剛性道面彎沉盆重心距離法及回歸模型

凌建明, 劉詩福, 袁 捷

(同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804)

基于落錘式彎沉儀(FWD)的機場剛性道面結構強度反演是機場道面檢測最重要的內容.目前國際上反演方法主要包括5類：① 數據庫法——借助插值等方法搜索數據庫中與實測彎沉盆最接近的路面結構參數組合，該類方法需要事先計算大量的路面結構，聯動性較差.② 逐點擬合法[1]——假定路面結構參數計算理論彎沉盆并與實測彎沉盆逐點對比，以誤差最小化為目標函數進行結構參數的迭代，直至滿足一定的精度要求.該類方法的反演效率較低.③ 優化算法——采用一些智能優化算法,如人工神經網絡[2]、遺傳算法[3]、同倫法等[4].雖然各種優化算法都能逼近最優路面結構參數組合，但該類方法更多依賴于算法本身，且需要標定一些模型參數，較為復雜.④ 惰性彎沉點法[5-6]——同濟大學孫立軍等首創了該方法[5]，并將其利用到多層結構[6]，其原理是根據彎沉盆中存在的唯一惰性點，利用該點具有不隨板的回彈模量變化而變化的特性，簡化參數反演的計算過程.⑤ 彎沉盆衍生指標法——如Ioannides等人于1989年提出的彎沉盆面積指數法(AREA)，是目前國際上最為經典和常用的反演方法之一[7]，其思路是通過構建彎沉盆面積指數分離計算地基模型中的相對剛度半徑和地基支撐強度，進而分步求解地基反應模量和板的彈性模量兩個結構參數.由于該方法是基于彈性地基板撓度響應模型的精確解，物理意義清楚，其圖解法、回歸公式法以及相應的反演軟件(ILLI-BACK)業已成為國際上應用最為普遍的方法及工具[8-10]. 美國聯邦航空總局FAA[8]和我國《民用機場道面評價管理技術規范》(MH/T 5024—2009)[11]在剛性道面結構參數反演中均推薦使用該方法.

但在實際使用中，彎沉盆面積指數法仍存在一些局限性需要改進，比如該方法沒有充分利用各個測點的彎沉數據信息，反演結果完全取決于彎沉值的精確測量，不能有效處理測量誤差[12].Li等通過循環利用各個彎沉測點的信息，提出了反演方法NUS-BACK，研究表明該方法比彎沉盆面積指數法的處理誤差能力更強[13].程國勇等指出了國內民航機場剛性道面彎沉盆面積指數法在反演基頂模量時存在不確定性[14].林小平等分析了傳統彎沉盆面積指數法沒有充分利用實測彎沉盆中各個測點信息的局限性[15]，并通過實證分析了反演結果存在的不確定性，提出了剛性道面彎沉盆重心距離法(MAREA).該方法將彎沉盆面積指數用于確定相對剛度半徑的取值范圍,而非傳統方法直接求解相對剛度半徑，并采用了計算與實測彎沉盆之間的撓度擬合誤差作為反演結果的判定標準，在一定程度上避免了反演結果的多解性.但該方法存在反演效率低，且反演結果對測量誤差的敏感性較大，實測與理論彎沉盆的擬合精度有待進一步提高等問題.

本文從彎沉盆面積指數法遵循變量分離的反演思想出發，對該方法存在的不足進行針對性的改進，首先綜合考慮剛性路面實測彎沉盆中各個測點彎沉值的信息，構建剛性道面彎沉盆重心距離指標代替彎沉盆面積指數；以理論與實際彎沉盆誤差最小為準則，計算得到地基反應模量.利用MATLAB編寫Winkler地基模型上剛性路面結構參數反演的程序，定量分析改進后的剛性道面彎沉盆重心距離法相對于傳統彎沉盆面積指數法的可靠性，并以FWD實測彎沉盆數據驗證該改進方法的有效性.同時，本文給出改進方法的無偏回歸模型，在提高道面結構參數反演合理性的同時，也有利于工程實踐.

