基于IMM-RDCKF的機動目標跟蹤算法

(中國電子科技集團公司第二十研究所， 陜西西安 710068)

0 引言

目標跟蹤是利用傳感器獲得關于目標的不精確的觀測信息，對目標狀態持續進行準確的估計和預測目標的真實信息。目標運動的不確定性、目標機動能力日益增強都使得準確估計目標的運動狀態日益困難。在這種情況下，交互多模型混合估計方法被認為是一種最有效的混合估計方案。

交互多模型算法(IMM)是由Blom和Bar-Shalom提出的一種軟切換算法，應用很廣泛。近年來IMM研究的主要內容第一層是變結構交互多模及模型集自適應、轉移概率自適應，而第二層是目標運動模型、非線性濾波器及其參數自適應。雖然IMM的機理從理論上仍然無法論證清晰，但交互多模型混合估計方法仍然成為機動目標跟蹤領域主流的混合估計方案。

Markov轉移概率是IMM算法的重要參數之一，影響子模型之間的交互與模型切換速度，一般是先驗給定的。這必然會與目標的實際運動狀態不匹配，引起濾波跟蹤精度下降。因此，轉移概率的實時自適應一直是國內外學者探討的重要內容[1-4]。

在目標跟蹤系統中，解決非線性濾波最常用的方法是EKF方法及其相關改進算法。CKF算法是近年來新出現的一種非線性濾波算法，該算法利用了三階球面-徑向容積積分準則進行了嚴密的數學推導，在理論上對該算法具有嚴格的保證[5-6]，估計精度和數值穩定性都比較高。在對CKF算法深入研究的基礎上，有學者提出了降維CKF算法[6-7]，并將降維CKF成功應用于工程實踐[7-8]。

本文針對機動目標跟蹤，基于降維CKF，線性簡化CKF[9]，采用時變Markov轉移概率IMM算法，設計了交互式多模型降維容積卡爾曼濾波算法( IMM-RDCKF)，提高了算法的魯棒性和估計精度。仿真表明，計算量約為IMM-CKF的一半，僅比IMM-EKF增加約30%，目標跟蹤精度提升，便于工程應用。尤其是勻速運動速度估計精度提升約27%。這對于預警探測、火力控制、指揮控制等軍事應用領域具有非常重要的意義。

1 問題描述

常規氣動目標的機動可以假設為目標在不同時間段依據不同的運動模型，因而機動目標的運動模型可以假設為具有加性高斯噪聲的混合系統，是典型的非線性系統，其數學描述如下：

(1)

式中：Xk是k時刻系統狀態變量；Zk是k時刻的系統量測變量；Fk是系統狀態轉移矩陣；Wk是過程噪聲Wk～N(Wk；0,Qk)；hk(Xk)是非線性測量函數；Vk是觀測噪聲為Vk～N(Vk；0,Rk)。Wk與Vk相互統計獨立。

本文中，系統狀態向量三維空間中的9維向量：

雷達量測點跡在以雷達天線原點為中心的三維球坐標系下獲得的距離r，方位角α，俯仰角β，量測向量為

(2)

式中，ωr，ωα，ωβ分別為距離、方位和俯仰角的量測噪聲。

考慮目標加速及轉彎影響，目標運動模型選擇三維協同轉彎模型(3DCSCT)、擴維勻速直線運動模型(CV)，3DCSCT相應的過程噪聲Q(ω)參見文獻[10]。

(3)

(4)

2 CKF算法

2.1 CKF算法

CKF是基于高斯假設的貝葉斯濾波估計的基本框架，通過容積準則能將非線性濾波問題轉化成為高斯概率密度函數加權的多維幾何體的容積計算。

設離散非線性系統為

(5)

式中：f(·)和h(·)為已知任意函數，系統噪聲為Wk～N(Wk；0,Qk)；觀測噪聲為Vk～N(Vk；0,Rk)。

根據三階球面-徑向容積積分準則，CKF算法[5]的實現步驟為：

計算狀態預測：

xi,k|k-1=f(xi,k-1)

