用基本不等式求最值的技巧

吳雨飛

[摘???要]文章結合實例分析研究用基本不等式求最值的方法、技巧，以提高學生的解題能力.

[關鍵詞]基本不等式;最值;技巧

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0016-02

基本不等式在解決數學問題中有著廣泛的應用，尤其是函數最值問題.利用基本不等式求最值的關鍵之一是抓住“一正二定三相等”;關鍵之二就是合理變形，將已知表達式等價轉變成含有基本不等式結構的式子.那么，在遇到具體問題時還需用到哪些技巧呢？

技巧一：湊項

函數表達式具備基本不等式的“特征”，是利用基本不等式求函數最值的基本要求.當所求式子不完全符合基本不等式的“特征”時，“湊項”是值得一試的方法.

[例1]當[x<54]時，試問函數[y=4x-2+14x-5]有最大值嗎？若有，請求出結果.

分析：由于[4x-5<0]，故需“調整”符號，但[（4x-2）·]?[14x-5]不是常數，故必須對[4x-2]進行變形.

解：[∵x<54?，∴5-4x>0]，[∴y=4x-2+14x-5=]????[-5-4x+15-4x+3][≤-2+3=1].當[5-4x=15-4x]時，即[x=1]時，等號可以取到，所以當[x=1]時，[ymax=1].

技巧二：湊系數

在基本不等式應用中，為了使兩式的和為定值，往往需要先湊相關項的系數.

[例2]已知[x∈0，13]，求函數[y=x1-3x]的最大值.

分析：本題是求正數積的最大值，因此其和必須為定值.但是[x+1-3x=1-2x]也含有變量為[x].為了使“和”為定值，必須使[x]的個數增加為三個，通過配湊系數，問題解決自然水到渠成.

解：[y=x1-3x]?=?[133x1-3x≤133x+（1-3x）22=112]，當且僅當[3x=1-3x]，即[x=16]時取到等號，所以[x=16]時，[ymax=112].

評注：如果所給的式子不符合“定值條件”，則應該根據需要對式子進行拆項（注意要平均拆）和配系數變形后再求解.

技巧三：湊積

為了讓題中的條件滿足基本不等式應用的條件，有時需要通過添加負號湊積.

[例3]若[x<0]，求[y=x+16x]的最大值.

分析：因為[x<0]，在利用基本不等式求解時，需要化為兩個正數的和，而[-x>0]，可將函數化成[y=-（-x）+-16x]，則問題就可以得到解決.

解：[y=-（-x）+-16x]?，則[（-x）+-16x?]?[≥]?[2-x·16-x]???[=8]，所以[-（-x）+-16x≤-8]，當且僅當[-x=-16x]，即[x=-4]時取到等號，所以當[x=-4]時，[ymax=-8].

技巧四：換元

當分母出現多項式時，通過將分母換元可達到利用基本不等式解題的目的.

[例4]求[y=x2+7x+10x+1（x>-1）]的值域.

分析：本題看似無法運用基本不等式，其實不然.可先換元，令t=x+1，化簡原式再分離求最值.

解：令t?=?x+1，則[y=（t-1）2+7（t-1）+10t=t2+5t+4t=t+4t+5].當[x>-1]，即[t=x+1>0]時，[y≥2t×4t+5=9]，當[t=2]，即[x=1]時，取“=”號.

點評：對于分式型函數的最值問題，一般可直接把分式恒等變形，運用拆分手段，將其變為[y=mg（x）+Ag（x）+B（A>0，B>0）]的形式，這里[g（x）]必須恒正或恒負，最后利用基本不等式來求出它的最大值或者最小值.

技巧五：整體（常數）代換

當條件是一個等式時，一般可將這個等式作為整體進行代換，再利用基本不等式求最值.

[例5]已知[x>0，y>0]，且[1x+9y=1]，求[x+y]的最小值.

分析：由[1x+9y=1]，得?[x+y=1x+9yx+y]?，即[x+y=yx+9xy+10].如此，即可用基本不等式求最小值.

解：[∵x>0??，??y>0??，?1x+9y=1]，[∴x+y=x+y1x+9y=]?[yx+9xy+10≥6+10=16]?.當且僅當[yx=9xy]時，上式等號成立.又[1x+9y=1]，可得[x=4，y=12]時，[x+ymin=16]?.

評注：本題通過常數代換，為利用基本不等式求最值創造了條件.值得注意的是，當連續多次利用基本不等式求最值時，必須關注等號是否能同時取到，否則必出錯.

技巧六：先平方

對于某些根式，為了創造條件利用基本不等式求其最值，必須先對其進行平方，以改變原有的式子結構.

[例6]求函數[y=2x-1+5-2x??12

分析：注意到[2x-1]與[5-2x]的和為定值，故考慮將[y]平方.

解：[y2=（2x-1+5-2x）2=4+2（2x-1）（5-2x）≤]??[4+（2x-1）+（5-2x）=8].又[y>0]，所以[0

點評：將無理函數進行平方，可把未知數集中在根號里，從而為利用基本不等式掃除障礙，但最終結果還要開方還原.

技巧七：轉化為解不等式問題

利用基本不等式，可以把等式變成含有欲求量的不等式，從而通過解不等式，求出欲求量的求值范圍.

[例7]已知[a>0]且[b>0]，[a]與[b]滿足[2b+ab+a=30]，試求函數[y=1ab]的最小值.

分析：二元函數求最值一般有兩種思路.一是利用條件進行等式消元，化二元為一元;二是利用整體思想，借助基本不等式，將原等式轉化為含有[ab]的不等式，進而求出它的范圍，最后再求函數[y=1ab]的范圍或最值.

解：將已知等式變形，得30-[ab]=[a+2b]，

[∵a+2b≥][22ab]，?[∴30-ab≥][22ab].

設[u=][ab>0]，則[u2]+[22][u]?[-30≤0]，?解之，得[0][<][u]?[≤][32]?.∴[0

[∴y≥][118]，故函數[y=1ab]的最小值是[118]?.

點評：要從已知等式[ab=a+2b+30]?[（a，b∈R+）]出發，借助基本不等式求出[ab]的范圍，最關鍵的是發現[a+b與ab]之間的關系，利用不等式[a+b2≥ab]?[（a，b∈R+）]，將已知等式轉換成含ab的不等式，便可解得ab的范圍.本例采用了第二種思路，體現了等式與不等式之間的內在聯系.

（責任編輯 黃桂堅）