一個易錯的圓錐曲線結論及其證明

摘?要：本文提供了一個來自焦點三角形面積最大值問題的絕佳反例，以此說明直覺得到的“結論”并不一定準確，并從解析幾何的應用技巧上提供了四種不同證法.

關鍵詞：焦點三角形;面積;最大值

作者簡介：張日堂（1978-），男，廣東陽春人，本科，中學二級教師，研究方向：高考數學教學.

1?問題呈現

問題?已知橢圓x24+y23=1，左右焦點分別為F1和F2，且過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，求ΔF1AB內切圓半徑的取值范圍.

2?問題剖析

該問題來源于課本的一道習題，原問題涉及到一個頂點在一個焦點，底邊是過另外一個焦點的弦的所謂“焦點三角形”問題，不過原問題是求“焦點三角形”的周長.由橢圓的定義知，“焦點三角形”ΔABF1的周長為定值4a.又因為對任意三角形，其內切圓的半徑r，面積SΔ和周長?l之間有關系r=2SΔl，故求內切圓半徑的取值范圍，即是求△ABF1的面積的取值范圍.當直線AB“貼近”x軸時，面積趨向0，所以我們只需確定三角形面積的最大值，問題等價轉換成求該“焦點三角形”的面積的最大值，在周長固定的“焦點三角形”中，求其面積的最大值，也變成了一個有意思和有價值的數學問題.由于ΔABF1的面積可以分為ΔAF1F2與ΔBF1F2的面積的和，故三角形的面積的取值范圍由yA-yB決定.從直覺來看，在AB⊥x軸時，yA-yB最大，ΔABF1的面積最大.

原題中，通過幾何畫板動態演示（如圖1，2對比），可以驗證當AB⊥x?軸時，ΔABF1的面積最大.

是否對任意橢圓，都是在AB⊥x軸時，ΔABF1的面積最大？事實上，通過幾何畫板軟件的演示可以發現，當橢圓較“扁”時結論并不正確.如圖3，4對比所示，下面情形的三角形面積就不是在AB垂直于x軸時最大，所以原猜想結論并不準確.

3?引申結論

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點分別為F1，F2，過點F2作直線AB與橢圓相交于點A，B，求ΔABF1的面積的最大值.

經過細致探究，得到結論：若橢圓離心率e∈（0，22），則當AB⊥x軸時，ΔABF1的面積最大，最大值為2b2?a2-b2a;若橢圓離心率e∈[22，1），則當直線斜率k=±ba2-2b2a2-2b2時，ΔABF1的面積的最大，最大值為ab.

4?結論證明

證法1?（使用一般設方程方式）①若直線AB的斜率不存在，則直線AB的方程為x=c.

代入橢圓方程可求得Ac，b2a，Bc，-b2a，此時

SΔABF1=12×2c×b2a×2=2b2ca=2b2?a2-b2a.

②若直線AB的斜率存在，設為kk≠0，則直線AB的方程為y=kx-c，得x=yk+c.代入橢圓方程得?a2k2+b2y2+2b2cky+（b2c2-a2b2）k2=0.

即a2k2+b2y2+2b2cky-b4k2=0.

由韋達定理得，

y1+y2=-2b2cka2k2+b2，y1y2=-b4k2a2k2+b2.

y1-y2=y1+y22-4y1y2

=4b4c2k2a2k2+b22+4b4k2a2k2+b2

=4b4c2k2+4b4a2k4+4b6k2a2k2+b22

=4b4a2k2+4b4a2k4a2k2+b2

=2ab2?k2+k4a2k2+b2.

令t=k2>0，

記f（t）=2ab2?t+t2a2t+b22=4a2b4t+t2a2t+b22，則f?′（t）

=4a2b41+2t·a2t+b22-4a2b4t+t2·2a4t+2a2b2a2t+b24

=4a2b4[（2a2b2-a4）t2+2b4t+b4]（a2t+b2）4

=4a2b4[（2b2-a2）t+b2]（a2t+b2）3

若2b2-a2≥0，則恒有f?′（t）>0.所以函數f（t）在（0，+∞）上是增函數.即k2增大時，y1-y22在增大，這時y1-y2也在增大，當k2→+∞時，有

SΔABF1=12×2c×y1-y2=c×y1-y2=c×2ab2a2?1-1k2+1+b2?1k2+k4→2b2?a2-b2a.