1 地基模型及邊界

在剛性道面結構模型中，常用的地基模型包括Winkler地基或者彈性半空間地基.陳榮生等采用薄板有限元法系統分析了兩種地基的結構響應，認為Winkler地基模型與實際情況吻合程度相對更高[16]；丹佛機場測試報告指出對于剛性道面板，彈性半空間地基模型計算得到的地基支撐強度偏高，且容易產生奇異點.因此 Winkler 地基多用于分析水泥混凝土板的力學模型[17].Winkler地基模型假定地基表面上的壓力與地基的豎向位移成正比，通過積分變換法求解圓形均布荷載下該地基上無限大板的彈性曲面微分方程，在軸對稱垂直荷載作用下，撓度的解析解采用式(1)和式(2)計算.

(1)

(2)

式中：ω(r)為距荷載中心r處板的撓度,m；p為荷載集度,N·m-2；a為圓形均布荷載的半徑，m；ξ為積分變量；K為板下地基的反應模量，N·m-3；J0、J1分別為0階、1階貝塞爾函數；l為板與地基的相對剛度半徑，m；E為板的彈性模量，Pa；μ為板的泊松比.

袁捷等分析了有限尺寸剛性板板中受荷時，距其邊緣大于0.7 m的范圍可以忽略板的尺寸效應對撓度的影響[12].考慮到機場道面一般的水泥混凝土板邊長為5 m，進行參數反演一般采用水泥混凝土板中彎沉盆，因此采集的彎沉盆距離應小于1.8 m.

2 彎沉盆面積指數法及其改進

2.1 彎沉盆面積指數法

(3)

式中：Aw為指定斷面的面積；si為測點i與i+1之間的距離；ωi為測點i的撓度；ω為指定距離處的撓度;n為測點的數量.各參數的示意如圖1所示.

圖1 彎沉盆面積計算示意圖Fig.1 Definition of deflection basin area

在參數反演時先通過匹配相同斷面面積下實測彎沉盆面積指數Aw，m和理論彎沉盆面積指數Aw，t以推算相對剛度半徑l，進而根據式(1)和式(2)的K及E分別采用式(4)和式(5)進行反演.

(4)

(5)

2.2 問題剖析與改進

2.2.1推算相對剛度半徑l

為消除變量K以推算變量l，傳統的彎沉盆面積指數法在公式(3)中僅使用了彎沉盆指定測點ω的彎沉值，而沒有有效利用其他測點的彎沉信息，這在一定程度上增加了反演的多解性[15].

林小平等改進思路(Lin方法)是[15]：通過遍歷所有的實測彎沉值ωi后，分別確定相應的相對剛度半徑li，進而根據其最大、最小值確定相對剛度半徑的待選集合S，并在待選集合中根據彎沉盆誤差最小原則推算出相對剛度半徑的取值.

Li等的思路(Li方法)是[13]：挑選兩個不同測點的彎沉值，代入式(1)得到兩個方程，并將兩者相除后作為相對剛度半徑的匹配目標.對于n個測點的彎沉盆，遍歷所有測點可得到n(n-1)個相對剛度半徑，將其平均值作為最終的反演結果.

Lin方法和Li方法都充分利用了彎沉盆各個測點的信息，但計算空間大，反演效率低.本文將彎沉盆(如圖1的右半部分所示)看作是一個封閉的幾何圖形，其幾何重心距離荷載中心的距離可按下式計算：

(6)

式中：dCG為彎沉盆的重心距離，m；d為彎沉盆長度，m.

由式(6)可見，dCG大小由各個彎沉測點的信息決定，dCG值可充分利用測點的距離和彎沉值.因此，利用彎沉盆重心距離替代彎沉盆面積指數這個指標，除了同樣可采用變量相除的方式分離變量K和l之外，還可充分利用彎沉盆各個測點的彎沉信息，可避免反演的多解性而不用增加計算空間.

2.2.2計算K和E

由公式(4)可知，彎沉盆面積指數法反演的變量K，只能保證理論彎沉盆和實測彎沉盆在指定測點的彎沉值相等，而在其他測點的彎沉值可能誤差較大.

Lin方法的改進思路是將待選集合S均勻劃分n份,取lj∈S，再次遍歷所有的實測彎沉值ωi后按照公式(4)、(5)計算Kji和Eji，通過尋找一組(Kji，Eji)使得理論與實測彎沉盆間的擬合誤差最小化后作為最后的反演結果[15].

Li方法是根據計算的n(n-1)個相對剛度半徑和地基反應模量，將其平均值作為最終的反演結果，并根據公式(5)計算得到E值.

