與圓的弦有關的幾個問題

■劉長柏

直線與圓是高中數學的重要知識點,也是高考的熱點。直線與圓相交,有兩個公共點,設弦長為L,弦心距為d,半徑為r,則+d2=r2,從而可將問題轉化為“點線距離”問題。下面舉例闡述與圓的弦有關的幾個問題。

一、已知弦長，求直線的方程

例1設圓x2+y2-2x-2y-2=0的圓心為C,直線l過點(0,3)且與圓C交于A,B兩點,若|AB|=2 3,則直線l的方程為_____。

解：圓x2+y2-2x-2y-2=0,即圓(x-1)2+(y-1)2=4,可知圓心為C(1,1),半徑r=2。當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=0,圓心C到直線l的距離d=1,可得|AB|=2 4-1=2 3,這時符合題意;當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=kx+3,易知圓心C(1,1)到直線y=kx+3的距離,由,可得,解得,可知直線l的方程為3x+4y-12=0。

綜上可得,直線l的方程為3x+4y-12=0或x=0。

評析：解答本題要注意的是斜率不存在時的特殊情況。

二、直線與圓相交時弦長的最值問題

例2若直線l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,則直線l的方程是____。

解：依題意可知直線l:y=kx+1 過定點P(0,1)。圓C:x2+y2-2x-3=0,即圓C:(x-1)2+y2=4,可知圓心為C(1,0),半徑r=2。易知定點P(0,1)在圓內。由圓的性質可知當PC⊥l時,直線l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短。因為kPC=-1,所以直線l的斜率k=1,故直線l的方程是x-y+1=0。

評析：直線與圓相交時弦長的最值問題,通常要利用圓中 “弦心距最大時,弦長最短” 求解。

三、與弦有關的軌跡問題

例3若P(2,1)為圓(x-1)2+y2=25的弦AB的中點,則直線AB的方程為_____。

解：因為圓(x-1)2+y2=25 的圓心為(1,0),所以直線AB的斜率等于故直線AB的方程為x+y-3=0。

評析：利用弦的中點,結合垂徑定理,判斷兩條直線的位置關系是解題的突破口。

1.已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=9,過點A(2,3)作圓C的任意弦,則這些弦的中點P的軌跡方程為_____。

2.已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0。設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為____。

參考答案與提示

1.提示:設點P(x,y)。由題意可知圓心坐標為C(1,1)。由點P是過點A的弦的中點,可知PA⊥PC,利用斜率之積為-1即得點P的軌跡方程為

2.提示:由題設可知圓心坐標為(3,4),半徑為5,圓心到點(3,5)的距離為1。根據題意可知最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直,可知最短弦的長為4 6,最長弦的長為10。故所求面積為20 6。