借助多種情境感悟兩積之和的模型

胡曉仙

【教學內容】

浙教版五年級第二單元。

【課前思考】

模型思想是學生體會和理解數學思想與外部世界聯系的基本途徑，建立模型思想有助于學生提高數學學習的興趣與應用意識。對于“兩積之和”這一學習內容，可以借助幾何圖形讓學生直觀感知各個量之間的關系，同時借助多種情境進行感知。讓學生通過觀察、比較，發現：情境在變，數量關系在變，但數學結構不變，找到“兩積之和”的基本模型“a×b+c×d=f”，并用這個模型解決生活實際問題。同時學生也學會用不同的代數式表示同一個量，為列方程做準備。

【教學過程】

一、開門見山，直接導入

（直接呈現一個長方形）

師：說說長方形的面積怎么計算？需要什么條件？

（給出一個數據：10，a）

【設計意圖：本課導入開門見山，直指數學本質，避免不必要的干擾。】

二、新授

1.借助幾何直觀情境，初步建立兩積之和的模型。

（1）根據已有數學信息，用代數式表示兩個長方形的面積，說說代數式的含義。

師：你能表示綠長方形的面積嗎？你是怎么理解10a 的？

生：綠長方形的長是10，寬是a，面積為10×a，簡寫作：10a。

師：你能表示紅長方形的面積嗎？20a，你是怎么理解的？

生：紅長方形的長是20，寬是a，面積為20×a，簡寫作：20a。

（2）借助想象，初步建立兩積之和的幾何直觀模型。

師：剛才同學們把兩個長方形的面積都用代數式表示出來了。如果我把兩個長方形通過平移會得到一個什么圖形？

生：綠長方形通過平移后與紅長方形拼成一個“L”型的圖形。

師：你能用一個代數式表示這個圖形的面積嗎？

生：20a+10a，20a 表 示 紅 長方形的面積，10a 表示綠長方形的面積，合起來就是這個圖形的面積。

師：如果我讓這個綠長方形旋轉后，拼在一起會是什么圖形？

生：綠長方形旋轉后與紅長方形拼成一個大長方形。

師：你能用代數式表示這個圖形的面積嗎？

生：20a+10a，表示紅長方形和綠長方形的面積。

生：（20+10）×a，（20+10）表示大長方形的長，a 表示寬。

師：這兩個代數式看似不同，但它們都表示總面積，所以用等號連接。除了結合長方形的圖來解釋（20+10）×a=20a+10a，你還能怎么解釋？

生：10 個a 加20 個a 等于（20+10）個a。

師：其實這就是乘法分配律。無論怎么拼，總面積不變。

【設計意圖：通過想象兩個不同的長方形拼成的圖形，培養學生的空間觀念。同一個圖形用兩種不同的代數式表示，在幾何直觀圖中溝通兩者的聯系，又用乘法的意義來解釋，為后續乘法分配律的學習奠定基礎?！?/p>

2.借助行程問題及單價、數量、總價的問題情境，再次感悟兩積之和的模型。

（1）根據已有的數學信息，用代數式表示出全程，并說說代數式的含義。

出示題目：狗和兔子從甲乙兩地相向而行，兔子的奔跑速度為10 米/秒，狗的奔跑速度為20 米/秒，經過a 秒后，兔子和狗相遇，你能表示出甲乙兩地的距離嗎？

生：10a+20a，10a 表示 兔 子跑的路程，20a 表示狗跑的路程，合起來就是兔子和狗相遇時跑的總路程。

（2）借助線段圖的直觀演示，幫助學生理解速度和的概念。

師：還能怎么表示甲乙兩地的距離？

生：（10+20）a，（10+20）表示狗和兔子一秒鐘跑的路程，奔跑a 秒，乘以a 就是總路程。

【設計意圖：速度和的概念對于部分學生來說還是比較陌生的。如何理解（10+20）表示的是兔子和狗一秒鐘跑的路程呢？僅靠學生或教師的口頭描述是遠遠不夠的。因此，借助多媒體用線段圖直觀的演示，一秒鐘后兔子和狗分別相向跑10 米和20 米，實際靠近30 米。】

