小題目 大應用

摘?要：課本是高考命題的依據，很多高考試題是由課本習題改編而成的.本文以一道課本練習題為例，通過多種證明，例舉實例說明其結論、思想方法的應用.

關鍵詞：課本練習題;多證;應用結論

作者簡介：郭興甫（1970-），男，云南會澤人，本科，中學高級教師，研究方向：高中數學教學.

高考試題來源于課本中的例題和習題，是近年高考命題的一個亮點，體現了考試說明中的源于教材又略高于教材的思想.本文以普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修5第18頁練習第3題為例進行說明.

1?試題呈現

題目?在△ABC中，求證：

a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

該習題的結論表明：在三角形中任何一邊等于其它兩邊與這邊所夾角的余弦值之積的和.這是數學中十分著名的三角形射影定理，這與三角形各邊在其它邊的射影有關，如圖1，在△ABC中，邊b，c在a上的射影分別是bcosC，ccosB.由此結論顯而易見，這有助于我們理解習題性質的內涵，拓展知識視野，感受數學的自然之美，記憶十分方便.殊不知，該題雖是一道小小的練習題，確有不俗的大應用.

該習題的證明方法靈活多樣，可借助正弦定理化邊為角，再用兩角和的正弦公式獲證;可借助余弦定理化角為邊獲證;也可轉化為直角三角形進行證明.

2?試題解析

證法1?由三角形內角和定理有A=π-（B+C），所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB.?①

由正弦定理有sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R.

代入①整理得，a=bcosC+ccosB.

同理可證，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

證法2?由余弦定理的推論有，bcosC+ccosB=b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=2a22a=a.

所以a=bcosC+ccosB.

同理可證，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

證法3?由余弦定理有，b2=a2+c2-2accosB，?①

c2=a2+b2-2abcosC.?②

由①+②得，2a2=2a（bcosC+ccosB）.

所以a=bcosC+ccosB.

同理可證，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

證法4?（平面向量法）由平面向量知識有AB+BC+CA=0→，所以BC=BA+AC.

所以BC2=BC·BA+BC·AC.

即a2=accosB+abcosC.

因為a≠0，所以a=ccosB+bcosC.

同理可證，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

評注?證法1的方法及逆用是高考試題及模擬題命題者常用的方法，要用到兩角和的正弦公式及變形，學生易錯;證法2，化角為邊，利用余弦定理的推論可得結論;證法3體現整體相加思想，應該掌握;證法4利用向量思想，向量數量積，轉化思想，值得學習.體現思維的靈活性.特別地，逆用課本習題結論可以簡化解題過程，迅速正確求解問題.

3?結論應用

例1?（2018年泉州市高中數學學科競賽試題）已知ΔABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosC+3asinC-b-c=0.

（1）求角A的大小;

（2）若ΔABC內接于單位圓，求邊BC上的中線AM的最大值.

解析?（1）由acosC+3asinC-b-c=0得acosC+3asinC=b+c.

又b=ccosA+acosC，所以3asinC=c+ccosA.

由正弦定理得3sinA-cosA=1，即sin（A-π6）=12.又因為A為三角形的內角，故A=π3.

（2）因為ΔABC內接于單位圓，由正弦定理得asinA=2×1，所以a=2sinA=3.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA.

所以3=b2+c2-bc.

由b2+c2=bc+3≥2bc可得bc≤3，當且僅當b=c=3時取等號.

由中線長定理可得，AM2=2b2+2c2-a24=2bc+34≤94，所以AM的最大值為32.

評注?問題（1）標準答案是利用正弦定理化邊為角，誘導公式，兩角和正弦公式，輔助角公式求解，過程復雜，易錯.利用課本習題結論，可以簡化過程，迅速求解;問題（2）也是利用課本20頁習題A組第13題的結論直接進行求解，同時也可以利用余弦定理及其逆定理求得中線AM的表達式，再利用不等式思想求最值.本題的命制體現了源于教材又高于教材的思想，是一道好的競賽試題.

例2?（2016年全國高考理科Ⅰ卷）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（αcosB+bcosA）=c.

（1）求C;

（2）若c=7，△ABC的面積為3?32，求△ABC的周長.

解析?（1）由已知及課本習題結論可得，2ccosC=c.因為c≠0，所以cosC=12.所以C=π3.

（2）由（1）及已知可得，12absinC=3?32.

又因為C=π3，所以ab=6.

由已知及余弦定理得，a2+b2-2abcosC=7.

故a2+b2=13，從而（a+b）2=25.

所以△ABC的周長為5+7.

評注?課本中的習題結論可以當做公式應用，問題（1）直接利用課本習題結論可使問題迅速獲解;問題（2）體現整體思想的靈活運用，整體配湊和的完全平方，簡化解方程組帶來的麻煩.

例3?（2016年全國高考四川文科）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且cosAa+cosBb=sinCc.

（1）證明：sinAsinB=sinC;

（2）若b2+c2-a2=65bc，求tanB.

證明?（1）由cosAa+cosBb=sinCc兩邊同時乘以abc得c（bcosA+acosB）=absinC.

所以由課本習題結論可得c2=absinC.

利用正弦定理可得sin2C=sinAsinBsinC.

又A，B，C是三角形的內角，所以sinAsinBsinC≠0.所以sinAsinB=sinC.

（2）由已知，b2+c2-a2=65bc，根據余弦定理，有

cosA=b2+c2-a22bc=35.

所以sinA=1-cos2A=45.

由（1），sinAsinB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

所以45sinB=45cosB+35sinB.

故tanB=sinBcosB=4.

