高考中直線與圓的七大熱點題型剖析

■何 敏 劉大鳴(特級教師)

直線與圓的幾何性質在解析法中的應用,一直是高考命題的熱點,凸顯了代數方法研究幾何性質和幾何性質簡化運算的本質屬性。下面以近年高考題為載體,對直線與圓中的熱點題型進行歸類剖析,希望對大家的學習有所幫助。

熱點1：求直線的傾斜角或斜率

例1(2014 年高考安徽卷)過點P(- 3,-1)的直線l與圓x2+y2=1有公共點,則直線l的傾斜角的取值范圍是( )。

A.(0 ,6π] B.(0 ,3π]

C.[0 ,6π] D.[0 ,3π]

解：借助直線與圓的位置關系,利用幾何法構建斜率的不等式求解。易知直線l的斜率存在,可設直線,即kx-y+ 3k-1=0。因為直線l與圓x2+y2=1有公共點,所以圓心(0,0)到直線l的距離≤1,即k2- 3k≤0,解得0≤。依據直線的傾斜角和斜率之間的關系,則直線l的傾斜角的取值范圍是應選D。

評析：直線傾斜角的取值范圍為[0,π),把握直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時斜率的變化是解題的關鍵。

變式1：若過點A(3,0)的直線l與曲線(x-1)2+y2=1有公共點,則直線l的傾斜角的取值范圍是( )。

A.[0 ,6π]∪[56π,π)

B.[0 ,6π]

C.[56π,π)

D.(0 ,6π)∪(56π,π)

提示：(方法1)由題意可設直線l的方程為y=k(x-3),利用直線與圓有公共點可得圓心(1,0)到直線l的距離

(方法2)由題意可設直線l的方程為y=k(x-3),代入圓的方程整理可得(k2+1)x2-(6k2+2)x+9k2=0,由Δ=4(1-3k2)≥0,解得。依據直線的傾斜角和斜率之間的關系,則直線l的傾斜角的取值范圍是。應選A。

熱點2：求圓的方程

例2(2018年高考天津卷)在平面直角坐標系中,經過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為_____。

解：由圓經過已知的三點,利用待定系數法求解。設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,注意隱含條件D2+E2-4F＞0。由圓經過三點(0,0),(1,1),(2,0),可得解得由此可得所求圓的方程為(x-1)2+y2=1。

評析：一般地,與圓心和半徑有關的問題,選擇標準式;否則,選擇一般式。不論是選擇哪種形式,都要確定三個參數,利用方程組求解。

變式2：已知以點(t∈R,且t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O,A兩點,與y軸交于點O,B兩點,其中O為坐標原點。

(1)求證:△OAB的面積為定值。

(2)設直 線y=-2x+4 與 圓C交 于 點M,N,若,求圓C的方程。

提示：(1)選擇標準方程求解。 因為圓過原點O,所以r2=|OC|2=t2+。設圓C的方程為。令x=0得y1=0,y2=,令y=0得x1=0,x2=2t,則S△AOB=。故△OAB的面積為定值4。

當t=2 時,圓心C的坐標為(2,1),,此時點C到直線y=-2x+4的距離,可知圓C與直線y=-2x+4相交于兩點,符合題意;

湯翠在電腦上百度釘子戶這個詞，屏幕上出現了125，000，000 條相關結果。湯翠數學不太好，個十百千萬地數了數，才知道是一億多條。第一條百度百科這樣解釋它：用來指代某些由于種種原因沒有拆遷，而又身處鬧市或開發區域的房屋。再后面是不計其數的“釘子戶”新聞。有一個真正的“釘子”戶，為防被強拆，在房頂上釘了一萬八千枚鐵釘。湯翠覺得很搞笑，她無論如何也沒想到，有一天自己竟然成了開發商眼中的釘子戶。

