擬對(duì)角擴(kuò)張C*-代數(shù)Cuntz半群的性質(zhì)

方燕

(上海海事大學(xué)文理學(xué)院，上海 201306)

0 引 言

Cuntz半群的性質(zhì)作為C*-代數(shù)的正則性質(zhì)，在C*-代數(shù)的分類中有重要的應(yīng)用。TOMS[1]給出兩個(gè)不同構(gòu)的單的AH代數(shù)，它們的Cuntz半群不同,其中只有一個(gè)具有弱無孔性質(zhì)，但它們的Elliott不變量相同。這說明如果不能用Elliott不變量區(qū)分C*-代數(shù)則可以通過它們的Cuntz半群來區(qū)分。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[3]稱一個(gè)序半群M是無孔的，是指對(duì)于任意的非零元a,b∈M，存在自然數(shù)n滿足na≤nb，則有a≤b。

定義2[4]稱一個(gè)序半群M具有弱可分性質(zhì)，是指對(duì)于任意的a,b∈M，如果2a≤a+b≤2b,則可以得到a≤b。

定義3[5-6]稱一個(gè)序半群M具有Riesz插值性質(zhì)，是指對(duì)于任意的a1,a2,b1,b2∈M，如果ai≤bj,則存在某個(gè)c∈M，使得ai≤c≤bj,i,j=1,2。

稱一個(gè)C*-代數(shù)A具有無孔的性質(zhì)，是指A的Cuntz半群W(A)具有弱無孔的性質(zhì)。稱一個(gè)C*-代數(shù)A具有弱可分性質(zhì)，是指A的Cuntz半群W(A)具有弱可分性質(zhì)。稱一個(gè)C*-代數(shù)A具有Riesz插值性質(zhì)，是指A的Cuntz半群W(A)具有Riesz插值性質(zhì)。

W(A)∶=M∞(A)+/～

定理1[3]設(shè)A是一個(gè)C*-代數(shù),則下面的結(jié)論等價(jià):(1)a≤b;(2)對(duì)于任意的ε>0,(a-ε)+≤b;(3)對(duì)于任意的ε>0,存在δ>0,使得(a-ε)+≤(b-δ)+。

((1-Pn)?1k)a(((1-Pn)?1k)-ε/2)+≤

((1-pn)?1k)b(((1-pn)?1k)-ε/4)+

2 主要結(jié)果

證明只要證明W(B)具有無孔性質(zhì)即可，即對(duì)于任意的非零元a,b∈W(B)，存在自然數(shù)n滿足na≤nb，只要證明a≤b即可。由定理1,只要證明對(duì)于任意的ε>0,(a-ε)+≤b即可。

由定理2有

(a-ε/2)+≤PnaPn+

((1-Pn)a(1-Pn)-ε/4)+

(b-ε/2)+≤PnbPn+

((1-Pn)b(1-Pn)-ε/4)+

因?yàn)閚a≤nb,所以有n(PnaPn-ε/2)+≤nPnbPn。

因?yàn)镻naPn和PnbPn都在I中，并且I具有弱無孔性質(zhì)，所以有(pnapn-ε/2)+≤pnbp。

同時(shí)有nπ(a)≤nπ(b)成立。因?yàn)锳具有弱可比性質(zhì)，所以有π(a)≤π(b)。由引理1得到((1-pn)a(1-pn)-ε/2)+≤((1-pn)b(1-pn)-ε/4)+因此可得到

(a-2ε)+≤(PnaPn-ε/2)++

((1-Pn)a(1-Pn)-ε/2)+≤

pnbpn+((1-pn)b(1-pn)-ε/4)+≤b

證明只要證明W(B)具有弱可分性質(zhì)即可，即對(duì)于任意的a,b∈W(B)，如果2a≤a+b≤2b，只要證明a≤b即可。由定理1,只要證明對(duì)于任意的ε>0,(a-ε)+≤b即可。

由定理2有(a-ε/2)+≤pnapn+((1-pn)a(1-pn)-ε/4)+。因?yàn)?a≤a+b≤2b,所以有2(pnapn-ε)+≤(pnapn-ε)++pnbpn≤2pnbpn。因?yàn)閜napn和pnbpn在I中,并且I具有弱可分性質(zhì)，所以(pnapn-ε)+≤pnbpn。同時(shí)因?yàn)?π(a)≤π(a)+π(b)≤2π(b),并且A具有弱可分性質(zhì)，所以π(a)≤π(b)。由引理1有((1-pn)a(1-pn)-ε/2)+≤((1-pn)b(1-pn)-ε/4)+,因此(a-2ε)+≤(pnapn-ε)++((1-pn)a(1-pn)-ε/2)+≤pnbpn+((1-pn)b(1-pn)-ε/4)+≤b。

證明只要證明W(B)具有Riesz插值性質(zhì)即可，即對(duì)于任意的a1,a2,b1,b2∈W(B)，如果ai≤bj,只要證明存在c∈W(B)使得ai≤c≤bj即可,i,j=1,2。

其中i,j=1,2。

由定理2有(ai-ε/2)+≤pnaipn+((1-pn)ai(1-pn)-ε/4)+,其中i,j=1,2。因?yàn)閍i≤bj,所以有(pnaipn-ε)+≤bj,i,j=1,2。

因?yàn)閜naipn和pnbjpn(i,j=1,2)在I中,并且I具有Riesz插值性質(zhì)，所以存在c∈I+使得(pnaipn-ε)+≤c≤(pnbjpn-ε)+,i,j=1,2。因?yàn)閍i≤bj,所以有π(ai)≤π(bj),并且A具有Riesz插值性質(zhì)，因此存在d∈B+使得π(ai)≤π(d)≤π(bj),i,j=1,2。

由引理1有

((1-pn)ai(1-pn)-ε/2)+≤

((1-pn)d(1-pn)-ε/2)+

((1-pn)d(1-pn)-ε/2)+≤

((1-pn)bj(1-pn)-ε/2)+

取e=c⊕((1-pn)d(1-pn)-ε/4)+，因此有

(ai-2ε)+≤

(pnaipn-ε)++((1-pn)ai(1-pn)-ε/2)+≤

c+((1-pn)ai(1-pn)-ε/2)+≤

c+((1-pn)d(1-pn)-ε/4)+≤

pnbpn+((1-pn)bj(1-pn)-ε/8)+≤bj