上述3種方法都沒有最小化理論彎沉盆與實測彎沉盆的誤差.本文為了克服這個缺點，以理論與實測彎沉盆誤差最小為原則推算K.理論與實測彎沉盆誤差最小化的目標函數如下式:

(7)

(8)

與式(4)相比，式(8)反演的唯一地基反應模量K綜合利用了各個測點的彎沉值信息，在降低與實測彎沉盆誤差的同時，也避免了反演結果的多解性.

2.3 改進方法的計算流程

綜上分析，改進的剛性道面彎沉盆重心距離法參數反演的計算流程如圖2所示：步驟1,將彎沉盆重心距離指標作為橋渡，首先根據剛性道面相關剛度的取值范圍和步長，根據公式(6)計算各相對剛度半徑對應下的理論彎沉盆重心距離，并根據實測彎沉盆數據直接計算實測的彎沉盆重心距離；步驟2,根據理論和實測彎沉盆重心距離誤差最小的原則，推算相對剛度半徑的最終取值；步驟3,以理論和實測彎沉盆的誤差最小為原則，根據公式(8)推算唯一的地基反應模量；步驟4,根據步驟2和步驟3所確定的相對剛度半徑和地基反應模量，再應用式(5)計算板的彈性模量.

圖2 剛性道面彎沉盆重心距離法流程圖Fig.2 Flowchart of improved AREA back-calculation method

3 方法分析

3.1 算例描述

規范中建議傳感器的間距宜為0.3 m[11]，考慮到板中彎沉盆的邊界應小于1.8 m，選用的各測點信息如表1所示.參照規范中的算例[11]，假定典型的道面結構各參數取值如下：水泥混凝土板的厚度為0.4 m，彈性模量為36 GPa，泊松比為0.15,地基反應模量為115 MN·m-3,0.3 m直徑的圓形均布荷載為140 kN.根據式(1)計算不同測點的理論彎沉值如表1所示.

3.2 可靠性分析設計

在彎沉盆面積指數法中，假設公式(3)、(4)中側重使用的指定距離處彎沉值ω為第一個測點的彎沉值ω0，采用MATLAB編寫Winkler地基模型及剛性路面結構參數的反演方法.以算例中假定的道面結構參數“真值”為基準，對彎沉盆面積指數法和改進的剛性道面彎沉盆重心距離法處理FWD測試誤差的能力進行分析.其中，FWD彎沉測試的誤差包括系統誤差和隨機誤差，當前國際主流FWD設備的測量精度為(2±2%)μm，實測彎沉值與理論彎沉值的關系式如下[18]:

表1 計算得到不同測點的理論彎沉值Tab.1 Calculated deflections of different sensors

(9)

式中：wm表示FWD誤差作用下的實測彎沉值；wt表示彎沉測試的理論值；r1、r2、r3、r4是0～1的隨機數.根據式(9)，對表2中每一測點的彎沉值加入隨機誤差，模擬生成100組的實測彎沉盆，分析在測量誤差作用下兩種方法的可靠性.

3.3 結果分析

3.3.1傳感器數量

由表1可知，傳感器的數量最多為6個，而不同傳感器數量影響反演方法處理誤差的能力.在傳感器為3～6個時，100次試驗下改進的剛性道面彎沉盆重心距離法得到的結構參數統計值如表2所示.可見，無論是板的彈性模量還是地基反應模量，隨著傳感器數量的增加，得到結構參數均值更貼近于真實值，且標準差和變異系數更小.這是因為隨著傳感器數量的增加，彎沉盆的重心受各個測點共同作用，重心距離值更為穩定，故各點彎沉值的誤差對重心的影響將更小.因此，采用6個傳感器的彎沉盆可提高反演對誤差的處理能力.

3.3.2方法的可靠性

在都使用6個傳感器的情況下，彎沉盆面積指數法和剛性道面彎沉盆重心距離法在100次試驗后得到的結構參數對比如圖3所示.虛線是縱坐標和橫坐標值相等的線，實線是回歸擬合線.可見，在結構參數的大小上，兩種反演方法得到的結果無明顯區別；通過擬合線發現,兩者的相關系數為0.2左右，無明顯的相關關系.而從橫縱坐標的跨度來看，無論是K還是E，剛性道面彎沉盆重心距離法的跨度范圍更窄，這表明改進后更接近于真實值(E=36 GPa,K=115 MN·m-3).

