陷耦合損傷機制。

根據巖石損傷的定義，當巖石達到峰值強度時的損傷為臨界損傷Dcr，因此，具有初始宏細觀損傷的缺陷的巖石峰值強度σp：

或

(24)

σp=Eεmax(1-Dcr)

由式(24)知，巖石的初始損傷系數與其峰值強度呈線性遞增關系，與巖石微元強度分布參數m成負指數關系，從連續損傷的角度，同種性質的巖石初始損傷越大，巖石破壞所需強度越低。則可將初始損傷系數k作為裂隙巖石相比于完整巖石的強度折減系數，1-k則表示損傷場-應力場耦合影響因子，初始損傷系數可通過物理試驗確定:

(25)

式中：E為巖石彈性模量，MPa；EM為過峰荷點的割線模量，MPa；σp為峰值強度點，MPa；εmax為峰值應變。

3 模型驗證與分析

3.1 本構模型驗證

為驗證文中所建立的三軸受壓損傷演化本構關系的準確性，引用文獻[19]的試驗數據，分別對砂巖圍壓為0，3.45，6.90，13.80 MPa時的三軸壓縮試驗數據進行驗證，依據本文公式計算出對應不同圍壓下的物理力學參數，見表1，由三軸試驗結果擬合得到圍壓與峰值強度和分布參數m的關系如圖4所示。

表1 巖石物理力學參數Table 1 Rock physical and mechanical parameters table

圖4 峰值應變/分布參數m與圍壓關系Fig.4 Relationship between peak strain/distribution parameter m and confining pressure

根據圖4中擬合結果，得到峰值應變、分布參數與圍壓關系：

εmax=2.784+0.082 15σ3

(26)

m=3.53-0.064 8σ3

(27)

由此可認為，對于圍壓對彈模影響較小的紅砂巖，在不同圍壓作用下的峰值應變滿足線性遞增規律，分布參數滿足線性遞減規律，該線性關系為：

y=a+bσ3

(28)

式中：a，b分別為擬合參數，可由試驗數據擬合求得。

則根據本文模型，紅砂巖三軸壓縮本構關系為：

(29)

式(29)中假設圍壓對彈性模量沒有影響(如本文所引用數據)，則彈性模量即為單軸壓縮下的彈性模量，可根據單軸壓縮試驗獲取三軸壓縮試驗結果。模型擬合結果如圖5所示。

圖5 本文模型與實測曲線對比Fig.5 Comparison between the curve of this paper and the measured curve

由圖5可知，本文本構模型對不同圍壓下的紅砂巖全應力-應變過程擬合精度較高，說明其合理性與準確性，表明模型是可靠的。

3.2 含初始宏細觀損傷巖石不同圍壓損傷演化特征

以往大量的研究中并未考慮初始宏細觀損傷的影響，根據本文建立的損傷演化模型，得出含初始宏細觀耦合損傷的三軸壓縮損傷演化曲線如圖6所示。

圖6 紅砂巖三軸壓縮損傷演化過程Fig.6 Evolution process of triaxial compression damage of red sandstone

由圖6可以看出：巖石三軸壓縮損傷演化過程經歷“無損”→損傷穩定發展→損傷加速累積→損傷迅速累積破壞4個過程。且不同圍壓下的損傷擴展速率不同，即隨著圍壓的增大，損傷擴展速率放緩，這是由于圍壓作用巖石塑性軟化作用加強，變形承載能力增加。因此，圍壓的作用可有效延長巖石破壞的時間，增大巖石承載能力，這也揭示了巖石的巖爆發生機制，即卸除圍壓損傷累積速率加快，導致巖石破壞具有突發性的特點。

4 結論

1)優化后的本構模型對含宏細觀缺陷的巖石三軸受壓應力應變過程擬合精度高，參數明確。

2)定義的宏細觀損傷變量揭示了初始宏細觀損傷在受荷過程中的耦合作用，定義的初始宏細觀損傷系數k可作為裂隙巖石的強度折減系數，(1-k)則可作為損傷場-應力場耦合影響因子。

3)巖石三軸受壓時經歷4個損傷演變過程，“無損”→損傷穩定發展→損傷加速累積→損傷迅速累積破壞，4個過程表征著巖石受壓損傷隨變形增加的演變機制，且隨著圍壓的增大，巖石損傷速率放緩，破壞時臨界損傷增加，塑性承載力增強。

4)引用的文獻數據均來自紅砂巖，因此針對其他類型含有宏細觀缺陷的巖石仍有待進一步研究。