當t= -2 時,圓心C的坐標為(-2,,此時點C到直線y=-2x+4的距離,可知圓C與直線y=-2x+4不相交,可知t=-2不合題意。

故所求圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5。

熱點3：直線與圓相交關系中的弦長問題

例3(2018年高考新課標卷)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0 相交于A,B兩點,則=_____。

解：借助弦心距、半徑和半弦長構成的直角三角形求解。已知圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,所以圓心為(0,-1),且半徑r=2。根據點到直線的距離公式,可得弦心距。利用圓中的弦長公式,可得

評析：利用圓的半徑,圓心到直線的距離(弦心距)以及半弦長構成直角三角形是解答本題的關鍵。

變式3：已知直線x-2y+a=0與圓O:x2+y2=2 相 交 于A,B兩 點(O為 坐 標 原點),且△AOB為等腰直角三角形,則實數a的值為( )。

A.6或- 6 B.5或- 5

C.6 D.5

熱點4：直線與圓位置關系中的最值問題

例4(2018 年高考全國卷)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2 上,則△APB面積的取值范圍是( )。

A.[2,6] B.[4,6]

C.[ 2,3 2] D .[2 2,3 2]

解：已知三角形的底邊長為定值,當頂點在圓上運動時,所求面積的取值范圍問題可轉化為圓心到直線的距離的最值問題。由直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,可得點A(-2,0),B(0,-2),所以。 因 為 點P在 圓(x-2)2+y2=2上,所以圓心到直線x+y+2=0的距離為。由圓的幾何性質可知,點P到直線x+y+2=0的距離d2的取值范圍為,即,則。應選A。

評析：把握底邊長為定值和頂點在圓上運動的特征,可使所求問題轉化為定點(圓心)到直線的距離的最值問題,這也是圓的幾何性質確定的。

變式4：已知點A(-2,0),B(0,2),若點M是圓x2+y2-2x+2y=0 上的動點,則△ABM面積的最小值為_____。

提示：已知圓方程可化為(x-1)2+(y+1)2=2,其圓心為(1,-1),半徑r= 2。由于點A(-2,0),B(0,2),所以=2 2。要求△ABM面積的最小值,即求圓上的動點M到直線AB的距離的最小值,而圓心(1,-1)到直線AB:的距離為,△ABM的高的最小值為d=2 2- 2= 2,則△ABM面積的最小值為S△ABM=

熱點5：直線與圓相切中的最值問題

例5(2015年高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為_____。

解法1：(幾何法)直線系m(x-2)-y-1=0,恒過定點(2,-1)。過點(2,-1)的直線與圓心為(1,0)的圓相切,當且僅當切線與過(1,0),(2,-1)兩點的連線垂直時,圓的半徑最大,此時有。故所求圓的標準方程為

解法2：(代數法)構造對鉤函數求解。由直線與圓相切的條件,可構建半徑的函數。令函數,利用對鉤函數的性質,當且僅當m=1 時,u=m+取 最小值,此時半徑取最大值。故半徑最大的圓的標準方程為(x-1)2+y2=2。

解法3：通過換元,構造二次方程,利用判別式求解。由題意可得,設,則(t-1)m2-2m+t-1=0。由于m∈R,所以Δ=(-2)2-4(t-1)2≥0,解得0≤t≤2,所以dmax= 2。由此可得半徑最大的圓的標準方程為(x-1)2+y2=2。

評析：依據直線與圓相切的條件,構建目標函數,利用函數的性質求最值是解題的通法。當半徑表示為關于m的函數后,利用對鉤函數的單調增區間為(- ∞,-1)∪(1,+∞),減區間為(-1,0)∪(0,1)求解是本題的一大亮點。

變式5：若圓C:(x-1)2+(y-2)2=1關于直線2ax+by+2=0 對稱,則由點(a,b)向圓C所作切線長的最小值為( )。

A.1 B.2

C.5 D.7

提示：由題意可得,圓心坐標為C(1,2),半徑r=1。因為圓C:(x-1)2+(y-2)2=1關于直線2ax+by+2=0對稱,所以直線2ax+by+2=0 過圓心C(1,2),代入可得a+b=-1。又因為點(a,b)到圓心的距離為,所以由點(a,b)向圓作切線,其切線長為,代入a= -1-b,可得。應選D。