評注?本題考查正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查學生的分析問題的能力和計算能力.第（1）問，直接去分母，利用習題結論及正弦定理簡潔證明;第（2）問，利用余弦定理解出cosA=35，再根據平方關系解出sinA，結合（1）可解出tanB的值.在解三角形時，凡是遇到等式中有邊又有角，可用正弦定理進行邊角互化：一種是化為三角函數問題;一種是化為代數式的變形問題.在角的變化過程中注意三角形的內角和為180°這個定理，否則難以得出結論.

例4?（福建省漳州市2019屆高三第一次教學質量檢查）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2c·cosC+c=a·cosB+b·cosA，點P在邊AB上，且BP=2，sin∠PCA=13.

（1）求角C;

（2）求CP+CB的最大值.

解析?（1）因為2c·cosC+c=a·cosB+b·cosA，所以由課本習題得2ccosC+c=c，即cosC=0.

所以C=π2.

（2）因為sin∠PCA=13，所以cos∠PCB=cos（π2-∠PCA）=sin∠PCA=13.

在△BCP中，PB=2，因為PB2=CP2+CB2-2CP·CB·cos∠PCB，所以4=（CP+CB）2-2CP·CB-2CP·CB·13

=（CP+CB）2-83CP·CB≥（CP+CB）2-83（CP+CB2）2=13（CP+CB）2.

所以（CP+CB）2≤12.即CP+CB≤2?3.

當且僅當CP=CB=3時，CP+CB取最大值2?3.

評注?本題原解答中對問題（1）先由正弦定理將2c·cosC+c=a·cosB+b·cosA化為2sinCcosC+sinC=sinAcosB+sinBcosA，再由兩角和的正弦公式整理即可求出結果，過程復雜，易出錯，應用課本習題結論，只需口算.問題（2）由問題（1）及余弦定理先表示出CP，CB的關系式，借助均值不等式進行處理即可.

例5?（遼寧省重點高中協作校2019屆高三模擬考試題）在△ABC?中，內角A，B，C?的對邊分別為a，b，c，已知bsinAcosC+csinAcosB=acsinB.

（1）證明：bc=a;

（2）若c=3，cosC=16，求AC邊上的高.

解析?（1）因為bsinAcosC+csinAcosB=acsinB，

所以sinA（bcosC+ccosB）=acsinB.

由課本習題結論得，asinA=acsinB.

所以sinA=csinB.由正弦定理得a=bc.

（2）因為c=3，a=bc，所以a=3b，cosC=10b2-96b2.

又cosC=16，所以10b2-96b2=16，解得b=1.

所以a=c=3，b=1.

所以AC邊上的高為9-（12）2=352.

評注?解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向;

第二步：定工具，即根據條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化;

第三步：求結果.

例6?（2019屆安徽淮北市高三模擬題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且bacosC+cacosB=3cosB.

（1）求sinB;

（2）若D為AC邊的中點，且BD=1，求△ABD面積的最大值.

分析?問題（1）去掉分母可用課本中的習題結論加以解決;問題（2）利用三角形的面積公式及問題（1）的結論可知，只需求得|BA|·|BC|的最大值.對|BA+BC|=|2BD|=2兩邊平方后得到|BA|2+|BC|2=4-23|BA||BC|，利用基本不等求得|BA|·|BC|≤32，代入三角形面積公式，求得最大值為24.

解析?（1）由bacosC+cacosB=3cosB兩邊乘以a得bcosC+ccosB=3acosB.

由課本習題結論得a=3acosB，即cosB=13.

所以sinB=1-cos2B=2?23.

（2）由BD=1，得|BA+BC|=|2BD|=2.

所以BA2+BC2+2BA·BC=4.

即|BA|2+|BC|2+2|BA|·|BC|cosB=4.

所以|BA|2+|BC|2=4-23|BA|·|BC|.

因為|BA|2+|BC|2≥2|BA|·|BC|，

所以4-23|BA|·|BC|≥2|BA|·|BC|（當且僅當|BA|·|BC|時，等號成立）.

所以|BA|·|BC|≤32.

△ABD面積S=12×12|BA|·|BC|sinB≤14×32×2?23=24.

例7?（安徽省安慶市2019年高三模擬考試題）在ΔABC中，三內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且c=1，?acosB+bcosA=2cosC，設h是邊AB上的高，則h的最大值為.

解析?根據課本習題結論c=acosB+bcosA及c=1，又因為acosB+bcosA=2cosC可得?cosC=12.

所以C=π3，?SΔABC=12ch=12absinC.

所以h=absinCc=32ab.

根據余弦定理，?c2=a2+b2-2abcosC，及c=1，?C=π3，得a2+b2-ab=1.

又a2+b2≥2ab，?a2+b2=ab+1≥2ab，所以ab≤1.所以h=32ab≤32，當且僅當a=b時取等號，故h的最大值為32.

評注?本題的難點是根據已知條件求角C，求高轉化為求面積的最大值，應用課本習題結論簡化過程，拓寬思維.

由以上幾例不難看出，高考試題能在課本中找到原型，很多試題都是由課本習題改編而得的.以上解析為我們指明了高中數學教學方法，不能忽視基礎知識的教學，只重視教輔，忽視教材，沒有扎實的基礎，數學能力的培養便成了無本之木，無源之水.高考復習一定要狠抓基礎知識和基本技能，回歸教材，考題就在課本中，要對課本中的練習題一題多變，多解、多證，引導加以應用;在公式，法則的教學中重視思維訓練和能力培養;例習題的教學中要注意區分異同，注意總結提高.

（收稿日期：2019-07-03）