變剛度連續型機械臂設計與控制

耿仕能，王友漁，陳麗莎，王 聰，康榮杰

(1. 天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津 300350；2. 北京空間飛行器總體設計部，北京 100086； 3. 天津工業大學機械工程學院，天津300387)

0 引 言

建立穩定的空間在軌服務系統是太空資源開發的重要手段。通過研制先進空間機械臂完成面向合作或非合作目標的各類操作任務已經成為空間自主在軌服務技術的重難點[1]。在對非合作目標進行操作時，由于目標的不可控性，難免會發生接觸碰撞或者意外干涉產生沖擊，解決這一問題的辦法是根據操作步驟和外部環境調節機械臂剛度來協調安全性與操作精度的平衡關系[2]。

目前，傳統的剛性機械臂主要是依靠主動控制調節整體剛度，包括力位混合控制和阻抗控制。Paul[3]和Craig[4]等人提出的力位混合控制器可將末端執行器上任意方向的力和位置通過雅克比矩陣映射到各個關節控制器上。Zhang[5]等人運用等效的關節位置環代替操作空間的位置環對力位混合控制進行改進，一定程度上降低了控制計算量。阻抗控制是將未知的環境等效為一個阻抗模型，將力控制轉換為位置控制的方法。Hogan[6]等人首先提出阻抗控制的概念，Salibury[7]等基于阻抗控制提出機械臂剛度的主動控制方法。雖然這兩種主動柔順控制方法可以調節機械臂末端或關節處的剛度，但對系統實時性計算能力要求高，參數尋優過程非常復雜，并且很難保證機械臂在所有方向和部位都具有良好的柔順性，具有一定局限性。

為更好解決接觸碰撞引起機器人運動和受力突變的問題[8]，另一種思路是將具有被動柔性的連續型機械臂應用于可能產生碰撞的空間任務操作中。連續型機械臂是具有類似于章魚觸須柔性結構的新型仿生機械臂[9]，在操作碰撞或意外干涉發生時，可依靠其本身的被動柔順性來保證接觸的安全性，而且對碰撞的方向、強度適應性更強。但進行操作時，過高的柔性卻會削弱其承載能力與操作精度。通過有效的物理變剛度方法和閉環運動控制算法可以較好的解決這一矛盾，改善其操作性能。

目前連續型機械臂的物理變剛度方法主要可以分為兩種，一種是通過絲驅動增加模塊之間的內摩擦力，另一種是將連續型機械臂與Jamming機構相組合。麻省理工學院Chen[10]等人提出了一種由球形關節嵌合串聯而成的可變剛度連續型導管，通過絲驅動改變球形關節之間的摩擦力提高整體剛度保持導管目標形狀?？突仿〈髮W的Degani[11]等人設計了一種可按指定路徑緩慢推進的連續型內窺鏡，變剛度驅動絲可提高模塊間球鉸鏈的摩擦力來改變整體剛度。絲驅動變剛方法的原理與實現相對簡單，但變剛度作用力容易對機械臂構型造成影響。Jamming阻塞機構是一種通過改變粒狀介質之間的摩擦力來使物體在類流體狀和類固體狀態之間發生可逆轉換的機構。Cheng[12]等將阻塞機構與線繩驅動的連續型機器人相結合起來，阻塞機構被密封在機械臂內部，通過控制氣壓來控制機械臂的整體剛度。為了克服傳統阻塞機構體積龐大的缺點，Kim[13]等人設計了一種鱗狀阻塞機構包覆于機械臂外層，留出了機械臂的內部通道。阻塞機構具有更好的變剛度效果，但是大量固體顆粒改變了機械臂的彈性特征，另外真空泵等額外裝置的加入，使系統復雜化。

目前連續型機器人的運動控制主要是基于逆模型的開環控制。Walker[14]等采用模塊等曲率彎曲假設來分析連續型機械臂的運動學特征，簡化描述連續型機械臂的運動規律。由于假設存在誤差以及構型容易受外力影響的原因，簡化模型控制精度不佳。Rucker[15]等人建立了連續型機械臂的一般動力學模型，但是模型非常復雜，難以求出解析解。Baek[16]和Rone[17]分別用有限等曲率微元段來描述二維和三維的連續型機械臂形狀，用有限參量表達構型，但仍然需要求解大規模非線性方程組，無法運用于實時控制當中。目前連續型機器人的精確控制與復雜模型之間的矛盾還未得到較好解決。