(6)

(7)

計算量測預測：

zi,k|k-1=h(xi,k|k-1)

(9)

(10)

計算協方差和互協方差：

(11)

(12)

狀態更新：

(13)

(14)

(15)

2.2 線性簡化CKF算法

在實際的工程應用中，狀態方程、量測方程并非都是非線性的。例如導航領域中，量測方程是線性的；目標跟蹤應用領域中，其狀態方程是線性的。此時，針對線性的模型方程，常規線性Kalman濾波算法理論上是最小均方準則最優的，因此可以直接用線性Kalman濾波進行運算[9]。

針對式(1)描述的目標跟蹤應用場景，一步預測步驟可以簡化為

(16)

(17)

即為KF算法的一步預測過程，其濾波精度與式(6)～式(8)相當。

2.3 降維CKF算法

常規CKF算法采樣點均是系統狀態向量維數的2倍。對于導航、目標跟蹤等特殊非線性模型，可以發現，影響系統非線性的只是其狀態向量的部分元素，引起線性Kalman濾波算法無法使用，而只能使用非線性濾波算法。例如針對式(1)的EKF算法中，其量測矩陣H中，只有1，4，7列針對位置的偏導數不為零，而2，3，5，6，8，9列針對速度、加速度的偏導數均為零。因此在增益計算中：

Kk=Pk|k-1HT(HPk|k-1HT+R)-1

實際只有Pk|k-1的1，4，7行、列中的位置協方差對增益有貢獻。據此，可以對EKF算法作一定程度的精簡。

對于目標跟蹤應用系統采用CKF濾波過程中，同樣存在類似情況。其系統由式(1)描述，狀態方程是線性的，量測方程的非線性僅與直角坐標下目標的位置x,y,z有關。對線性變量和非線性變量進行區別處理，減少采樣的容積點，有利于降低計算復雜度，減少計算量[6-9]。由于降維CKF依然采用三階球面-徑向容積積分準則，理論估計精度為三階多項式精度，因此濾波精度與常規CKF相當，針對目標跟蹤的CKF算法量測更新過程可以進一步簡化。

首先，對系統狀態向量調整順序，變為

對協方差Pk同步進行調整，把位置x,y,z有關的矩陣元素調整到前t行前t列，即矩陣的左上角。針對目標跟蹤應用場景，t=3。

zi,k|k-1=h(ζi,k|k-1)

(18)

(19)

計算協方差和互協方差：

(20)

(21)

至此，式(13)～式(21)構成完整的線性簡化降維CKF(RDCKF)算法，將此算法與交互多模型算法結合，即可構成IMM-RDCKF算法。

2.4 模型轉移概率實時修正

IMM算法的輸出是各個子模型輸出結果以模型概率加權作為最終的濾波估計，各子模型依據馬爾科夫鏈以一定的轉移概率進行切換。因此，模型概率表征了子模型對目標運動的匹配度。本文采用了文獻[2]的方法，實時修正模型概率。

對于IMM算法的r個子模型，k時刻子模型j的概率μj(k)，Markov矩陣中子模型i到子模型j的轉移概率為pij(k)。則

pij(k)′=κj(k)pij(k-1),i,j=1,…,r

(22)

式中，κj(k)=e(μj(k)-μj(k-1))。

進一步歸一化處理：

(23)

該算法通過子模型后驗概率自適應地遞推估計模型轉移概率，提高匹配模型的概率，抑制非匹配模型的概率，因而可以提高濾波過程中的模型切換速度，從而提高跟蹤精度和收斂速度。

2.5 協方差矩陣對稱性和半正定性保障

在仿真實現過程中，發現由于數值計算誤差的累積，經常出現協方差矩陣非正定導致Cholesky分解無法進行，遞推中斷。因此，對代碼實現進行了優化：

(24)