（3）直接呈現單價、數量、總價的問題情境，用代數式表示總價。

例：小明去水果店買了單價為10 元/千克的蘋果和單價為20 元/千克的冬棗，各a 千克。請問小明買水果共花了多少元？

3.比較三個不同的情境及代數式，發現不同點與相同點。

（1）小組合組。（5 分鐘）

合作目標：比較三個情境中的相同點與不同點。

合作要求：

①先獨立思考2 分鐘，把你的想法寫下來。

②小組交流，匯總想法。

③全班交流匯報。

（2）全班匯報交流。（5 分鐘）

環節一：抽象分析。

師：剛才我們研究長方形的面積、速度時間路程以及單價數量總價的問題，現在請你比較這三道題有什么相同點和不同點？

生：數字相同，未知數一樣。

生：計算方法一樣。

生：都是先算積，再算和。說明它們的數學模型一樣，都是a×b+c×d=f 這樣的形式。

師：那有什么不同呢？

生：數量關系不同。

師：怎么不同？

生：第一題是長方形的面積=長×寬，第二題是路程=速度×時間，第三題是總價=單價×數量。

環節二：進一步把兩個具體情境回到幾何圖形中尋找它的意義。

師：其實這兩個問題跟長方形有很大的聯系，我們一起來找一找。兔子的速度10 米/秒表示綠長方形的長。你能像我這樣找一找，說一說嗎？

生：狗的速度20 米/秒，表示紅長方形的長。

生：a 秒表示長方形的寬。

生：20a——狗跑的路程相當于大長方形的面積，10a——兔子跑的路程相當于小長方形的面積。

師：你能從這個圖形中找到第三題對應的數據嗎？紅長方形的長20 相當于？請你和同桌說說。

小結：這三道題有的講長方形的面積，有的講速度時間路程的故事，有的講單價數量總價的故事，但是經過我們的研究比較發現，其實它們的模型是一樣的，都是兩積之和的模型。

【設計意圖：建模的前提是充分感知模型關注的對象，由許多具有共同特征的一類事物中，抽象出這類事物的特征或內在聯系，積累表象經驗。因此，設計三個不同的情境為學生提供豐富的感性材料。學生通過比較、觀察，發現：三道題的情境在變化，數量關系在變化，但計算方法不變，都是先求積，再求兩部分的和，從而得出“兩積之和”的模型“a×b+c×d=f”。幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。所以又讓學生將下面兩種情境的數據對應到幾何圖中或者從幾何圖中找到情境中的數據，借助圖形的直觀性特點將抽象的數量關系與直觀的圖形有機結合，幫助學生直觀地理解數學，充分展示問題的本質，再次體會兩積之和的結構模型。這樣的設計，幫助學生有效的突破難點和重點?！?/p>

三、拓展延伸

第一關：李師傅和徒弟合作加工一批零件，師傅每分鐘做16個，做了a 分鐘，徒弟每分鐘做12 個，做了b 分鐘。問：一共做了幾個零件？

第二關：學校買進一批科技書和故事書，故事書有a 本，每本18 元，科技書有78 本，每本c元。問：學校采購這批書一共花了多少錢？

比較：有人說這組代數式和上一組代數式相同，也有人說不同？你是怎么思考的？請你把你的想法寫在作業紙上。

生：我覺得相同，都是兩積之和的模型。

生：我覺得不同，上一組是同一個字母，下面一組是不同的字母。

小結：上一組其實是兩積之和的特殊模型，有一個因數相同；下一組是兩積之和的一般模型。

【設計意圖：本環節設置兩個不同的情境同時將上一組題的數據進行變換，變成沒有一個因數是相同的，以列兩積之和的代數式。再次將兩個題組進行觀察、比較，發現不變的是兩積之和的結構，只不過是上面題組中有個因數是相同的，是兩積之和的特殊結構，而下面題組是兩積之和的一般結構a×b+c×d=f，再次感知兩積之和建立的過程?！?/p>