綜上，在容易發生碰撞接觸的空間操作任務中，連續型機械臂相對于剛性機械臂具有更好的適應性和安全性，但需要增加有效的物理變剛度方法和運動控制策略，才能彌補結構柔性所導致負載能力和操作精度不足的缺點。本文以提升連續型機械臂的操作能力，平衡操作安全性與操作精度的關系為目的，提出了一種適用于絲驅動連續型機械臂的變剛度機構，并對變剛度控制策略進行初步研究，同時提出一種基于末端位置傳感器位置反饋的閉環控制器。本文著重研究可用于空間操作的連續型機械臂在物理變剛度及閉環控制方面的基本理論和實現方法，并設計搭建了樣機平臺進行驗證。對于實際投入空間操作的機械臂，還需進一步考慮高真空、大溫差，強輻射等環境特點以及操作目標的質量、體積、自旋及章動等物理特征進行工程化設計。本文第1部分闡述了機械臂及其驅動裝置的結構設計和變剛度機構的原理及設計；第2部分運用單關節等曲率模型對機械臂進行運動學分析；第3部分給出基于運動學模型的機械臂末端軌跡的閉環運動控制方法及變剛度控制策略；最后，在第4部分進行了運動控制和變剛度控制的實驗驗證。

1 可變剛度連續型機械臂的設計

本文所提出的可變剛度連續型機械臂樣機如圖1所示，由可變剛度連續型機械臂本體、末端執行器、驅動箱和電器柜組成。連續型機械臂總長度為960 mm，外徑為38 mm。其表面覆蓋了一層尼龍編織網套。末端執行器和連續型機械臂之間具有標準互換性接口，可根據任務需求更換不同的末端執行器，圖中為一個三爪夾持器，由直線步進電機驅動，中央安裝有一個微型攝像頭。以下將分別介紹各部分的具體結構。

1.1 機械臂本體設計

以超彈鎳鈦合金作為中央脊椎絲和驅動絲，機械臂采用脊椎式結構設計。如圖2所示，連續型機械臂一共包括兩個連續型模塊，本文中稱連續型關節?？拷寗酉涞年P節定義為關節1，末端關節定義為關節2，每個關節長度為480 mm。每個連續型關節由連接盤、中央脊椎絲和圓周120°間隔均勻分布固定在對應關節末端盤的三根驅動絲組成，其中關節2的驅動絲穿過關節1與驅動箱連接，關節2的驅動絲與關節1驅動絲之間相錯60°。中央脊椎絲和所有驅動絲的材料都為超彈鎳鈦合金，具有非常好的彈性和強度，保證了連續型機械臂本體的柔順性和可靠性。另外，這種硬質彈性絲能承受推力的性質使得它的驅動效率和驅動精度更高。所有連接盤在中央脊椎絲上等距分布并與中央脊椎絲固聯，驅動絲與對應關節末端連接盤固聯，但是與關節內其它連接盤沒有固聯，可以發生相對滑動。因為中央脊椎絲長度不可改變，以不同長度組合推拉各驅動絲時，中央脊椎絲和所有驅動絲在各連接盤的約束下發生彎曲變形，即實現了運動。對于不同的驅動絲長度組合，連續型機械臂都有一個唯一的構型與之對應。

1.2 驅動箱設計

驅動箱包含了用來驅動連續型關節驅動絲的所有部件。驅動絲推或拉的直線運動通過絲桿滑塊傳動機構來實現。如圖3所示，一組絲桿、滑塊、導軌組成一個傳動模塊。根據連續型機械臂驅動絲數量，驅動箱內一共包括六個周布的傳動模塊，各驅動絲與對應的傳動模塊的滑塊固聯。為檢測驅動絲的驅動力，每個傳動模塊中在驅動絲的對稱位置處布置了一個拉壓力傳感器，此另外拉壓力傳感器還可用來檢測因環境因素(比如溫差)引起的驅動絲應力變化，由此調整各驅動絲零位，補償環境變化所致的應力、應變對系統的影響。圖3所示為整個驅動箱可以分為兩個部分，圖中左半部分包含六組傳動模塊，右半部分用于布置電機和電機驅動器，電機和對應傳動模塊的滾珠絲桿通過聯軸器連接。