熱點6：圓與圓的位置關系問題

例6(2016年高考山東卷)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a＞0)截直線x+y=0所得線段的長為2 2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關系是( )。

A.內切 B.相交

C.外切 D.相離

解：依據弦長待定參數,研究兩圓的圓心距與半徑之間的關系即可。由x2+y2-2ay=0(a＞0),可得x2+(y-a)2=a2(a＞0),所以圓M的圓心為(0,a),半徑r1=a。因為圓M截直線x+y=0 所得線段的長為,所以,解得a=2。又圓N的圓心為(1,1),半徑r2=1,所以|MN|=,可得r1+r2=3,r1-r2=1。由r1-r2＜|MN|＜r1+r2,可知圓M與圓N相交。應選B。

評析：利用幾何法判斷圓與圓的位置關系,就是判斷圓心距與兩圓半徑的和與差的大小關系。

變式6：圓心在直線x-y-4=0上,并且經過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0交點的圓的方程為_____。

提示：設經過兩圓交點的圓系方程為x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-28λ-4=0,其圓心坐標為,代入直線x-y-4=0,解得λ=-7。故所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0。

熱點7：與圓有關的新定義問題

例7(2014年高考湖北卷)設f(x)是定義在(0,+∞)上的函數,且f(x)＞0,對任意a＞0,b＞0,若經過點(a,f(a)),(b,-f(b))的直線與x軸的交點為(c,0),則稱c為a,b關于函數f(x)的平均數,記為Mf(a,b),例如,當f(x)=1(x＞0)時,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)為a,b的算術平均數。

(1)當f(x)=_____(x＞0)時,Mf(a,b)為a,b的幾何平均數。

(2)當f(x)=_____(x＞0)時,Mf(a,b)為a,b的調和平均數

(以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數即可)

解：設點A(a,f(a)),B(b,-f(b)),C(c,0),則A,B,C三點共線。

(1)由c為a,b關于函數f(x)的平均數可轉化為三點共線的條件,由此尋求函數表達式。依題意可得c=ab,由A,B,C三點共線可得,即。由a＞0,b＞0,可化簡得,故可選擇函數f(x)=x(x＞0)。

(2)由Mf(a,b)為a,b的調和平均數可轉化為三點共線的條件,由此尋求函數表達式。依題意可得,則。由a＞0,b＞0,可化簡得,故可選擇函數f(x)=x(x＞0)。

評析：理解平均數,幾何平均數以及調和平均數的含義是解答本題的關鍵。依據新定義和三點共線的條件,探究兩點的坐標滿足的關系式,抽象概括出一般函數的表達式,這種逆向思維的解題方法,既考查軌跡的意義,又考查同學們綜合解決問題的能力。

變式7：已知函數y=f(x)(x∈R),對函數y=g(x)(x∈I),定義g(x)關于f(x)的 “對稱函數”為函數y=h(x)(x∈I),y=h(x)滿足:對任意x∈I,兩點(x,h(x)),(x,g(x))關于點(x,f(x))對稱。若h(x)是g(x)= 4-x2關于f(x)=3x+b的 “對稱函數”,且h(x)＞g(x)恒成立,則實數b的取值范圍是_____。

提示：把所求問題轉化為直線與圓的位置關系求解。函數g(x)的圖像表示圓的一部分,即x2+y2=4(y≥0)。 當直線y=3x+b與半圓相切時,滿足h(x)＞g(x)。根據圓心(0,0)到直線y=3x+b的距離等于圓的半徑可得,解得b=2 10或b=-2 10(舍去)。

要使h(x)＞g(x)恒成立,需滿足b＞2 10,故實數b的取值范圍是(2 10,+∞)。