聚焦圓與方程問題

■賈善振 楊春青 班大菊

圓的方程的求法以及直線與圓的位置關系是圓與方程問題學習的重點,也是高考的熱點。下面舉例分析。

一、求圓的方程

例1已知△ABC的頂點A(0,1),AB邊上的中線CD所在的直線方程為2x-2y-1=0,AC邊上的高BH所在的直線方程為y=0。

(1)求△ABC的頂點B,C的坐標。

(2)若圓M經過不同的三點A,B,P(m,0),且斜率為1的直線與圓M相切于點P,求圓M的方程。

解：(1)因為AC邊上的高BH所在的直線方程為y=0,所以直線AC的方程為x=0。又直線CD的方程為2x-2y-1=0,所以由此解得點C的坐標為,則AB的中點),代入方程2x-2y-1=0,解得b=2,所以點B(2,0)。

(2)由點A(0,1),B(2,0),可得圓M的弦AB的中垂線方程為4x-2y-3=0,注意到BP也是圓M的弦,所以圓心在直線x=上。設圓心M的坐標為,因為圓心M在直線4x-2y-3=0 上,所以2m-2n+1=0。因為斜率為1 的直線與圓M相切于點P,所以kMP= -1,由此可得m-2n-2=0。 由上解得,m= -3,n=。所以圓心M,半徑MA=。故所求圓M的方程為x2+y2+x+5y-6=0。

方法點撥：求圓的方程主要有兩種方法:幾何法和待定系數法。

二、直線與圓的位置關系

例2已知圓C1:x2+(y+2)2=4與圓C2:(x-4)2+y2=4。

(1)若直線mx-y+(m-1)=0(m∈R) 與圓C1相交于A,B兩個不同的點,求|AB|的最小值。

(2)直線x=3 上是否存在點P,滿足經過點P有無數對互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和圓C2相交,并且直線l1被圓C1所截得的弦長等于直線l2被圓C2所截得的弦長? 若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由。

解：(1)直線mx-y+(m-1)=0(m∈R)過定點M(-1,-1)。

當|AB|取最小值時,AB⊥C1M,可得|C1M|== 2。故|AB|min=

(2)設點P(3,a)。當斜率不存在時,顯然不符合題意。當斜率存在時,l1:y=k(x-3)+a,即為kx-y+a-3k=0,l2:y=(x-3)+a,即為x+ky-ak-3=0,所以由題意可知,d1=d2,所以可得(9-a2)k2-(12+4a)k+a2+4a+3=0對任意實數k成立,所以解得a=-3。

故存在點P(3,-3),滿足題意。

方法點撥：定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定的。也可以將問題轉化為代數或三角問題,證明是恒定的。