1.3 變剛度機構設計

為改善連續型機械臂柔性結構負載能力和定位精度不夠高的問題，引入變剛度設計。該連續型機械臂的變剛度機理是通過改變驅動絲與連接盤的摩擦力f控制它們之間相對運動實現的。如圖4所示，如果能增加連接盤與驅動絲之間的接觸壓力N，從而提高所有接觸點的摩擦力f來限制連接盤與驅動絲的相對運動，則可提高連續型關節整體抵抗變形的能力，即提高剛度。具體鎖緊方法如圖5所示，在每個連接盤上周向均勻分布鉸接了三個帶有橡膠帽的銅片。相鄰連接盤上成對的銅片在溫控記憶合金(SMA)彈簧收縮驅動作用下，橡膠帽會壓緊驅動絲來限制驅動絲與連接盤之間相對運動。SMA彈簧在初始長度確定的條件下，其驅動力只與溫度有關，SMA彈簧電阻一定時，溫度與通路電流大小有關，因此只需設計電路控制SMA彈簧的通路電流I就能控制變剛度機構的鎖緊壓力N，從而控制連續型關節的剛度發生變化。

2 機械臂的運動學分析

2.1 驅動空間、構型空間與工作空間的映射關系

基于單關節等曲率平面彎曲的假設，每個不可伸縮的連續型關節具有兩個自由度，即彎曲程度與彎曲方向[18]，因此采用四個參數便能完全描述該雙關節機械臂構型，具有四個自由度。為方便運動學分析，將連續型機械臂相關的運動學參數劃分成三個空間，即反映驅動絲長度的驅動空間L=[l1,1l1,2l1,3l2,1l2,2l2,3]T，描述機械臂形狀的構型空間Ψ=[θ1φ1θ2φ2]T,和描述末端絕對坐標值的工作空間Q= [xyz]T。其中驅動空間中li,k表示第i個關節的第k根驅動絲的總長度(i=1,2;k=1,2,3)，驅動絲編號規則如圖6所示。圖7中，在與驅動箱固聯的基盤和兩個關節末端分別建立基坐標系{0}和兩個局部坐標系{i}(i=1,2)，其中θi為關節i在其主彎曲平面內的彎曲圓心角，主彎曲平面即彎曲圓弧所在平面；φi為主彎曲平面與該關節的基準坐標系{i-1}的x軸之間的轉角。

根據實際樣機設計，以上定義的構型參數取值范圍為θi∈[0, π/2]，φi∈[0, 2π]。另外已知各關節的中央脊椎絲的長度為lba,i=480 mm (i=1,2)，以及對應驅動絲與{0}坐標系x0軸之間的夾角ωi,k，如圖6中標注ω2,1=60°，周向驅動絲之間夾角相差為60°。

根據驅動絲與中央脊椎絲的幾何關系可以得到驅動空間與構型空間的映射關系如式(1)所示，如圖6，R為驅動絲的分布半徑,R=15 mm。

(1)

基于坐標系的幾何關系可以得到坐標系{i-1}到{i}的變換矩陣Ti(i=1, 2)如式(2)，Rot表示旋轉變換，Tr表示平移變換。

Rotz(-φi)

(2)

(3)

式(3)中T表示基座標系{0}到末端坐標系{2}之間的變換矩陣，其中P反映了末端點在基坐標系{0}中坐標值，即P=[PxPyPz]T反映了構型空間Ψ與工作空間Q的映射關系。

2.2 速度雅克比矩陣

雅克比矩陣揭示了工作空間、構型空間與驅動空間之間的速度關系，是對構型或末端位置點進行速度控制的基礎。在該連續型機械臂當中，包括兩個速度映射雅克比矩陣JΨL和JΨQ，分別表示構型空間Ψ到驅動空間L、構型空間Ψ到工作空間Q的速度映射。

構型空間到驅動空間的速度映射表示為式(4)：

(4)

由式(1)可知L是構型空間Ψ各元素的多元函數所組成的向量，根據雅克比矩陣的定義求出對各變量的偏導數組成構型空間到驅動空間的雅克比矩陣如式(5)。

(5)

如式(6)，所求得的構型空間到驅動空間的雅克比矩陣JΨL可分為四個2×3的分塊矩陣，J1和J2分別代表關節1和2構型對本關節驅動絲速度的影響，由1.1節可知關節2驅動絲要穿過關節1，J21表達了關節1構型對關節2驅動絲速度的影響。

(6)

構型空間到工作空間的速度映射表示為式(7)：

(7)

由式(2)(3)可知P是構型空間Ψ各元素的多元函數所組成的向量，P對各變量的偏導數組成構型空間到工作空間的雅克比矩陣如式(8)：

(8)

為對末端軌跡進行控制，需要求出工作空間到構型空間的逆運動學關系。正如2.1節所述，該機械臂在構型空間具有的四自由度，分別對應Ψ的四個參數，因此相對于末端位置的三自由度(未考慮姿態)具有一個冗余自由度。對于冗余自由度機械臂其逆向速度關系如式(9)所示[19]：