故當AB⊥x?軸時，ΔABF1的面積最大.

此時SΔABF1=2b2?a2-b2a.

若2b2-a2<0時，則在（0，b2a2-2b2）上f?′（t）>0，在（b2a2-2b2，+∞）上f?′（t）<0，故當t=b2a2-2b2時f（t）最大.從而y1-y2最大.

此時（SΔABF1）max=12×2c×y1-y2=c×y1-y2=2ab2c·a2b2-b42a2b2-2b4=ab.

證法2?（引進傾斜角轉換）前面同解法1，記直線AB的傾斜角為α，則tanα=k.

由y1-y2=2ab2?k2+k4a2k2+b2=2ab2?（tan2α+1）tan2αa2tan2α+b2=2ab2c2sinα+b2sinα得，

（1）當b≤c時，由基本不等式得，

y1-y2=2ab2c2sinα+b2sinα≤2ab22?c2sinα·b2sinα=abc.

所以SΔABF1=12×2c×y1-y2≤c·abc=ab，當且僅當c2sinα=b2sinα，即sinα=bc≤1

時，ΔABF1的面積最大，最大值為ab.

（2）當b>c時，記t=sinα（0

f?′（t）=c2-b2t2=c2t2-b2t2<0，故f（t）是減函數，y1-y2=2ab2c2t+b2t是增函數.

所以當sinα→1，y1-y2→2b2a，從而當AB⊥x軸時，ΔABF1的面積最大，最大值為2b2?a2-b2a.

證法3?（改變設直線方程方式）設直線AB的方程為x=ky+c，與方程x2a2+y2b2=1a>b>0聯立并整理得，

（a2+b2k2）y2+2cb2ky-b4=0.

由韋達定理得，

y1+y2=-2cb2ka2+b2k2，y1·y2=-b4a2+b2k2.

所以y1-y2=（y1+y2）2-4y1y2=2b2a1+k2a2+b2k2，SΔABF1=2acb2?1+k2a2+b2k2.

設k2+1=m（m≥1），

則SΔABF1=2acb2?1+k2a2+b2k2=2acb2ma2+b2（m2-1）=2acb2mb2m2+c2=2acb2b2m+c2m.

記函數f（m）=b2m+c2m，則f?′（m）=b2-c2m2=b2（m2-c2b2）m2，當c>b，f（m）最小值2bc，（SΔABF1）max=ab，此時k=±ba;當c≤b，f（m）的最小值為a2，（SABF1）max=2cb2a，

此時k=0.

證法4?（使用直線參數方程）設直線AB的傾斜角為α，則α≠0.

直線AB的參數方程為x=c+tcosα，y=tsinα，?（t為參數），代入x2a2+y2b2=1并整理得，

（b2+c2sin2α）t2+2cb2cosα·t-b4=0.

由韋達定理得，

t1+t2=-2cb2cosαb2+c2sin2α，t1t2=-b4b2+c2sin2α.

所以t1-t2=（t1+t2）2-4t1t2

=4b4c2cos2α（b2+c2sin2α）2+4b4b2+c2sin2α

=2ab2b2+c2sin2α.

SΔABF1=SΔAF1F2+SΔBF1F2=ct1-t2sinα=2ab2csinαb2+c2sin2α=2ab2cb2sinα+c2sinα.

（1）當b≤c時，SΔABF1≤2ab2c2?c2sinα·b2sinα=ab（當且僅當c2sinα=b2sinα，即

sinα=bc≤1時等號成立）.

（2）當b>c時，c2sinα+b2sinα=c2sinα+c2sinα+b2-c2sinα≥2c2+b2-c2sinα

≥2c2+b2-c2=a2（當且僅當sinα=1時等號成立）.

所以SΔABF1=2ab2cb2sinα+c2sinα≤2b2?a2-b2a.

參考文獻：

[1]徐俊峰.?橢圓中焦點三角形問題的求解策略J.數學之友，2014（03）：76-77+79.

[2]斯理炯.?高中數學競賽專家講座——解析幾何?M.杭州：浙江大學出版社，2018.

（收稿日期：2019-07-07）