2019年高考 “空間幾何體和線面位置關系中的經典問題”

■朱奕帆

本文以2019年高考題為載體,探究空間幾何體和線面位置關系中經典問題的求解思維方法,希望對大家的學習有所幫助。

聚焦1：由三視圖判斷幾何體的特征或求面積或求體積

例1(2019年高考浙江卷)祖暅是我國南北朝時期的偉大科學家。他提出的 “冪勢既同,則積不容異”稱為祖暅原理,利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh,其中S是柱體的底面積,h是柱體的高。若某柱體的三視圖如圖1所示,則該柱體的體積是____。

圖1

解：根據三視圖,可還原得到的幾何體為底面是五邊形的直棱柱,利用給定的數據,可計算幾何體的體積。由三視圖可得該棱柱的高為6,底面可以看作是由兩個直角梯形組合而成的,其中一個上底為4,下底為6,高為3,另一個上底為2,下底為6,高為3,由此可得該棱柱的體積為V=162。

回味：由三視圖判斷幾何體的特征或求面積或求體積,關鍵是正確還原出直觀圖,在還原幾何體時要利用三視圖的特征:正俯一樣長,俯側一樣寬,正側一樣高。

聚焦2：組合體的體積計算問題

例2(2019年高考天津卷)已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形,側棱長均為5。若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點,另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為_____。

解：根據棱錐的結構特點,確定所求的圓柱的高和底面半徑。由題意可知正四棱錐的高為,故圓柱的高為1,圓柱的底面半徑為,可得該圓柱的體積為

回味：解答本題的關鍵是確定所求的圓柱的高和底面半徑,同時還需要有空間想象能力。

聚焦3：平移法求異面直線所成的角

例3(2019 年高考上海卷)如圖2,在正三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=2,AB=BC=AC= 3。

圖2

(1)若PB的中點為M,BC的中點為N,求AC與MN夾 角 的余弦值。

(2)求正三棱錐P-ABC的體積。

解：(1)利用平移法尋找異面直線所成的角。因為M,N分別為PB,BC的中點,所以MN∥PC,則∠PCA為異面直線AC與MN所成的角。在等腰△PAC中,由PA=PC=2,AC= 3,易得cos∠PCA=即為AC與MN夾角的余弦值。

(2)在正三棱錐P-ABC中,過點P作底面的垂線,垂足為O,則O為底面正三角形的中心,連接AO并延長交BC于點N,則AN=1,由此可得PO=故正三棱柱P-ABC的體積VP-ABC=

回味：平移法是求異面直線所成角的常用方法,異面直線所成角的取值范圍是

聚焦4：空間中的平行與垂直問題

例4(2019年高考北京卷)如圖3所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為 菱 形,E為CD的中點。

圖3

(1)求證:BD⊥平面PAC。

(2)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE。

(3)在棱PB上是否存在點F,使得CF∥平面PAE? 說明理由。

解：(1)利用線面垂直的判定定理證明。

因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD。因為底面ABCD為菱形,所以AC⊥BD。

因為PA∩AC=A,且PA,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC。

(2)利用線面垂直,證明面面垂直。

由底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,可得△ACD為正三角形,所以AE⊥CD。又AB∥CD,所以AE⊥AB。

由PA⊥平面ABCD,PA?平面PAB,可得平面PAB⊥平面ABCD,其交線為AB,再由面面垂直的性質定理知AE⊥平面PAB。又因為AE?平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE。

(3)利用平行四邊形的性質和線面平行的判定定理進行判斷。

存在點F,當點F為PB中點時,滿足CF∥平面PAE,其理由如下。

分別取PB,PA的中點為F,G,連接CF,FG,EG。在三角形PAB中,FG∥AB且。在菱形ABCD中,E為CD中點,所以CE∥AB且CE=AB,所以CE∥FG且CE=FG,即四邊形CEGF為平行四邊形,所以CF∥EG。

又CF?平面PAE,EG?平面PAE,所以CF∥平面PAE。

回味：證明面面關系的核心是證明線面關系,證明線面關系的核心是證明線線關系。要熟練掌握線線平行、線面平行、面面平行的證明方法以及線線垂直、線面垂直、面面垂直的證明方法。

1.已知l,m是平面α外的兩條不同直線,現給出下列三個論斷:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α。

以其中兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結論,寫出一個正確的命題:___。

提示：本題屬于開放性問題,將所給論斷,分別作為條件、結論,可得三個命題,利用線面位置關系推理判斷即可。

(1)如果l⊥α,m∥α,則l⊥m。由線面平行和垂直的定義知,此命題正確。(2)如果l⊥α,l⊥m,則m∥α。有可能m在平面α內,此命題不正確。(3)如果l⊥m,m∥α,則l⊥α。有可能l與α斜交或l∥α,此命題不正確。

答案為:如果l⊥α,m∥α,則l⊥m。

2.如圖4所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是BC,AC的中點,AB=BC。

圖4

求證:(1)A1B1∥平面DEC1。

(2)BE⊥C1E。

提示：(1)因為D,E分別為BC,AC的中點,所以ED∥AB。在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED。因為ED?平面DEC1,A1B1?平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1。

(2)因為AB=BC,E為AC的中點,所以BE⊥AC。因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC。 又因為BE?平 面ABC,所 以CC1⊥BE。 因 為C1C?平面A1ACC1,AC?平面A1ACC1,C1C∩AC=C,所以BE⊥平面A1ACC1。又C1E?平面A1ACC1,所以BE⊥C1E。