(9)

(10)

3 運動控制策略與變剛度控制

如圖8所示，控制系統由控制中心PC機和各類控制對象組成，控制對象包括六個直流有刷電機、數據采集卡、末端執行器的步進電機以及與PC直接連接的位置傳感器(3D Guidance tranSTAR，測量精度0.5 mm)。數據采集卡模擬輸入口用于實時采集各路拉壓力傳感器信號，模擬輸出接入變剛度電路使得控制中心可直接控制機械臂剛度。在PC機VC++環境下，綜合變剛度、運動控制策略和所有設備接口資源編寫MFC控制窗口作為控制系統的交互中心。除位置傳感器通過USB與PC直接連接外，控制通信系統是基于CAN總線建立。

3.1 閉環運動控制策略

由于2.1中所述的運動學模型是基于單關節等曲率假設建立的，本身存在一定誤差，其次根據1.3可知連續型機械臂的構型容易受到外力影響，因此單純運用逆運動學模型進行開環控制容易因產生較大位置偏差。通過在機械臂末端添加位置傳感器，構建閉環控制算法可以不斷消除誤差而較好跟蹤目標位置點[21]。

設運動過程中某時刻末端點誤差為e，如式(11)它是目標位置Qd和實際位置Q的差值。

e=(Qd-Q)

(11)

(12)

根據現代控制理論[22]，只要閉環系數矩陣Kp是正定的，則e趨近于零向量，系統穩定。一般選取對角矩陣作為Kp，理論上對角元素值越大，收斂速度越快，跟蹤精度越高。

3.2 碰撞檢測與變剛度控制

執行空間操作任務時，希望機械臂在接近并接觸目標時具有較低的剛度，以降低碰撞沖擊帶來的損害；而接觸完成后，希望機械臂具有較高的剛度，以保證一定的負載和定位能力。因此，在機械臂的變剛度控制中，首先需要檢測碰撞發生的時刻以確定剛度切換的時機。本文提出一種利用驅動絲張力變化判斷碰撞沖擊的方法。如圖10所示，當機械臂末端靠近操作目標發生橫向或軸向碰撞時，產生接觸力F，相應會引起機械臂固定端橫向方向約束力偶Mo或軸向的約束力Fo的突然變化。在固定端對機械臂進行受力分析，可得到Mo是各驅動絲作用力Fi,k(i=1,2;k=1,2,3)簡化到Oo點的主矩，Fo是Fi,k簡化到Oo點的主矢，Mo和Fo與Fi,k滿足如式(13)的關系，由于各驅動絲驅動力總是平行的，因此Fo始終在一條直線上，而Mo總處于與所有驅動絲垂直的平面內。

(13)

本文假設碰撞來源僅為待操作目標并且一次碰撞后即成功捕獲目標，目的在于通過一種簡化的控制策略證明機械臂物理變剛度的可行性。實際空間任務中碰撞來源及碰撞過程更為復雜，須采用更完善的傳感器系統及控制算法實現碰撞檢測。

4 運動控制與變剛度驗證

4.1 運動控制驗證

基準于圖7的基座標系{0}，在可達工作空間內規劃1條如式(14)表達的空間螺旋軌跡，單位為mm。α表示末端點相對于x0軸繞O0轉過的角度。運用3.1所示控制算法對機械臂進行運動控制，根據末端軌跡跟蹤的誤差分析，以驗證本文基于運動學模型的閉環控制算法的正確性。

(14)

為了保證機械臂運動的平穩性，利用三角函數圖像良好的平滑特性，規劃α隨時間的變化如式(15)的三角函數所示，使得各方向上的初始、終止速度以及加速度都為零，其中T為完成整個軌跡的總時間，T取為30 s。

(15)

圖12(a)、(b)、(c)分別描述了x，y，z三個方向上機器人在開環控制和閉環控制(系數矩陣Kp=10I)條件下末端點跟蹤上述目標軌跡的效果對比。實驗結果顯示只依靠逆運動學模型進行開環控制，單個方向上的位置誤差最大會累積至30 mm，其原因是模型存在的偏差和連續型結構機械響應的遲滯帶來的誤差在運動過程中被不斷積累。相比之下，閉環控制策略能將位置誤差控制在2 mm內，因為位置反饋的加入，每個控制周期內出現的位置誤差能夠得到及時消除。