采用式(24)替換式(15)，消除了誤差累積，極大地提高了算法的魯棒性。

同時，EKF算法在遞推過程中，同樣存在數值計算誤差、一階泰勒展開截斷誤差的累積導致協方差矩陣不可逆。因此EKF算法僅僅由于運算簡單而廣泛使用，但同時要忍受其精度較差、魯棒性差的缺點。

平方根算法的優點在于遞推中直接傳遞協方差矩陣的平方根而避免了Cholesky分解、奇異值分解等各種平方根分解步驟，因而魯棒性較好。但是對于各種改進算法，如過程噪聲自適應、量測噪聲動態估計等，增加了Q，R的平方根分解，算法步驟過于復雜，計算效率不高。此時，本文算法的一系列改進既能保證精度，又能保證魯棒性，還能進一步疊加過程噪聲自適應、量測噪聲動態估計等其他改進方法，其工程價值較高。

3 算法實現與仿真

3.1 仿真場景

目標在三維空間的初始狀態為[120 000； -426；0；2 000；0；0；2 000；0；0]，采用周期T為1 s，雷達量測誤差距離標準差100 m，方位、俯仰角度標準差1°，初始協方差為P0=diag([100，10，1，100，10，1，100，10，1])，過程噪聲方差陣為Q=diag([80，10，10，80，10，10，80，10，10])。仿真時長200 s，目標發生機動時刻及加速度大小如表1所示，其余時間作勻速運動，進行100次蒙特卡羅仿真。本文的算法在仿真時采用擴維CV，3DCSCT模型，作為對比，常規三模型IMM子模型選擇CV，CS，3DCSCT。仿真平臺是Intel Core i5-3470，主頻3.2 GHz CPU，4 G內存的PC機，軟件環境是Matlab 2013a。

算法性能評價指標為均方根誤差：

(25)

IMM-RDCKF初始轉移概率矩陣：

三模型IMM轉移概率矩陣為

表1 目標機動運動情況表

3.2 仿真結果分析

仿真結果表明，本文算法和IMM-CKF算法都可以對目標運動進行有效跟蹤。經過分析表明，IMM-RDCKF與常規IMM-EKF、IMM-CKF算法相比較，優點在于以下幾點：

1) 跟蹤精度提高。本文算法通過實時修正模型轉移概率，使與目標運動匹配的模型概率增大，加快模型切換速度，最終提高了精度，如圖1所示。從表2可以看出，在全航路，距離精度提高8.2%，速度精度提高12.9%；尤其是在勻速段，速度精度提升26.9%。另一方面，在圖2中，細實線表示IMM3-EKF算法，由于IMM3中存在模型競爭，實際濾波效果比本文算法還差。

2) 算法效率提升。采用線性簡化狀態方程、對量測方程降維處理。與IMM2-EKF相比，時間增加了35%；與IMM3-EKF相比，時間減少了21%；與IMM2-CKF相比，時間減少了53%。

3) 算法穩定性提高。本文算法在實現時，優化了實現步驟，避免了CKF算法實現時數值計算誤差積累造成的平方根分解錯誤，因而不必采用平方根算法即可保證算法的穩定性，同時也比EKF穩定性強。

表2 算法性能對比

4 結束語

本文提出的時變轉移概率IMM-RDCKF算法，充分利用了量測方程中只有部分狀態變量是非線性的特點，只對非線性狀態變量采樣，不僅減小了計算量，而且繼承了CKF算法濾波精度高的優點，有效克服了常規IMM-CKF算法計算量大的缺點；同時通過優化代碼，消除了計算過程的數值計算誤差積累，保障協方差矩陣在濾波過程中始終保持對稱和正定，提高了算法穩定性；通過實時修正模型轉移概率，使與目標運動匹配的模型概率增大，加快模型切換速度，最終提高了精度。因此，本文提出的時變轉移概率IMM-RDCKF算法在計算效率、跟蹤精度、魯棒性方面都比常規交互多模算法強，是一種工程應用價值比較高的機動目標跟蹤算法。