100次試驗的統計值如表3所示，剛性道面彎沉盆重心距離法的均值更接近于真實值，標準差和變異系數更小.由此可見，本文提出剛性道面彎沉盆重心距離法的可靠性更強，更能有效處理FWD測量的誤差.

表2 不同傳感器數量下的結構參數統計值Tab.2 Statistical structural parameters with different number of sensors

a 板的回彈模量

b 地基反應模量圖3 兩種方法的結構參數反演結果對比Fig.3 Comparison of structural parameters of two methods

表3 不同傳感器數量下的結構參數統計值Tab.3 Statistical structural parameters with different number of sensors

4 回歸模型

通過上述分析可知，剛性道面彎沉盆重心距離法要比傳統的彎沉盆面積指數法更能有效處理測試誤差，但由前文分析可看出，反演方法涉及到多個高等復雜函數，在實際應用時不太方便.為提高剛性道面彎沉盆重心距離法在工程實踐中的可操作性，本文通過SPSS軟件，擬合了Winkler地基模型上剛性道面彎沉盆重心距離法的回歸模型，如式(10)～(14)所示，相應的系數取值如表4所示.公式(11)、(13)采用了五次多項式擬合，得到的相關系數為1，故式(10)～(14)得到的回歸模型可無偏精準地擬合原模型.

表4 回歸模型的系數取值表Tab.4 Coefficient values of regression model

注：表中回歸系數僅為相對剛度半徑l處于0～2 m的情況.

(10)

l=a1s5+a2s4+a3s3+a4s2+a5s+a6，R2=1

(11)

(12)

di=ei1l5+ei2l4+ei3l3+ei4l2+ei5l+ei6，

R2=1,i=0,1,2,3,4,5

(13)

(14)

5 實例應用

以華東地區某4C機場停機坪和某4D機場跑道的剛性道面為例，采用落錘式彎沉儀車實地采集 FWD彎沉實測數據.分別各選取其中典型的5個彎沉盆，彎沉測試結果及道面板厚等基礎數據如表5所示.其中，FWD均布荷載半徑為0.15 m，荷載為140 kN.

采用不同的反演方法得到各彎沉盆下的結構參數，如表6所示，其中誤差和為由結構參數正算得到的彎沉盆與實測彎沉盆在各測點的誤差累積值.可見，剛性道面彎沉盆重心距離法在擬合精度上比傳統的彎沉盆面積指數法有更大的提高，且與文獻[15]改進方法和文獻[13]改進方法相比，擬合精度也有較大的提升.綜上所述，實例分析表明本文提出的剛性道面彎沉盆重心距離法實用性更強，更具合理性.

表5 某4C和4D機場水泥混凝土板板中實測彎沉FWD數據Tab.5 Test results of deflections by FWD in 4C and 4D airport pavement of China

注：測試荷載已等效為140 kN.

表6 4種方法機場道面的參數反演結果Tab.6 Comparisons of back-calculations of four methods

6 結論

(1) 系統梳理了彎沉盆面積指數法的模型體系及參數反演的計算過程，部析其彎沉信息利用率低以及處理測量誤差能力差等問題.以彎沉盆重心距離指標替代方法中的面積指數，并以理論彎沉盆與實測彎沉盆之間擬合誤差最小化為原則，對傳統彎沉盆面積指數法進行針對性的改進.

(2) 剛性道面彎沉盆重心距離法，綜合利用彎沉盆各個測點的信息，推算得到唯一的相對剛度半徑；并根據擬合誤差的最小化，反演唯一的地基反應模量和板的彈性模量.這從根本上解決了傳統的彎沉盆面積指數法僅匹配指定測點彎沉值而忽略其他測點的片面性，并從理論上解決了結構參數反演時存在多解性等問題.

(3) 剛性道面彎沉盆重心距離法最佳應利用6個傳感器信息，數值模擬試驗結果表明，該方法能有效處理FWD測試誤差并提高反演結果的可靠性.采用五次多項式建立了無偏的回歸模型，大大提高反演的效率，增強了實踐應用的便利性.

(4) 對FWD實測數據進行反演實證對比分析，結果表明提出方法的反演誤差更小，與實測彎沉盆擬合程度更高，反演方法更具合理性，具備良好的應用潛力.未來仍需進一步對比研究該方法與其他類別方法的優缺點.