如圖12(d)～(f)所示，如果在上述軌跡跟蹤控制過程中在機械臂末端突加一個模擬由碰撞引起的較大位置誤差，在x、y、z三個方向上的位置誤差分別達到20 mm、15 mm、10 mm，但該閉環控制器可以克服外部干擾所帶來的影響，經過3 s左右的時間即可使跟蹤精度恢復到正常水平。通過以上兩組實驗驗證可知該閉環控制器可以較好的克服由運動學模型和柔性變形帶來誤差，結合變剛度性能可很好的平衡安全性與操作精度的關系，提高機械臂的操作性能。

4.2 變剛度效果與控制驗證

如圖13(a)展示了本文所述變剛度方法調節改善機械臂整體剛度的效果。機械臂以豎直狀態為初始狀態，在1.3節所述變剛度機構中的SMA通路中施加不同大小的電流完成剛度調整后，在機械臂末端作用相同的橫向載荷，如圖所示試驗載荷為1.5 N，發現不同電流作用下的變形效果不同。圖13(a)中的系列形變中最右邊的變形對應電流為0的情況，而最左邊為初始未受力作用的初始形態，中間其他形態從右至左對應了電流逐漸增大的幾種情形，反映了電流對剛度的影響。為定量分析SMA通路電流I對連續型關節剛度的影響，首先定義連續型機械臂剛度描述量。設在機械臂末端施加橫向載荷F，測量不同電流下末端點的橫向偏移量D，用載荷與偏移量的比值K描述該電流下的關節剛度。

按照以上剛度定義進行試驗記錄，得到如圖13(b)機械臂剛度K隨著SMA通路電流I的變化關系。當電流從0 A變化至2 A時，1.5 N負載下剛度由3 N·m-1變化至15 N·m-1。由此可知，對于該變剛度方法，控制通路電流I即能對機械臂整體剛度進行改善。后續工作將提高樣機的加工和裝配精度，減小變剛度機構的間隙，優化SMA彈簧的參數，則可進一步提高機械臂物理剛度的變化范圍。

為驗證上述變剛度的控制過程，設計了如圖14的一個正面碰撞實驗。在碰撞發生之前，碰撞標記C的默認值為0，按照3.2所述邏輯過程，在碰撞穩定之前機械臂始終處于低剛度狀態。如圖14顯示了剛度控制的時序圖，在t1時刻機械臂末端與障礙物初步接觸，隨后目標與機械臂之間的作用力逐漸增加直至t4時刻達到穩定，實驗中設置約束主矩變化率閾值VM和主矢變化率閾值VF分別為1.5 N·m·s-1和6 N·s-1,在t1至t4期間，主矢變化率最高達到了8 N·s-1。由于是正面碰撞，對其主矩影響不大，根據上述的控制策略，圖中t2時刻系統接收到碰撞信號，此時將碰撞標記C設置為1，而t3時刻當主矢變化率降至VF以下，系統判定碰撞結束，在此時控制系統模擬輸出端提升輸出電流至1.5 A，在短時間內機械臂剛度隨著SMA溫度的升高從3 N·m-1提升至14 N·m-1。通過本實驗可證明該連續型機械臂物理剛度主動調控方法的可行性。

5 結 論

本文以兼顧空間操作的安全性和操作精度的需求為出發點，提出一種被動適應碰撞且能保證操作精度的可變剛度絲驅動連續型機械臂。以超彈鎳鈦合金絲為支撐脊椎和驅動部件的連續型機械臂具有優良的本體柔性，對接觸碰撞具有較好的被動適應性。為克服操作過程中本體柔性對機械臂操作精度和承載能力的削弱，結合基本運動學分析和末端位置反饋設計了穩定的閉環運動控制器保證控制精度。另外，設計了一種調節內摩擦力的變剛度方法，在檢測絲驅動力的基礎上提出一種簡化的碰撞識別和變剛度控制策略。實驗證明機械臂能夠較好克服外部干擾跟蹤目標軌跡，具有良好的運動精度，并且可通過碰撞狀態適應性地調控機械臂剛度來滿足操作需求。本文初步提出并驗證了一套在空間操作中具有潛在應用價值的物理可變剛度連續型機器臂設計、建模與控制方法，為連續型機械臂進入太空在軌服務進行了理論與技術的初步探究。為推動連續型機械臂在空間操作中的實際運用，未來工作將結合環境特征(高真空、大溫差，強輻射等)和操作需求(目標的質量、體積、自旋、章動及安全操作距離等)，進一步開展系統綜合設計研究。